陳 斌

（渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 渭南 714000）

包含Smarandache對(duì)偶函數(shù)的方程的正整數(shù)解

陳 斌

（渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 渭南 714000）

Smarandache對(duì)偶函數(shù)；Ω函數(shù)；正整數(shù)解

1 引言及結(jié)論

現(xiàn)設(shè)Ω（n）表示正整數(shù)n的所有素因子的個(gè)數(shù)（按重?cái)?shù)計(jì)算），即若n＝pα11pα22…pαkk為正整數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式，則Ω（n）＝α1＋α2＋…＋αk.考慮函數(shù)方程

張文鵬教授建議筆者研究方程（1）的可解性，本研究得到了這個(gè)方程的所有正整數(shù)解.即證明了如下定理：

定理 方程（1）所有偶數(shù)解為n＝24·330、n＝26·312、n＝8p7、n＝16p5、n＝64p4、n＝2pq，其中p、q≥5為奇素?cái)?shù)；所有奇數(shù)解為n＝p、n＝pαq，其中α≥1，p、q為奇素?cái)?shù).

2 定理的證明

顯然，由S＊（n）和Ω（n）的定義知，n＝1不是方程（1）的解，下面假設(shè)n＞1.

Ⅰ.若n為偶數(shù)，分以下幾種情況討論：

［1］ SMARANDACHE F.Only Problems，Not Solutions［M］.Chicageo：Xiquan Publishing House，1993.

［2］ 潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1992.

［3］ 易媛，亢小玉.Smarandache函數(shù)問題研究［M］.西安：西北大學(xué)出版社，2006.

［4］ 張文鵬.關(guān)于F.Smarandache函數(shù)的兩個(gè)問題［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，38（2）：173－176.

［5］ 徐哲峰.Smarandache函數(shù)的值分布性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，49（5）：1009－1012.

［6］ 李梵蓓.一個(gè)與Smarandache函數(shù)有關(guān)的函數(shù)方程及其正整數(shù)解［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，38（6）：892－893.

［7］ SANDOR J.On certain generalizations of the Smarandache function［J］.Notes Number Theory and Discrete Mathematics，1999，5（2）：41－51.

［8］ SANDOR J.On a dual of the pseudo Smarandache function［J］.Smarandache Notions Journal，2002，13：18－23.

［9］ 張文鵬.初等數(shù)論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2007.

［10］ APOSTOL T M.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York：Spring－Verlag，1976.

［11］ LOU Y B.On the pseudo Smarandache function［J］.Scientia Magna，2007，3（4）：48－50.

［12］ ZHENG Y N.On the pseudo Smarandache function and its two conjectures［J］.Scientia Magna，2007，3（4）：51－53.

［13］ 張愛玲.關(guān)于偽Smarandache函數(shù)的一個(gè)方程及其正整數(shù)解［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，38（4）：535－536.

［14］ 王妤.一個(gè)包含Smarandache LCM對(duì)偶函數(shù)的方程［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25（5）：23－27.

Positive integer solutions of an equation involving Smarandache dual function

CHENBin
（Department of Mathematics，Weinan Teachers University，Weinan 714000，Shaanxi Province，China）

By using the elementary number theory and combinational methods，the positive integer solutions of a function equation involving both of the Smarandache dual function and theΩfunction is studied.All the exact positive integer solutions are given for the equation，and it is proved that the evennsatisfy the equation only ifn＝24·330，n＝26·312，n＝8p7，n＝16p5，n＝64p4，n＝2pq，wherep，q≥5are both odd primes，and the oddnsatisfy the equation only ifn＝p，n＝pαq，wherep，qare both odd primes，α≥1.

Smarandache dual function；Ωfunction；positive integer solutions

O156.4

A

1671－1114（2012）03－0006－03

2012－12－10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11071194）；陜西省科技廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2012JM1021）；陜西省教育廳自然科學(xué)科研計(jì)劃資助項(xiàng)目（12JK0880）；陜西省軍民融合研究院2011年基金資助項(xiàng)目（11JMR10）；渭南師范學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目（12YKS024）；信息安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（中國科學(xué)院軟件研究所）資助項(xiàng)目100190（2011NO：01－01－2）

陳 斌（1979—），男，講師，主要從事數(shù)論方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）