郭繼發(fā)，崔偉宏

1.天津師范大學城市與環(huán)境科學學院，天津300387；2.中國科學院遙感應用研究所，北京100101

高階模糊地理現(xiàn)象建模和度量研究

郭繼發(fā)1，崔偉宏2

1.天津師范大學城市與環(huán)境科學學院，天津300387；2.中國科學院遙感應用研究所，北京100101

模糊地理現(xiàn)象的建模和度量方法已經取得一些進展，但是現(xiàn)有的模型不能度量隸屬度的誤差，不足以客觀描述復雜的模糊地理現(xiàn)象。認為尺度效應和測量誤差是客觀上引起模糊地理現(xiàn)象隸屬度誤差的主要方面，相關人員的主觀性和部門間標準的差異性是主觀上引起隸屬度誤差的主要方面?；趨^(qū)間Ⅱ－型模糊集理論建立模糊地理對象模型，研究區(qū)間Ⅱ－型模糊線長度、區(qū)間Ⅱ－型模糊面面積的度量方法和它們隸屬度誤差的度量方法。該模型能表達隸屬度誤差，克服現(xiàn)有模型的諸多缺陷。在自然災害分析、全球變化和植被變化等方面有良好的應用前景。

多尺度；高階模糊性；區(qū)間Ⅱ－型模糊集；不確定性；度量

1 引 言

模糊性是復雜地理空間中許多現(xiàn)象和實體的共性，如自然災害區(qū)域或孕災環(huán)境的范圍。對于空間對象的形狀模糊性，許多文獻用不同的詞匯來描述：具有不確定邊界的對象［1］、模糊空間對象［2］、寬邊界對象［3］。模糊地理現(xiàn)象的描述方法可分為以下幾種：① 從模糊邊界的角度研究連續(xù)場中的模糊現(xiàn)象［4－5］；② 從模糊對象的角度，包括三值邏輯［6］、模糊邏輯［7－9］；③ 基于其他理論的模糊空間現(xiàn)象建模，包括粗糙集理論和灰集理論［10－13］，基于這些模型討論了模糊對象的拓撲、方向、距離等空間關系。這些表達方法或模型存在的共同缺陷是只能表達單一尺度下的地理特征而不能表達模糊地理現(xiàn)象在適宜尺度區(qū)間內的狀態(tài)，同時也不能表達由測量數據誤差等方面引起的隸屬度誤差。

模糊邏輯方法是模糊地理現(xiàn)象建模和分析的主要方法，但是由于經典的模糊集理論以精確值表示隸屬度而不能度量隸屬度誤差，一直受到國內外學者的質疑。為了克服這一缺陷，文獻［14］提出n階模糊集（type nfuzzy sets）的概念，目前應用較多的是Ⅱ－型模糊集（type－Ⅱfuzzy sets），Ⅱ－型模糊系統(tǒng)理論已在通信、金融、控制及醫(yī)療等許多領域取得了成功應用［15］，Ⅱ－型模糊集以主隸屬度表示對象屬性的模糊性，以次隸屬度描述主隸屬度的不確定性，使得對不確定性的處理能力大大增強。區(qū)間Ⅱ－型模糊集（interval type－Ⅱfuzzy sets）是次隸屬度為1時的特殊的Ⅱ－型模糊集，大大降低了Ⅱ－型模糊集的復雜性，應用最為廣泛。一些研究人員認為GIS中廣泛存在高階模糊性［16－19］，研究高階模糊地理現(xiàn)象時大多采用區(qū)間Ⅱ－型模糊集［19－21］。

地理空間數據存在誤差，由這些數據模糊化得到的模糊隸屬度也應存在誤差，文獻［22］基于空間數據的位置誤差推導了模糊地理實體隸屬度的誤差模型，給出隸屬度誤差的度量方法；在不同尺度下進行模糊化得到的模糊隸屬度也可能不同。認為尺度效應和測量誤差是客觀上造成模糊隸屬度誤差的主要方面；解析模糊地理對象時專家知識的不確定性、部門間標準的差異性以及作業(yè)人員的主觀判斷是造成模糊隸屬度誤差的主觀因素。現(xiàn)有的模型不能滿足高階地理現(xiàn)象的建模和分析，本文基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集構建一個模糊地理對象模型，研究模糊線長度和模糊面面積的度量方法，并討論區(qū)間Ⅱ－型模糊對象隸屬度誤差的描述方法。

2 基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集模糊對象表達與定義

基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集的模糊地理對象模型由區(qū)間Ⅱ－型模糊點、區(qū)間Ⅱ－型模糊線和區(qū)間Ⅱ－型模糊面組成，如圖1。本文采用文獻［23］定義的區(qū)間Ⅱ－型模糊集的拓撲空間。設X為非空集合，I為區(qū)間［0，1］，τ為X上的區(qū)間Ⅱ－型模糊集簇，滿足：①

圖1 基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集的模糊對象模型的結構Fig.1 Structure of fuzzy object model based on interval type－Ⅱfuzzy sets

則稱（X，τ）為區(qū)間Ⅱ－型模糊集的一個模糊拓撲空間，τ為一個區(qū)間Ⅱ－型模糊拓撲。

2.1 模糊點實體

式中，v1、v2分別為上、下隸屬度值，0≤v1≤v2≤1。當0＜v1＝v2≤1時簡化為Ⅰ－型模糊點；當v1＝v2＝0時表示在該位置不存在某種屬性；當v1＝v2＝1時為分明點（crisp point）；當v2＝1時為標準Ⅱ－型模糊點。

圖2 區(qū)間Ⅱ－型模糊點Fig.2 Interval type－Ⅱfuzzy point

2.2 模糊線實體

區(qū)間Ⅱ－型模糊線實體是一種沒有寬度（大小）但是線上任意點的隸屬度可能不能完全確定的線狀實體。例如2008年汶川地震中破壞的公路可用這種實體描述其受損程度。區(qū)間Ⅱ－型模糊線的隸屬度由上隸屬函數（upper membership function，UMF）和下隸屬函數（lower member－ship function，LMF）度量，表示為和且先定義簡單區(qū)間Ⅱ－型模糊線。

（1）簡單模糊線是指在模糊拓撲空間（X，τ）中滿足以下條件的區(qū)間Ⅱ－型模糊線：① 簡單模糊線在X－Y平面上的投影為線實體；② 簡單模糊線的UMF和LMF曲線是三維曲線；③簡單模糊線的UMF和LMF曲線是連續(xù)的；④簡單模糊線的UMF和LMF曲線是凸的；⑤簡單模糊線是一個閉集；⑥ 簡單模糊線的閉包是緊的。在這些條件中，③ 保證線上屬性的連續(xù)性；④ 使得模糊線的任意截集都是連續(xù)線實體；⑤和⑥要求簡單模糊線閉合且有界，同時要求簡單模糊線不是由兩個或多個獨立的模糊線實體構成，這樣有利于界定模糊線的邊界部分。簡單模糊線包括模糊直線、折線、環(huán)線、多線、曲線等（圖3），模糊曲線在X－Y平面上的投影為曲線，本文僅討論前4種。首先定義兩種特殊的簡單模糊線：模糊直線在GIS中通常以兩個點分別表示直線的起點和終點，那么簡單模糊直線也可以用兩個點來分別定義其起點和終點，并且定義其上下隸屬函數，如圖3（b）所示，在X－Y平面上的投影為直線；正則簡單模糊線是一個區(qū)間Ⅱ－型模糊數［3－4］。

圖3 5類區(qū)間Ⅱ－型模糊線Fig.3 Five type’s interval type－Ⅱfuzzy line

（2）簡單模糊線群是簡單模糊線的集合。當模糊線段首尾相連時稱為模糊折線，即第i條簡單模糊線與第i＋1條鄰接，在連結處有當且時為模糊環(huán)線。模糊多線由簡單模糊線、模糊折線或模糊環(huán)線構成。圖3中（c）、（d）和（e）分別為模糊折線、模糊環(huán)線和模糊多線。

（3）一般模糊線是指UMF和LMF不一定連續(xù)和凸的，但應是閉集，包括模糊曲線。本文不對一般模糊線展開討論。

2.3 模糊面實體

2.3.1 簡單模糊面

模糊拓撲空間（X，τ）中滿足以下條件的區(qū)間Ⅱ－型模糊面稱為簡單模糊面：① 簡單模糊面是凸的，即LMF和UMF均是凸的；②簡單模糊面的LMF和UMF是上半連續(xù)的；③簡單模糊面是一個閉集；④ 簡單模糊面的閉包是緊的。

與簡單模糊線的性質相似，① 使得模糊面的任意截集都是連續(xù)面實體，同時簡單模糊面最多只有一個核區(qū)域；③和④同時要求簡單模糊面不是由兩個或多個獨立的模糊面域構成，簡單模糊面不存在空洞。在此定義3種特殊的簡單模糊面：似點模糊面、似線模糊面和正則簡單模糊面。

2.3.2 似點模糊面

似點模糊面表示在有限范圍內，具有某種屬性的區(qū)域。之所以稱為“似點模糊面”，是因為這種實體從認知的角度看，在一定尺度下該類實體具有點的特征，但是在一定的截集水平下又具有面的特征。以參考點為中心，與越近就越具有某種屬性。例如在農作物發(fā)生病蟲災害時，莊稼地呈現(xiàn)出一個小的病蟲害斑塊，中間點最嚴重，然后向四周逐漸減弱，因此如果關注的尺度比較小時是一個小的斑塊（模糊面），當關注的尺度較大時表現(xiàn)為一個模糊點。似點模糊面形式化描述為

式中，E表示一個二維平面空間區(qū)域。具有某種規(guī)則特征的似點模糊面的隸屬度函數表示為

圖4 區(qū)間Ⅱ－型似點模糊面Fig.4 Interval type－Ⅱpoint－like fuzzy region

2.3.3 似線模糊面

與“似點模糊面”類似，是因為這種實體從認知的角度看，在一定尺度下該類實體具有線狀實體的特征，但是在一定的截集水平下又具有面的特征。

單一似線模糊面是由無限“似點模糊面”構成的有序集合，顯然所有“似點模糊面”的中心構成一條簡單模糊線。如圖5（a）所示，單一似線模糊面可形式化表示為

圖5 區(qū)間Ⅱ－型似線模糊面Fig.5 Interval type－Ⅱlinelike fuzzy region

復合似線模糊面則為單一似線模糊面的并集，如圖5（b）

2.3.4 正則簡單模糊面

正則簡單模糊面是一個區(qū)間Ⅱ－型模糊數，圖6和圖7分別表示離散空間和連續(xù)空間中的正則簡單模糊面，因此正則簡單模糊面除了滿足簡單模糊面的條件外，還需滿足以下條件：① 正則簡單模糊面是一個區(qū)間Ⅱ－型模糊數；② 正則簡單模糊面的內部、核和外層是雙連通的規(guī)則開集。

圖6 離散空間中的正則簡單模糊面Fig.6 The normal simple interval type－Ⅱfuzzy region in discrete space

圖7 連續(xù)空間中的正則簡單模糊面Fig.7 The normal simple interval type－Ⅱfuzzy region in infinite space

3 模糊地理現(xiàn)象的度量及不確定性

3.1 模糊點和模糊點群的隸屬度誤差

于是模糊點群的隸屬度誤差為

3.2 模糊線的度量

文獻［8］通過長度積分法來確定對Ⅰ－型模糊線的長度，得到的長度是一個確切值，這跟模糊的本質不符。設Ⅱ－型模糊線如圖3（a）所示，設圖中X－Y平面上量綱為m。模糊線的UMF和 LMF分別表示為）和為計算方便，可以表示成參數t的方程和在直線方向上的隸屬函數如圖8所示，本文給出以下幾種度量方法。

3.2.1 模糊概略長度

式中，長度單位與X－Y平面上的單位一致（后文長度公式的單位也等同于X－Y平面上的長度單位，不再特別說明）。于是模糊長度可表示為

圖8 區(qū)間Ⅱ－型模糊線的隸屬函數Fig.8 Membership function of interval type－Ⅱfuzzy line

3.2.2 α－截集長度

由α－截集的性質和區(qū)間數的關系可知β＜γ?Lβ?Lγ?Length（Lβ）≥Length（Lγ）。同時對于任意一個αi存在一個Length與其對應，因此通過和αi可以定義長度和長度隸屬度的關系。區(qū)間Ⅱ－型模糊線的長度可以表示為一個區(qū)間Ⅱ－型模糊集

3.2.3 絕對長度

3.2.4 區(qū)間Ⅱ－型模糊線的長度誤差

其模糊概略長度、α－截集長度均由模糊區(qū)間數表示，長度誤差表示為單位與長度單位一致；對于絕對長度，如果存在大于0，那么隸屬度為1時為分明線。圖3（a）確定的直線的概略長度為［6.3，8.55］（單位：m）；絕對長度為0m；α－截集長度如表1和圖9所示。

表1 區(qū)間Ⅱ－型模糊線的α－截集長度Tab.1 Length ofα－cut level of interval type－Ⅱfuzzy line

圖9 區(qū)間Ⅱ－型模糊線的長度Fig.9 Length of interval type－Ⅱfuzzy line

3.3 模糊面的度量

面積是模糊地理實體很重要的一個屬性，在寬邊界描述方法中以最大范圍和最小范圍來表示。文獻［25］給出了離散空間中Ⅰ－型模糊實體面積的度量方法。文獻［26］分析了這種方法，并從α－截集的角度研究模糊區(qū)域的面積描述方法。這兩種方法的共同缺陷是以一個精確值表示模糊實體的面積。筆者給出兩種區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的面積度量方法。

3.3.1 三維體積法

式中，面積單位為X－Y平面上的面積量綱（此后的面積單位的確定方法與此一致，不再單獨說明），對于連續(xù)空間

那么模糊區(qū)域的面積可表示為一個區(qū)間數

3.3.2 α－截集法

區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的截集為一個寬邊界區(qū)域，內部區(qū)域為一個確定的α－截集區(qū)域，而寬邊界區(qū)域為不確定區(qū)域，避免了在Ⅰ－型模糊集中α－截集為確定區(qū)域的缺陷。從α－截集的角度給出了模糊區(qū)域的面積描述方法

在圖7中，設X－Y平面上的長度單位為m，用三維體積法確定圖7的區(qū)間Ⅱ－型模糊面的面積為［1 102.7，2 167］，單位為m2；用α－截集法確定的面積如表2和圖10所示。

表2 區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的α－截集面積Tab.2 Area ofα－cut level of interval type－Ⅱfuzzy region

圖10 區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的面積Fig.10 Area of interval type－Ⅱfuzzy region

3.3.3 一般區(qū)間Ⅱ－型模糊面實體的不確定性度量

大量的模糊實體難以定義其幾何結構，如通過遙感手段獲取的森林區(qū)域。假定模糊現(xiàn)象的上隸屬函數和下隸屬函數已知，由這兩個隸屬度函數可以定義區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的不確定性立方體，由此可確定絕對隸屬度誤差和相對隸屬度誤差。設區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域支集的面積為S0，柵格單元的面積為S，上下隸屬函數為和不確定性可用如下公式度量，單位與面積單位一致。

絕對隸屬度誤差

平均隸屬度誤差

4 結 論

客觀地對模糊地理現(xiàn)象建模和度量是分析模糊自然現(xiàn)象的前提，本文討論基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集的模糊地理對象建模、度量和不確定性等方面的關鍵理論，克服了現(xiàn)有模型和度量方法的缺陷，為高階模糊地理信息理論提供了一種可行的研究思路。本文提出的“似線模糊面”和“似點模糊面”在本質上是模糊面，只是在認知層面上像“線”和“點”，因此二者均用模糊面的面積及其隸屬度誤差進行度量。本文提出的理論方法的客觀性和應用效果有待進一步驗證和評價。

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Modeling and Metrics of Higher Order Fuzzy Geographical Phenomena

GUO Jifa1，CUI Weihong2
1.College of City and Environmental Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China；2.Institute of Remote Sensing Applications，Chinese Academy of Sciences，Beijing100101，China

Modeling and metrics of fuzzy geographical phenomena have gained some products.But existing models can’t measure the error of membership value，so those models can’t satisfy to objectively describe complex natural and artificial phenomena.The scale effect and measurement error are two major objective reasons which bring forth the membership error of vague geographical phenomena while subjectivity of relative workers and difference of standards between departments are major subjective reasons.A fuzzy geographical object model is proposed based on interval type－Ⅱfuzzy sets，and the metrics of length of interval type－Ⅱfuzzy line and area of interval type－Ⅱfuzzy region are developed too，then the membership error of interval type－Ⅱfuzzy geographical object is analyzed.This model can handle uncertainty of membership value and avoid some limitations of existing models.The model and relative metrics methods have broad applications in natural hazard analysis，global change，land cover change and so on.

multi－scale；higher order vagueness；interval type－Ⅱfuzzy set；uncertainty；metrics

GUO Jifa（1981—），male，PhD，lecturer，majors in high order fuzzy geographical information modeling and analysis，spatial－temporal database and spatial data uncertainty.

GUO Jifa，CUI Weihong.Modeling and Metrics of Higher Order Fuzzy Geographical Phenomena［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（1）：139－146.（郭繼發(fā)，崔偉宏.高階模糊地理現(xiàn)象建模和度量研究［J］.測繪學報，2012，41（1）：139－146.）

P208

A

1001－1595（2012）01－0139－08

國家科技支撐計劃（2008BAK50B01）；國家自然科學基金（41101352）；天津師范大學博士基金（52XB1008）；天津師范大學空間信息服務重點實驗室基金（53H10070）

宋啟凡）

2010－10－22

2011－06－08

郭繼發(fā)（1981—），男，博士，講師，主要從事高階模糊地理信息建模和分析，時空數據庫和不確定性。

E－mail：guojfx2004＠163.com