摘要：本文定義三個側(cè)面兩兩互相垂直的三棱錐稱為直角三棱錐，筆者通過深入探究，給出直角三棱錐的若干性質(zhì)，并證明這些性質(zhì)結(jié)論的正確性，供同行教學(xué)參考.
　　關(guān)鍵詞：直角三棱錐；定義；性質(zhì)；證明
　　
　　定義：三個側(cè)面兩兩互相垂直的三棱錐，稱為直角三棱錐
　　直角三棱錐在高三復(fù)習(xí)立體幾何時經(jīng)常遇到，學(xué)生非常熟悉它的一些基本性質(zhì)：三條側(cè)棱兩兩互相垂直，相對棱互相垂直；其中一條側(cè)棱垂直于另外兩條側(cè)棱所在側(cè)面；頂點在底面上的射影是底面三角形的垂心；底面三角形為銳角三角形；體積等于側(cè)棱長乘積的；外接球半徑的平方等三條側(cè)棱長的平方和的. 除此之外，本文再介紹一些棱長與高，側(cè)面積與底面積，側(cè)面或側(cè)棱與底面所成的角，內(nèi)切球半徑等之間的關(guān)系.
　　如圖1，記直角三棱錐P－ABC的側(cè)棱PA=a，PB=b，PC=c，頂點P在底面△ABC內(nèi)的射影為O，高PO=h，內(nèi)切球半徑為γ，△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面積分別是S1，S2，S3和S.
　　
　　圖1
　　性質(zhì)1：=++.
　　證明：如圖1，易證PD⊥AB，PO⊥DC，PC⊥PD. 于是PO=，PD=，從而==，因此=++.
　　性質(zhì)2：S+S+S=S2.
　　證明：如圖1，S=AB?CD=??
　　=
　　=
　　=，
　　于是S2=S+S+S.
　　性質(zhì)3：=+++.
　　證明：如圖1，VP-ABC=abc=S1γ+S2γ+S3γ+Sγ，整理得=.又S2=S+S+S=2+2+2，故2S=. 于是==+++=+++.
　　性質(zhì)4：S=S?S△AOB，S=S?S△BOC，S=S?S△AOC.
　　證明：如圖1，S=AB2?PD2，S△AOB=AB?DO，S=AB?DC.
　　又PD⊥PC，PO⊥DC，所以PD2=DO?DC. 于是S=S?S△AOB.
　　同理可證，S=S?S△BOC，S=S?S△AOC.
　　性質(zhì)5：直角三棱錐的側(cè)面與底面所成角的余弦的平方和等于1.
　　證明：如圖1，不妨設(shè)側(cè)面PAB，PBC，PAC與底面ABC所成角分別為α，β，γ，則cosα=，cosβ=，cosγ=. 于是cos2α+cos2β+cos2γ=++=++==1.
　　推論：如果直角三棱錐的側(cè)棱長相等，則側(cè)面與底面所成角的余弦值均為.
　　性質(zhì)6：直角三棱錐的底面與其中一側(cè)面所成角的正切的平方等于底面每一條邊與該側(cè)面所成角的正切的平方和.
　　證明：如圖1，不妨設(shè)底面ABC與側(cè)面PAB所成的角為θ，邊CA，CB，AB與側(cè)面PAB所成的角分別為θ1，θ2，θ3，易證∠PDC=θ，∠CAP=θ1，∠CBP=θ2，θ3=0. 因為PD?AB=PA?PB，AB2=PA2+PB2，所以PD2==. 于是tan2θ===+=tan2θ1+tan2θ2. 又因為tanθ3=tan0=0，從而tan2θ=tan2θ1+tan2θ2+tan2θ3.
　　性質(zhì)7：設(shè)點Q是直角三棱錐P－ABC的底面上一點，則
　?。?）PQ的平方等于點Q到各側(cè)面的距離的平方和；
　　（2）PQ與側(cè)棱所成角的余弦的平方和等于1；
　?。?）PQ與側(cè)面所成角的余弦的平方和等于2.
　　分析：當(dāng)Q在底邊上時，易證結(jié)論成立；當(dāng)Q不在底邊上時，過點Q作三個平面分別平行三個側(cè)面，它們與三個側(cè)面圍成一個長方體，且QP為長方體的對角線，從而由長方體的性質(zhì)即可獲證.
　　性質(zhì)8：直角三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的余弦的平方和等于2.
　　分析：如圖1，設(shè)側(cè)棱PA，PB，PC與PO所成的角依次為α′，β′，γ′，與底面ABC所成角依次為φ1，φ2，φ3，由性質(zhì)7（2）知，cos2α′+cos2β′+cos2γ′=1. 又由于φ1，φ2，φ3分別與α′，β′，γ′互余，故可得cos2φ1+cos2φ2+cos2φ3=2.
　　性質(zhì)9：直角三棱錐的底面每一條邊與三條側(cè)棱所成的角的余弦的平方和等于1，與三個側(cè)面所成角的余弦平方和等于2.
　　分析：如圖1，底面邊AB與側(cè)棱PA，PB所成的角為Rt△PAB的兩銳角，又由AB⊥PC，易證結(jié)論成立.
　　性質(zhì)10：設(shè)直角三棱錐P－ABC內(nèi)任一點M到平面PBC，PAC，PAB，ABC的距離分別為d1，d2，d3，d4，則+++=1.
　　證明：如圖1，因為==，所以同理可得=，=，=.
　　于是+++===1.