摘要：討論工程型人才培養(yǎng)的課程定位，通過闡述離散數(shù)學自編教材，介紹針對工程型計算機本科專業(yè)的課程內(nèi)容取舍，探討離散數(shù)學課程的學習方法，并進行了深入的思考。
　　關(guān)鍵詞：離散數(shù)學；工程型；教學改革
　　
　　離散數(shù)學是計算機科學與技術(shù)專業(yè)的重要數(shù)學基礎(chǔ)，其關(guān)于對象狀態(tài)及其變換描述的形式化和離散性特征，為計算系統(tǒng)實現(xiàn)問題求解提供了強有力的基本手段。所以，其基本概念都可以在計算機的各個領(lǐng)域中找到。該課程對培養(yǎng)學生的計算機思維能力有重要意義。筆者結(jié)合軍校工程型大學的實際教學工作，探討了工程型計算機科學與技術(shù)人才培養(yǎng)中離散數(shù)學課程教學中的一些問題。
　　1課程定位
　　教育部高等學校計算機科學與技術(shù)教學指導委員會2009年編制的《高等學校計算機科學與技術(shù)專業(yè)核心課程教學實施方案》[1]中，將人才培養(yǎng)分為科學型、工程型和應(yīng)用型3種，計算機專業(yè)這3種類型人才的教育將分別關(guān)注教育內(nèi)容中的知識和問題求解方法的不同形態(tài)的內(nèi)容，如圖1所示。
　　根據(jù)3種不同類型人才的專業(yè)素養(yǎng)與能力要求，以及其他相關(guān)專業(yè)課程的教學需要，離散數(shù)學課程的教學內(nèi)容和教學要求也具有不同的定位，如表1所示。
　　科學型人才的培養(yǎng)目標要求學生具有堅實的數(shù)學基礎(chǔ)，較強的抽象思維、形式化描述、推理和分析能力；工程型人才培養(yǎng)目標要求學生具有堅實的數(shù)學基礎(chǔ)，能夠綜合應(yīng)用相關(guān)的理論分析和解決實際問題；應(yīng)用型工程型人才培養(yǎng)目標要求學生能夠熟練運用典型的離散模型，進行系統(tǒng)的建模和集成。
　　2教材案例
　　教材建設(shè)是教學改革的重要內(nèi)容之一，是教學組織工作的基礎(chǔ)。基于上述理念與原則，作者對《離散數(shù)學》[2](高等學校計算機教育規(guī)劃教材)進行了修訂。該教材涵蓋集合論、數(shù)理邏輯、組合論、圖論、抽象代數(shù)的基礎(chǔ)知識，可滿足計算機科學技術(shù)工程領(lǐng)域(工程型)高層次人才的需求，用離散結(jié)構(gòu)的理論和方法對實際系統(tǒng)進行描述、分析的基本數(shù)學需求。
　　在這個知識框架中，離散數(shù)學課程劃分為10個知識單元，分成三個層次。第一層的4個核心知識單元與工程型一樣，即集合關(guān)系與函數(shù)、基本邏輯、圖與樹、基本計數(shù)，分別包含通常離散數(shù)學中的集合論、數(shù)理邏輯、圖論、組合數(shù)學的基礎(chǔ)部分。第二層的兩個推薦知識單元是特殊的圖、代數(shù)結(jié)構(gòu)，分別包含圖論、代數(shù)結(jié)構(gòu)中的重要內(nèi)容，這些知識單元之間相互比較獨立。第三層的3個可選知識單元是形式系統(tǒng)、高級計數(shù)、初等數(shù)論，包含了數(shù)理邏輯、組合學和初等數(shù)論中的部分內(nèi)容，這些知識單元之間也是比較獨立的。從知識結(jié)構(gòu)上，還需要一個關(guān)于證明技術(shù)的單元，包含離散數(shù)學中經(jīng)常使用的證明方法，如數(shù)學歸納法、邏輯演算、構(gòu)造性證明、反證法、歸約證明等。但在教學安排上，可以將證明技術(shù)分散到有關(guān)的知識單元中講授。
　　對比科學型人才培養(yǎng)目標，該教材包括了集合基數(shù)，但缺少一階邏輯形式系統(tǒng)的一致性、合理性、完備性證明，計算理論(遞歸函數(shù)、原始遞歸函數(shù)、圖靈機、圖靈可計算函數(shù))等內(nèi)容。該教材涵蓋應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標的全部內(nèi)容包括集合、關(guān)系與函數(shù)，基本邏輯，圖與樹，特殊的圖，證明技術(shù)，基本計數(shù)，代數(shù)系統(tǒng)簡介，初等數(shù)論。
　　3學習方法
　　在明確課程定位以及有相應(yīng)的教材支撐之后，結(jié)合實際教學，筆者從以下幾個方面對離散數(shù)學的教學方法和手段作了探討。
　　3.1深刻理解“數(shù)學內(nèi)涵”
　　一個本質(zhì)上簡單的學科卻難于學習。有些困難是表面的，其一是詞匯。數(shù)學家用一些對普通人很生僻的詞來表達從實際事物中抽象出來的概念。如“四邊形”和“平行四邊形”有一些在其他領(lǐng)域遇不到的特定的精確含義，要研究數(shù)學就得學著用。另一個看得見的，但同樣是表面的困難是使用符號。我們要解決問題，以某些給定的信息為基礎(chǔ)決定一個未知數(shù)。設(shè)此未知數(shù)是某一個長度為尺計的數(shù)字。用x去代表這個長度，而在以后就只用符號x而不去說這么長一句話，肯定是有利的。然而使用符號不會產(chǎn)生任何概念上的困難。
　　人們設(shè)想到的第三個困難是抽象性。但是由于基本的抽象或概念是直接來自日常經(jīng)驗的，人們心中很容易保存它們的含義。事實上，數(shù)學家不斷地訴諸物理對象和物理圖像，以便不忘記這些抽象概念的含義。古希臘數(shù)學家用小石子代表各類對象，用小石子學會了自然數(shù)的基本事實。順便說一下，“計算”一詞，廣義地表示任一個算術(shù)或代數(shù)過程，它的英文Calculus的拉丁語源就是小石子。甚至更高級的數(shù)學抽象，如微積分學中所學的導數(shù)和積分，說到底離這些初等概念僅一步之隔，甚至微積分的概念也有圖像的物理的意義。要學會這些抽象概念，比學習初等概念并不要求更高的智力。
　　數(shù)學的完成形式是一系列概念、一系列程序，例如求解某種類型方程的方法。另外還有一系列事實，例如定理。當然，程序和定理都要通過證明來確認。要想教會人這些數(shù)學的元素，最容易的方法莫過于用這些概念、過程、定理與證明的最終的、確定的形式去教學生。但是數(shù)學是一門老學科，它的某些重大的成就可以追溯到公元前三千年。過去五千多年里，數(shù)學家極大地擴大了這個學科的領(lǐng)域，當他們不斷認識了新的客體和現(xiàn)象，當他們不斷改進自己的理解，他們也就重塑了這些概念、程序與證明，來把這些成就組合起來。這些訂正了的版本有許多就不再清晰易懂了。
　　此外，數(shù)學的分量在增加，最好把它組織起來，使關(guān)于同一主題的許多定理有合邏輯的次序。每一門學科的基礎(chǔ)是公理，后面就是一串定理，每一個定理都用公理和前面已證的定理來證明。把結(jié)果按這樣的合于邏輯的次序來安排，這種需要就要迫使數(shù)學家找出新的、不甚自然、不甚明白的證明。結(jié)果是許多證明都被除去了它們的直觀、透明和易于理解的面貌，而被十分人為的證明代替了。
　　表述上的有效性似乎導致忽視數(shù)學的另一個特點，而這個特點對于理解數(shù)學卻是至關(guān)重要的。數(shù)學本身是一副骨骼。數(shù)學的血肉和生命在于用數(shù)學做什么。有意義的數(shù)學要為一種目的服務(wù)，這種目的用笛卡兒的話來說，就是使人成為大自然的主人和占有者。數(shù)學的意義在于數(shù)學本身之外，正如好的文學作品的意義在于紙面上文字的堆積之外。要懂得數(shù)學，就要知道為什么需要這個結(jié)果，它和其他結(jié)果關(guān)系如何，用它可以做些什么事。
　　由于學校的目的和義務(wù)繁多，有時能夠，有時又不能夠給數(shù)學一種更有啟發(fā)性的講法。有志于此的學生必須要走得遠一些，尋求一種完全的知識。要對數(shù)學有較徹底的理解與領(lǐng)會，就必須去掉那些纖巧的細節(jié)，深入到其深層的思想之中；要知道它的目的和用處，知道創(chuàng)造它的人們的動機，以及這些概念和結(jié)構(gòu)的創(chuàng)生背景。
　　3.2學會創(chuàng)造性思維
　　創(chuàng)造性的活動，對學生來說則是再創(chuàng)造的活動，是數(shù)學的心臟。正是在這種活動中，數(shù)學家創(chuàng)造了最高成就，克服了困難，并使數(shù)學這門學科取得了最有意義的進展。創(chuàng)造過程不僅在解決已有問題時必不可少。沒有新觀點、新研究方法和新目標的創(chuàng)造，數(shù)學就會反反復復重新組織老的證明，使它們更加嚴格，在這樣的過程中日趨枯竭，喪失生命力。對已經(jīng)得到的知識，重新排列其步驟，安排其定理的次序來構(gòu)成一個演繹的組織，這時常需要創(chuàng)意，但從總體上說，這更像是把書本重新排一個次序，而創(chuàng)造的活動，卻可以比作寫書。數(shù)學給人的滿足——獲得獵物時的興奮，發(fā)現(xiàn)的激動、成就的感覺以及成功時的歡樂——更多更強烈的是在創(chuàng)造性的工作之中，而不是在最后按演繹的模式來重寫論證之中。
　　數(shù)學中有許多美的篇章。無疑，數(shù)學家從事數(shù)學活動也能獲得其他創(chuàng)造活動提供的滿足感，但是偉大的數(shù)學家情愿把數(shù)學的美作為一種額外報償，激勵他們奮斗的最深層的動力，則是以數(shù)學為媒介，在人類的探索活動中理解宇宙，也理解人類自身在其中的角色，并且探求如何利用自然現(xiàn)象和自然的力量為人類服務(wù)。那些作出巨大貢獻的數(shù)學家們，像阿基米德、牛頓、拉格朗日、拉普拉斯、高斯、哈密爾頓、龐加萊，或者是一流的物理學家，或者在科學史中占據(jù)顯要地位，決不是偶然的。幾乎所有數(shù)學的目的和意義并不在于對于一堆符號作一系列的邏輯闡述，而在于這些符號必定告訴我們關(guān)于外部世界的一些知識。
　　
　　4思考與建議
　　離散數(shù)學是計算機科學系所有專業(yè)的基礎(chǔ)數(shù)學課程。一方面是因為其有實用性(應(yīng)用數(shù)學的特征)，另一方面是因為其有本身作為數(shù)學基礎(chǔ)課的理論的嚴謹性[3]。所以，學習任何一個專題時，首先要精確嚴格地掌握好概念和術(shù)語，正確理解他們的內(nèi)涵和外延。因為公理、定理或定律的基石都是概念。只有正確地理解了概念，才能把握定理的實質(zhì)，熟練地將公理、定理應(yīng)用于解決問題。完全地、精確地掌握一個概念的好主意，是首先要深刻理解概念的內(nèi)涵，然后舉一些屬于和不屬于該概念外延的正反兩方面的實例。如果對一些似是而非的例子也能辨別的話，應(yīng)該說這個概念是真正地理解了。對一些重要的概念，能記住一兩個實例也很管用。這對牢固掌握一個概念是很有好處的。
　　讀者應(yīng)養(yǎng)成一種自覺的學習習慣，就是首先要掌握好基本概念和術(shù)語，在此基礎(chǔ)上，理解每個基本定理的本質(zhì)，最后，通過學習和借鑒書中提供的例題，獨立地完成每一次作業(yè)，并且在每次作業(yè)完成之后，能自覺地歸納出其中用到的基本解題方法。注意，千萬不要在完全理解相關(guān)概念和基本定理之前就匆忙去做相應(yīng)的習題。
　　學習數(shù)學的唯一途徑是實踐。僅看別人怎么做，是不可能學會彈吉他或投籃的，也不可能僅靠閱讀本書或聽課就學好離散數(shù)學。必須積極主動地思考。在閱讀數(shù)學書時，應(yīng)該在手頭隨時備好筆和紙，以便進行詳細的推導和計算。在聽數(shù)學課前，最好先閱讀有關(guān)的內(nèi)容，這樣，就可以專注于對內(nèi)容的理解是否與教授的理解相一致，還可以就一些難點提問。本書中有很多習題，有些是純粹的計算題，有些測試對概念的理解，有些要求給出論證，建議讀者多做習題。
　　學習和理解術(shù)語也很重要。在數(shù)學中，傳統(tǒng)的做法是對一些簡單、常見的詞匯賦予特殊的含義，如集合、函數(shù)、關(guān)系、圖、樹、網(wǎng)絡(luò)。這些詞都有嚴格的定義，必須認真學習。否則就不能理解在書中讀到的內(nèi)容和教授所講述的課程。術(shù)語有助于有效地與別人共享信息。在現(xiàn)實生活中，僅僅簡單地計算出某些東西往往不夠，還必須能夠向別人解釋，使別人確信你的解是正確的。
　　
　　參考文獻：
　　[1] 教育部高等學校計算機科學與技術(shù)教學指導委員會. 高等學校計算機科學與技術(shù)專業(yè)核心課程教學實施方案[M]. 北京:高等教育