摘要:長方體是特殊的六面體,本文講述了通過合理、恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出長方體模型,利用其中的面對角線和體對角線,化繁為簡、化難為易,巧妙地解決問題.
關(guān)鍵詞:長方體;表面積;距離
長方體是特殊的六面體,是立體幾何中的基本幾何體,其結(jié)構(gòu)對稱,各元素之間具有相等、平行、垂直等關(guān)系,內(nèi)涵豐富,是研究線面關(guān)系、線線關(guān)系、特殊幾何體的一個(gè)重要載體.在處理某些立體幾何問題時(shí),若能根據(jù)題意合理恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出長方體模型,則可化繁為簡、化難為易,巧妙地將題目解出,收到事半功倍的效果,下面舉例說明.
案例1:長方體ABCD-A1B1C1D1一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長分別是3,4,5,且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,求這個(gè)球的表面積.
分析:畫出圖形,根據(jù)球的表面積公式S=4πR2(R為球的半徑)可知,只需求出球的半徑即可.又長方體的體對角線長等于其外接球的直徑,所以2R=■=5■,從而S=50π.
評注:本題解題的關(guān)鍵在于抓住長方體的體對角線長等于其外接球的直徑.
案例2:P,A,B,C為球面上的四個(gè)點(diǎn),若PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=3 cm,PB=4 cm,PC=6 cm,求這個(gè)球的表面積.
分析:因?yàn)镻A,PB,PC兩兩互相垂直,可將PA,PB,PC視為由長方體的一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱,這樣只要能求出長方體的體對角線長即可解決問題. 因?yàn)?R=■=■,所以S=61π cm2.
評注:本題解題的關(guān)鍵在于抓住PA,PB,PC兩兩互相垂直,可視為長方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱.
案例3:在正三棱錐S-ABC中,M,N分別是棱SC,BC的中點(diǎn),且MN⊥AM,若側(cè)棱SA=2■,則此正三棱錐S-ABC外接球的表面積是__________.
分析:在正三棱錐S-ABC中,易證得SB⊥AC.因?yàn)镸,N分別是棱SC,BC的中點(diǎn),所以MN∥SB,從而可得MN⊥AC. 又MN⊥AM,進(jìn)一步可證得MN⊥平面SAC,所以SB⊥平面SAC,從而SB⊥SA,SB⊥SC.于是在正三棱錐S-ABC中,SA⊥SC.所以SA,SB,SC兩兩互相垂直,這樣可將SA,SB,SC視為長方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱. 因?yàn)?R=■=■,所以S=36π.
評注:證明SA,SB,SC兩兩互相垂直是解決本題的關(guān)鍵.
案例4:Ox,Oy,Oz是空間交于同一點(diǎn)O的互相垂直的三條直線,點(diǎn)P到平面xOy、平面xOz、平面yOz的距離分別為3,4,7,則OP的長為_______.
分析:畫出空間直角坐標(biāo)系O-xyz,構(gòu)造長方體,使得坐標(biāo)原點(diǎn)O為長方體的一個(gè)頂點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)P到平面xOy、平面xOz、平面yOz的距離分別為3,4,7,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4,7),所以O(shè)P=■=■.
評注:構(gòu)造長方體,OP的長即為長方體的體對角線長.
案例5:Ox,Oy,Oz是空間交于同一點(diǎn)O的互相垂直的三條直線,點(diǎn)P到這三條直線的距離分別為3,4,7,則OP的長為_______.
分析:畫出空間直角坐標(biāo)系O-xyz,構(gòu)造長方體,使得坐標(biāo)原點(diǎn)O為長方體的一個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)P到這三條直線的距離分別為長方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的對角線的長.
設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則
a2+c2=9,b2+c2=16,a2+b2=49, ?圯a2+b2+c2=37.?搖?搖
所以O(shè)P=■=■.
評注:本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)P到三條直線的距離在長方體中如何得以體現(xiàn).
長方體模型在立體幾何中的應(yīng)用,除了上述例子之外,還有很多,都很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的重要性,只要我們平時(shí)對此類問題多研究,多注意總結(jié)一些好的解題方法,就會獲得意想不到的效果.