段 汕，王贏飛

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢430074)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是用一個(gè)稱為結(jié)構(gòu)元素的“探針”去探測輸入圖像，以便考察圖像各個(gè)部分間的相互關(guān)系，了解圖像的結(jié)構(gòu)特征[1]．基于結(jié)構(gòu)元素和輸入圖像的形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子是形態(tài)學(xué)中的四大基本算子，在此基礎(chǔ)上，可以構(gòu)建各種形態(tài)濾波對圖像進(jìn)行處理．近年來，形態(tài)學(xué)逐漸發(fā)展成為圖像處理領(lǐng)域的一個(gè)強(qiáng)有力的工具[2]，這也使得對基本形態(tài)算子的研究成為形態(tài)學(xué)理論研究的重點(diǎn)．

最初的形態(tài)學(xué)主要集中于對歐氏空間中遞增的平移不變算子的研究．其中遞增性符合人眼視覺系統(tǒng)對外界事物的認(rèn)知特點(diǎn)，是形態(tài)算子的重要性質(zhì)．在對平移不變算子的實(shí)施過程中，所用到的結(jié)構(gòu)元素在整個(gè)空間中都是固定不變的．但是隨著形態(tài)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)展，在很多實(shí)際應(yīng)用中，具有平移不變性的形態(tài)算子已不再滿足需要，隨之出現(xiàn)了SV形態(tài)算子[3-6]．SV形態(tài)思想的正式建立可以追溯到Serra在1988年提出的結(jié)構(gòu)函數(shù)[6]的概念及其應(yīng)用，這個(gè)概念不僅保留了結(jié)構(gòu)元素的意義，也為數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)．這一點(diǎn)從近年來涌現(xiàn)出的大量關(guān)于SV形態(tài)算子和自適應(yīng)(Adaptive)形態(tài)算子的研究中就可以窺見一斑．對于SV形態(tài)算子，所用到的結(jié)構(gòu)元素稱為SV結(jié)構(gòu)元素，也即結(jié)構(gòu)元素的變化通過先驗(yàn)知識被事先確定，只與被探測點(diǎn)的特征有關(guān)，獨(dú)立于輸入圖像．而與自適應(yīng)形態(tài)算子相對應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素的變化不僅依賴于被探測點(diǎn)的特征，也依賴于具體的輸入圖像[7]．這是兩種不同的結(jié)構(gòu)元素，在文獻(xiàn)[8]中，作者分別將這兩種結(jié)構(gòu)元素稱為定位自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素(Location-adaptive structuring elements)和輸入自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素(Input adaptive structuring elements)．但也有很多文獻(xiàn)混淆了二者的概念．文獻(xiàn)[9]和[10]對歐氏空間中SV形態(tài)學(xué)的理論做了深入研究，卻在文獻(xiàn)[9]中將自適應(yīng)形態(tài)學(xué)[11,12]作為其SV框架下的特例．而在對由自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元構(gòu)建的交變序列濾波的研究中[13]，作者對算子代數(shù)性質(zhì)的證明也僅僅只對SV結(jié)構(gòu)元成立．因此，雖然兩種結(jié)構(gòu)元素都已不再是固定不變的，但現(xiàn)有的SV數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論框架并不能概括自適應(yīng)形態(tài)算子．鑒于此，本文以最初的結(jié)構(gòu)函數(shù)的概念和SV二值形態(tài)理論為基礎(chǔ)，對自適應(yīng)形態(tài)算子的表示方法及性質(zhì)進(jìn)行研究．

1 背景知識

考慮n維歐氏空間E=Rn或Zn(n>1)，冪集P(E)依包含關(guān)系構(gòu)成了一個(gè)完備布爾格．1988年，Serra將E→P(E)上的映射θ:x→θ(x)定義為結(jié)構(gòu)函數(shù)[6]，這個(gè)映射為空間中的每一點(diǎn)x賦予了一個(gè)不同的結(jié)構(gòu)元素θ(x)，并且θ的變化僅依賴于被探測點(diǎn)x的特征，這為結(jié)構(gòu)元素從固定不變到動(dòng)態(tài)變化的演變與發(fā)展提供了理論依據(jù)，也為SV形態(tài)學(xué)思想的最終建立奠定了基礎(chǔ)．對θ建立其序結(jié)構(gòu)為θ1≤θ2?θ1(z)?θ2(z)(z∈E)，并將θ′(y)={z∈E|y∈θ(z)}(y∈E)稱為θ的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)元素，那么歐氏空間中SV二值腐蝕和膨脹可以表示為[9]：

(1)

(2)

其中X∈P(E)．

在(1)、(2)式的基礎(chǔ)上，可以通過算子之間的復(fù)合構(gòu)建一系列的SV形態(tài)濾波．本文以此為基礎(chǔ)，對歐氏空間中自適應(yīng)形態(tài)算子的表示方法及性質(zhì)進(jìn)行研究．在下文中，我們用大寫字母X,Y,Z表示P(E)中的元素，小寫字母x,y,z表示E中的元素．

2 自適應(yīng)形態(tài)算子的表示及性質(zhì)

基于自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素所構(gòu)建的形態(tài)算子稱為自適應(yīng)形態(tài)算子．自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素與上述SV結(jié)構(gòu)元素的差別主要在于SV結(jié)構(gòu)元素僅與被探測點(diǎn)的特征有關(guān)，而自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素除了與被探測點(diǎn)z的位置有關(guān)以外，還依賴于具體的輸入圖像X．因此，定義自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素[14]為φ(z,X):E×P(E)→P(E)，其中z∈E，X∈P(E)，并規(guī)定φ繼承P(E)上的序結(jié)構(gòu)，即：

φ1≤φ2?φ1(z,X)?φ2(z,X).

定義φ的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)元素φ′為：

φ′(y,X)={z∈E|y∈φ(z,X)}(y∈E).

相應(yīng)地，在此基礎(chǔ)上定義P(E)→P(E)上的映射εφ和δφ如下：

εφ(X)={z∈E|φ(z,X)?X}(X∈P(E)),

(3)

(4)

在(3)式中，由于對于任意的z∈εφ(X)，有：

φ(z,X)?X??y∈Xc,y?φ(z,X)??y∈Xc,z?

(5)

同理，對于(4)式，對任意的z∈δφ(X)，有：

即(4)式又可以表示為：

δφ(X)={z∈E|φ′(z,X)∩X≠?}(X∈P(E)).

(6)

注意到，對于任意的z∈E，X∈P(E)，在結(jié)構(gòu)元素固定不變的情況下，φ(z,X)=B+z，B為P(E)上的固定集合，那么：

?z∈X,z∈{ω∈E|φ(ω,X)?Y}?X?{ω∈E|φ(ω,X)?Y}，

而{ω∈E|φ(ω,X)?Y}≠{ω∈E|φ(ω,Y)?Y}，故εφ和δφ并不構(gòu)成附益關(guān)系．并且如果設(shè)X?Y，那么對于任意的z∈εφ(X)，φ(z,X)?X?Y，但并不能保證φ(z,Y)?Y，也就不能得出εφ(X)?εφ(Y)的結(jié)論，因此εφ并不是遞增算子，同理可得δφ也不是遞增算子．故基于自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素φ所構(gòu)建的算子(3)、(4)并不是P(E)上的腐蝕與膨脹算子．

為了獲得自適應(yīng)形態(tài)算子的表示，我們需要對結(jié)構(gòu)元素加以條件限制．

2.1 自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素需滿足的條件

在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中，基本形態(tài)算子腐蝕和膨脹分別定義為與元素的上確界和下確界可交換的算子[5]，在P(E)中，這種確界關(guān)系就表現(xiàn)為集合與集合之間的并與交．根據(jù)定義，腐蝕、膨脹運(yùn)算需具有遞增性、附益性、對偶性等一系列性質(zhì)．為了使(3)、(4)式能夠表示P(E)中的腐蝕和膨脹運(yùn)算，我們假定自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素φ滿足如下條件：

(a) 對于任意的z∈E，X∈P(E)，都有z∈φ(z,X)；

(b) 若X?Y，則φ(z,X)?φ(z,Y)，其中z∈E，且當(dāng)z∈X時(shí)，φ(z,X)=φ(z,Y)．

由于在結(jié)構(gòu)元素固定不變的情況下，條件(a)就表現(xiàn)為φ(z,X)=B+z，B為固定集合，那么(a)等價(jià)于z∈(B+z)，即0∈B，因此此時(shí)條件(a)意味著結(jié)構(gòu)元素包含原點(diǎn)．條件(b)表明，當(dāng)輸入圖像X包含在Y中時(shí)，依賴于圖像X的結(jié)構(gòu)元所探測的結(jié)果必定包含在依賴于輸入圖像Y的結(jié)構(gòu)元素所探測的結(jié)果中，因此條件(b)既符合實(shí)際應(yīng)用中的常識，也符合心理學(xué)上人們對事物的認(rèn)知特點(diǎn)．

下面我們證明在條件(a)、(b)的假定下，算子εφ和δφ滿足的一些性質(zhì)．

2.2 自適應(yīng)腐蝕與膨脹的性質(zhì)

性質(zhì)1(增性) 若X,Y∈P(E)，X?Y，那么對任意的結(jié)構(gòu)元素φ，有εφ(X)?εφ(Y)，δφ(X)?δφ(Y)．

證明1)由于εφ(X)={z∈E|φ(z,X)?X}，z∈φ(z,X)，則對任意的z∈εφ(X)，有z∈φ(z,X)?X，又X?Y，故由條件(b)可得φ(z,Y)=φ(z,X)?X?Y，即z∈εφ(Y)={z∈E|φ(z,Y)?Y}，故εφ(X)?εφ(Y)．

性質(zhì)2 (擴(kuò)展性(非擴(kuò)展性)) 對于任意的結(jié)構(gòu)元素φ，都有εφ(X)?X，X?δφ(X)(X∈P(E))．

證明1)由于εφ(X)={z∈E|φ(z,X)?X}，則由z∈φ(z,X)可知，對任意的z∈εφ(X)，有z∈φ(z,X)?X，即εφ(X)?X．

性質(zhì)3(附益性) 對任意的結(jié)構(gòu)元素φ，δφ(X)?Y?X?εφ(Y)(X,Y∈P(E))．

證明由于z∈φ(z,X)，則εφ(X)?X?δφ(X)．故由δφ(X)?Y可得X?Y，由X?εφ(Y)可得X?Y．則對任意的z∈X，有φ(z,X)=φ(z,Y)．故：

性質(zhì)5 (結(jié)構(gòu)元素的增性) 若結(jié)構(gòu)元素φ1≤φ2，則εφ2?εφ1，δφ1?δφ2．

證明1) 由于εφ1(X)={z∈E|φ1(z,X)?X}，εφ2(X)={z∈E|φ2(z,X)?X}，其中X∈P(E)，則對于任意的z∈εφ2(X)，有φ2(z,X)?X．又φ1≤φ2，則可得φ1(z,X)?φ2(z,X)?X，也即z∈εφ1(X)．因此εφ2?εφ1．

性質(zhì)6 (結(jié)構(gòu)元素的復(fù)合性) 若φ1，φ2是E×P(E)→P(E)上的映射，那么εφ2(εφ1)=εδφ1(φ2)，δφ2(δφ1)=δδφ2(φ1)，其中δφ1(φ2)表示E×P(E)→P(E)上的映射，對任意的z∈E，X∈P(E)滿足δφ1(φ2)(z,X)=δφ1(φ2(z,X))．

證明1)εφ2(εφ1)(X)=εφ2(εφ1(X))={z∈E|φ2(z,X)?εφ1(X)}={z∈E|δφ1(φ2(z,X))?X}={z∈E|δφ1φ2(z,X)?X}=εδφ1(φ2)(X)(X∈P(E)).

由上述證明可以看出，在條件(a)、(b)的假定下，由(3)、(4) (及(5)、(6))兩式所定義的算子εφ、δφ滿足一般形態(tài)腐蝕、膨脹需具備的一系列性質(zhì)，因此它們正是P(E)上基于自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素φ的腐蝕和膨脹算子．

2.3 自適應(yīng)開、閉算子的表示及性質(zhì)

在2.1中基本條件(a)、(b)的假定下，我們可以由自適應(yīng)腐蝕和膨脹算子的表達(dá)式(3)、(4)(及(5)、(6))得到自適應(yīng)開、閉算子如下：

αφ(X)=δφ(εφ(X))=∪{φ(z,X)|z∈εφ(X)}=∪{φ(z,X)|z∈{y∈E|φ(y,X)?X}}=∪{φ(z,X)|φ(z,X)?X,z∈E},

βφ(X)=εφ(δφ(X))={z∈E|φ(z,X)?δφ(X)}={z∈E|φ(z,X)?{y∈E|φ′(y,X)∩X≠?}}={z∈E|φ′(y,X)∩X≠?,y∈φ(z,X)}={z∈E|φ′(y,X)∩X≠?,z∈φ′(y,X)}.

其中X∈P(E)．可以證明，它們滿足一般形態(tài)開、閉算子的代數(shù)性質(zhì)．

性質(zhì)1 (增性) 若X,Y∈P(E)且X?Y，那么對任意的結(jié)構(gòu)元素φ，都有αφ(X)?αφ(Y)，βφ(X)?βφ(Y)．

證明1)由于αφ(X)=∪{φ(z,X)|φ(z,X)?X,z∈E}，則對于任意的φ(z,X)∈αφ(X)，有φ(z,X)?X．又由假定條件(a)，z∈φ(z,X)?X，則z∈X，故由條件(b)可知，φ(z,Y)=φ(z,X)?X?Y，即φ(z,Y)∈αφ(Y)，也即αφ(X)?αφ(Y)．

2) 由于βφ(X)={z∈E|φ′(y,X)∩X≠?,z∈φ′(y,X)}，則對任意的z∈βφ(X)，都有φ′(y,X)∩X≠?且z∈φ′(y,X)．則由z∈φ′(y,X)可得y∈φ(z,X)?φ(z,Y)，則z∈φ′(y,Y)，故φ′(y,X)?φ′(y,Y)，于是φ′(y,Y)∩Y≠?且z∈φ′(y,Y)，即有z∈βφ(Y)．因此，βφ(X)?βφ(Y)．

性質(zhì)2 (擴(kuò)展性(非擴(kuò)展性)) 對任意的結(jié)構(gòu)元素φ，αφ(X)?X，X?βφ(X)，其中X∈P(E)．

證明由于對任意的X，Y∈P(E)，有δφ(X)?Y?X?εφ(Y)成立，則令X=εφ(Y)得δφ(εφ(Y))?Y，即對任意的X∈P(E)，αφ(X)?X．令Y=δφ(Y)得，X?εφ(δφ(X))，即X?βφ(X)．

3 結(jié)束語

自適應(yīng)算子在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的發(fā)展前景和重要的研究價(jià)值，而自適應(yīng)形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子的表示則是形態(tài)學(xué)理論的重要組成部分和應(yīng)用基礎(chǔ)．通過以上研究，我們可以清晰地看到，在賦予自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素適當(dāng)?shù)臈l件之后，就可以得到相應(yīng)的形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子的表示形式及性質(zhì)，為一般自適應(yīng)形態(tài)算子的研究構(gòu)建一個(gè)相對清晰的理論框架，并且可以將SV數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)看作自適應(yīng)理論下的一個(gè)特例．本工作為形態(tài)算子基于自適應(yīng)腐蝕和膨脹的表示定理的研究奠定了基礎(chǔ)，對灰度自適應(yīng)形態(tài)算子表示的研究有一定的參考價(jià)值，對自適應(yīng)形態(tài)理論的實(shí)際應(yīng)用也有一定的指導(dǎo)意義．

[1]崔 屹．圖像處理與分析——數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及應(yīng)用[M ]．北京：科學(xué)出版社，2000．

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