摘 要： 函數(shù)極限是函數(shù)微積分的重要理論基礎(chǔ)，但同時(shí)也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，難在定義多，性質(zhì)多，現(xiàn)在所有版本的高等數(shù)學(xué)教材都不可能將函數(shù)極限的所有概念和性質(zhì)一一講清，學(xué)生學(xué)了以后，也往往理解不深刻，掌握得不夠好，對(duì)不同的極限概念也容易混淆。作者對(duì)函數(shù)極限教學(xué)方法進(jìn)行改革，從而讓學(xué)生在總體上掌握這部分的內(nèi)容，減少了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易產(chǎn)生的模糊與混淆，讓學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)了函數(shù)極限的本質(zhì)。
　　關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)教學(xué) 函數(shù)極限教學(xué) 教學(xué)改革
　　
　　1.函數(shù)極限教學(xué)的難點(diǎn)所在
　　函數(shù)極限是討論函數(shù)y=f（x）在自變量x為如下的六種變化趨勢(shì)下，函數(shù)因變量y隨著自變量x的變化而變化的規(guī)律性.
　　函數(shù)自變量x的六種變化趨勢(shì)是：
　　1）x→x；2）x→x；3）x→x；4）x→∞；5）x→+∞；6）x→-∞。
　　當(dāng)x是上面六種變化情況的某一種時(shí)，若函數(shù)的因變量y越來(lái)越接近于某一常量A，則我們稱當(dāng)x趨向于某個(gè)東西時(shí)，f（x）以A為極限.但這是只是描述性定義，而非精確定義.此外，我們還需要考慮x趨向于某個(gè)數(shù)值時(shí)，f（x）以∞，或+∞或-∞為函數(shù)極限的定義，因此，講函數(shù)極限時(shí)，將有二十四個(gè)函數(shù)極限的定義，討論函數(shù)極限的概念后，我們還要講函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì)，主要有：（1）極限的唯一性；（2）有界性；（3）保號(hào)性.關(guān)于這個(gè)方面有不少的定理.然而事實(shí)上，沒(méi)有一本教材能全部介紹相關(guān)定義并證明相關(guān)性質(zhì).而學(xué)生面對(duì)這么多的定義及相關(guān)性質(zhì)證明也往往是一頭霧水，所有這些，正是函數(shù)極限教學(xué)的難點(diǎn)所在，也是多年來(lái)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中沒(méi)有解決的一個(gè)重要問(wèn)題.
　　2.函數(shù)極限教學(xué)的探索與實(shí)踐
　　2.1定義的改進(jìn)
　　用“x→w”表示x趨向于x→x；x→x；x→x；x→∞；x→+∞；x→-∞六種情形中的任意一種，簡(jiǎn)稱當(dāng)x趨向于某個(gè)東西，則函數(shù)極限的表達(dá)式可改為：f（x）=A，這里的A可取∞，或+∞或-∞，從而將二十四個(gè)極限情形統(tǒng)一到一個(gè)表達(dá)式中。當(dāng)然A為有限值時(shí)，稱極限存在；A為無(wú)窮時(shí)，稱極限不存在.
　　2.2函數(shù)極限定義的探索
　　2.2.1當(dāng)A為有限值，即極限存在時(shí)，函數(shù)極限的定義探索.
　　對(duì)極限f（x）=A，我們定義為：?坌ε＞0，?堝“w”的某個(gè)范圍，只要x屬于“w”的這個(gè)范圍，就有|f（x）-A|＜ε成立，即f（x）∈U（A，ε），則稱x→w時(shí)，f（x）以常數(shù)A為極限，記為f（x）=A.
　　例1.f（x）=A可定義為：?坌ε＞0，?堝U（x，δ）（δ＞0），當(dāng)x∈U（x，δ）時(shí)，就有f（x）∈U（A，ε），則稱f（x）=A.
　　例2.f（x）=A可定義為：?坌ε＞0，?堝（x，x+δ）（δ＞0），當(dāng)x∈（x，x+δ）時(shí)，就有f（x）∈U（A，ε），則稱f（x）=A.
　　例3.f（x）=A可定義為：?坌ε＞0，?堝某個(gè)范圍（M，+∞）（M＞0），當(dāng)x∈（M，+∞）時(shí)，就有f（x）∈U（A，ε），則稱f（x）=A.
　　總之，可將所有有限極限的情況歸于一個(gè)模式列出，讓學(xué)生對(duì)照比較，找出其共性，從而加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解.
　　2.2.2x→w時(shí)，f（x）以無(wú)窮為極限定義的探索.
　　有了前面的討論，我們可給出f（x）=∞或f（x）=+∞或f（x）=-∞的定義：?坌M＞0，?堝“w”的某個(gè)范圍，當(dāng)x屬于“w”的這某個(gè)范圍時(shí)，f（x）屬于關(guān)于M的某個(gè)范圍，則稱x→w時(shí)，f（x）以無(wú)窮為極限.
　　例4.f（x）=∞可定義為：?坌M＞0，?堝U（x，δ）（δ＞0），當(dāng)x∈U（x，δ）時(shí)，有f（x）∈（-∞，-M）U（M，+∞），即|f（x）|＞M.
　　例5.f（x）=+∞可定義為：?坌M＞0，?堝M＞0，當(dāng)x∈（-∞，-M）時(shí)，有f（x）∈（M，+∞），即f（x）＞M.
　　我們也可將十八個(gè)定義列出讓學(xué)生比較，并引導(dǎo)學(xué)生思考，從而掌握上述十八種定義的精髓.
　　3.關(guān)于極限性質(zhì)的教學(xué)改革探索
　　有了上述改進(jìn)，關(guān)于極限性質(zhì)，我們也可以根據(jù)不同情況將某一性質(zhì)放在同一地方來(lái)講.
　　例如講極限唯一性，證明當(dāng)f（x）為有限極限時(shí)，則極限是唯一的，可分別將：f（x）=A及f（x）=A極限的唯一性放到一塊證明；
　　f（x）=A及f（x）=A極限的唯一性也放在一塊證明.
　　通過(guò)其證明過(guò)程，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)證明的過(guò)程只是稍微改變就可以了.
　　在極限性質(zhì)的教學(xué)過(guò)程中都可以做類似的處理，通過(guò)分析和引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)極限真正的內(nèi)涵和本質(zhì).例如在局部保號(hào)性情況方面：
　　對(duì)f（x）=A，若A＞0與f（x）=A，A＞0兩種情形中：
　　第一個(gè)說(shuō)明在x的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，即x∈U（x，δ）時(shí)，有f（x）＞0；
　　第二個(gè)說(shuō)明在x足夠大時(shí)，即x∈（M，+∞）（M＞0）時(shí)，有f（x）＞0.
　　通過(guò)這種比較，學(xué)生會(huì)對(duì)極限的性質(zhì)有一個(gè)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，即若A＞0，只要x屬于一定的范圍，則這個(gè)范圍內(nèi)的函數(shù)值都大于零.
　　4.結(jié)語(yǔ)
　　高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革是當(dāng)前必須面對(duì)的一個(gè)重大課題，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的背景下，高數(shù)教學(xué)改革尤為重要.以上是我二十幾年來(lái)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)，通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，收到了良好的教學(xué)效果。但改革任重道遠(yuǎn)，我們還需總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，克服不足，將改革引向深入.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　?。?］黃力宏，廖基定，高純一，周勇.高等數(shù)學(xué)（修改版）（上）（下）［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.