張剛兵，胥嘉佳

(1.常州工學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，江蘇 常州 213002；2.南京模擬技術(shù)研究所，江蘇 南京 210000)

二相編碼信號(hào)廣泛應(yīng)用于通信和雷達(dá)系統(tǒng).在許多應(yīng)用領(lǐng)域，需要先對(duì)BPSK信號(hào)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后才能解碼.其中BPSK信號(hào)的載頻估計(jì)是碼速率估計(jì)、初始相位估計(jì)和同步估計(jì)等其它參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)，載頻估計(jì)的精度直接影響B(tài)PSK解碼的正確率.在通信領(lǐng)域中相位編碼(MPSK)信號(hào)的載頻盲估計(jì)問題是研究的熱點(diǎn)，Veterbi A.J.和Veterbi A.M.[1]提出的前饋?zhàn)畲笏迫还烙?jì)算法(V&V算法)，可以對(duì)MPSK信號(hào)的相位和頻偏進(jìn)行盲估計(jì).以V&V算法為基礎(chǔ)得到了一類盲最小二乘頻偏估計(jì)算法[2-3]，把頻偏估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為估計(jì)加性高斯白噪聲污染的正弦波頻率估計(jì)問題，在通信中獲得廣泛應(yīng)用.文獻(xiàn)[1-3]中的算法都必須有碼速率和碼同步的先驗(yàn)知識(shí).Mounir Ghogho，Ananthmm和Tariq Durran給出一種簡單的非線性頻率估計(jì)方法[4](MAT算法)，MAT算法是一種簡單快速實(shí)用的MPSK載頻盲估計(jì)算法，但是如果輸入的信號(hào)沒有經(jīng)過匹配接收或者匹配濾波，而接收機(jī)帶寬遠(yuǎn)大于信號(hào)帶寬，那么M次方這一非線性運(yùn)算就會(huì)把大量的帶外噪聲疊加到有用信號(hào)的頻帶中，從而導(dǎo)致其估計(jì)性能下降.

在電子偵察領(lǐng)域，對(duì)接收的MPSK信號(hào)的參數(shù)沒有任何先驗(yàn)知識(shí)，因此不能利用文獻(xiàn)[1-3]中的算法估計(jì)信號(hào)的載頻，而MAT算法的估計(jì)性能也受到限制.針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)[5]中提出了一種基于相位展開和最小二乘多項(xiàng)式擬合的算法(LSFE算法)，LSFE算法對(duì)MPSK信號(hào)參數(shù)的先驗(yàn)知識(shí)沒有要求，且在較低信噪比(SNR)條件下載頻估計(jì)的均方根誤差(RMSE)依然接近MPSK信號(hào)的克拉美-羅限(MCRB).但是該算法的復(fù)雜度較高，因此處理時(shí)間也相應(yīng)的比較長.由于電子偵察接收機(jī)對(duì)接收的信號(hào)沒有任何先驗(yàn)知識(shí)，接收機(jī)帶寬往往遠(yuǎn)大于接收到信號(hào)的帶寬，并且由于是寬帶接收，對(duì)其處理算法的實(shí)時(shí)性有很高的要求.針對(duì)這些特點(diǎn)，以計(jì)算量較小的MAT算法為基礎(chǔ)，提出一種改進(jìn)的MAT算法(本算法簡稱M-MAT算法)，使之可以應(yīng)用到電子偵察等對(duì)信號(hào)參數(shù)沒有任何先驗(yàn)知識(shí)的領(lǐng)域.首先在信號(hào)的頻譜上估計(jì)出3 dB帶寬，利用重心法粗略估計(jì)出接收信號(hào)的載頻，然后以載頻粗估計(jì)值為中心，以4倍3 dB帶寬為帶寬，對(duì)信號(hào)做帶通濾波以濾除信號(hào)的帶外噪聲，再用MAT算法估計(jì)出信號(hào)的載頻.分析表明這樣處理可以有效地提高載頻估計(jì)精度.本文中給出了M-MAT算法的適用條件.仿真結(jié)果表明，用M-MAT算法估計(jì)BPSK信號(hào)的載頻，其估計(jì)精度在高信噪比條件下接近MPSK信號(hào)的克拉美-羅限(MCRB)，在低信噪比條件下明顯優(yōu)于MAT算法和LSFE算法，且本文中算法簡單易行，僅在MAT算法的基礎(chǔ)上增加了少量的處理，處理信號(hào)的實(shí)時(shí)性較好.

1 信號(hào)模型

有限觀測時(shí)間內(nèi)，復(fù)BPSK信號(hào)模型為：

(1)

其中A是信號(hào)幅度，fc是載頻，φ0是初始相位，Nc是碼元個(gè)數(shù)，T是觀測時(shí)間，Tc是碼元持續(xù)時(shí)間，C(m)是第m個(gè)碼元，取值為0或1，∏是門函數(shù)，它定義為：

(2)

那么疊加了噪聲的信號(hào)采樣序列如下

(3)

Δt是采樣間隔，v(n)是復(fù)零均值限帶高斯白噪聲，它的方差為σ2，通帶為從0到1/Δt.N是樣本個(gè)數(shù).定義信號(hào)的信噪比(即輸入信噪比)為： SNRI=A2/σ2

(4)

由(3)式可以得出，s(n)的主瓣寬度為： Bw=2/Tc

(5)

以fc為中心，c·Bw為帶寬(c為正實(shí)數(shù))，對(duì)x(n)作帶通濾波，濾波后的序列xf(n)可表示為

xf(n)=sf(n)+vf(n)

(6)

sf(n)和vf(n)是以中心為fc，帶寬為c·Bw(即2c/Tc)，分別對(duì)BPSK信號(hào)序列s(n)和噪聲序列v(n)作帶通濾波后得到的新序列.對(duì)xf(n)作平方運(yùn)算得：xf2(n)=sf2(n)+vf2(n)+2sf(n)vf(n)

(7)

sf2(n)為信號(hào)項(xiàng)，vf2(n)+2sf(n)vf(n)為噪聲項(xiàng).xf2(n)在2fc處的能量譜密度為

EX(f)=ES(f)+EV(f)+ESV(f)

(8)

其中EX(f)、ES(f)、EV(f)和ESV(f)分別為xf2(n)、sf2(n)、vf2(n) 和2sf(n)vf(n)的能量譜密度.定義輸出信噪比為： SNRo=ES(2fc)/[EV(2fc)+ESV(2fc)]

(9)

SNRo是在2fc處信號(hào)與噪聲能量譜密度的比值.

2 ES(2fc)、EV(2fc)和ESV(2fc)的值

2.1 ES(2fc)的值 s(n)的頻譜為：

(10)

那么sf(n)的頻譜為：

(11)

(12)

(13)

(14)

這是在2fc處信號(hào)能量譜密度歸一化表達(dá)式，當(dāng)c→∞時(shí)，R(c)→1.圖1表示R(c)隨c變化的曲線，可看出，若濾波帶寬大于2倍信號(hào)帶寬，2fc處sf2(n)的能量譜密度大于s2(n)的90%，而當(dāng)濾波帶寬小于2倍信號(hào)帶寬時(shí)，R(c)值減小得很快，因此取c大于2較為合適.

圖1 R(c)隨c變化的曲線

2.2 EV(2fc)的值 復(fù)零均值限帶高斯白噪聲序列v(n)的功率譜為：

(15)

經(jīng)過理想濾波后的噪聲序列vf(n) 仍然是一個(gè)復(fù)零均值帶限高斯白噪聲，其功率譜為:

(16)

vf(t)的自相關(guān)函數(shù)為:Rvf(τ)=IFT{Pvf(f)}

(17)

其中IFT{x}表示x的逆傅里葉變換.

vf(t)是零均值復(fù)隨機(jī)信號(hào)，因此E{vf2(t)}=0，則vf2(t)的自相關(guān)函數(shù)為:

(18)

因此vf2(t)的功率譜為：

(19)

那么在2fc處vf2(t)的能量譜密度為：

(20)

2.3 ESV(2fc)的值

2sf(t)vf(t)的自相關(guān)函數(shù)為:

R2sfvf(τ)=4Rsf(τ)·Rvf(τ)

(21)

因此2sf(t)vf(t)的功率譜為:

PSV(f)=FT{R2sfvf(τ)}=FT{4Rsf(τ)·Rvf(τ)}=4Psf(f)*Pvf(f)

(22)

Psf(f)是濾波后的接收信號(hào)序列sf(n)的功率譜，有

(23)

那么,2fc處2sf(t)vf(t)的能量譜密度為

(24)

3 SNRo(2fc)的分析

根據(jù)上節(jié)的分析，已經(jīng)得到了ES(2fc)、EV(2fc)和ESV(2fc)的值，那么SNRo的值為:

(25)

圖2 不同σ02值FSNRo隨c變化的曲線

4 門限分析

基于DFT的頻率估計(jì)算法的前提是xf2(n)的輸出信噪比滿足SNRo>25(約為14 dB)[7-8]，即

(26～27)

根據(jù)應(yīng)用的不同，該式可以推出兩個(gè)表達(dá)式.如果SNR已知，那么接收信號(hào)的點(diǎn)數(shù)必須滿足:

N>100/[p(c)SNR]+50c/[p2(c)SNR2Mc]

(28)

如果接收信號(hào)的點(diǎn)數(shù)是固定的，那么SNR必須滿足:

(29)

5 算法描述

根據(jù)前面的分析，現(xiàn)給出無任何先驗(yàn)條件下BPSK信號(hào)快速載頻估計(jì)算法：

(1)對(duì)接收的BPSK信號(hào)序列做FFT，并對(duì)頻譜做平滑；

6 仿真結(jié)果

用計(jì)算機(jī)仿真來考察本文中提出算法的性能.取BPSK信號(hào)為13位Barker碼，采樣頻率fs=100 MHz，碼寬為Ts=0.4 μs，載頻為fc=0.421 3fs，在不同信噪比條件下分別用MAT算法、LSFE算法和本文中提出的M-MAT算法估計(jì)信號(hào)載頻，其中M-MAT算法中取c=2，并統(tǒng)計(jì)出載頻估計(jì)值的均方根誤差，蒙特卡羅仿真次數(shù)為1 000次，仿真結(jié)果如圖3所示.其中MPSK信號(hào)載頻估計(jì)的均方根誤差的克拉美-羅限[11-12]為：

(30)

圖3 BPSK信號(hào)載頻估計(jì)的均方根誤差

根據(jù)仿真條件可知，式(30)中各參數(shù)取值依次為N=40，Nc=13，c=2.由圖1可知，當(dāng)c=2時(shí)，R(c)的取值在0.90和0.92之間，那么p(c)的取值應(yīng)該在0.95和0.96之間.因此，信噪比門限取值在4.64 dB和4.68 dB之間.從圖3的仿真結(jié)果可以看出，用M-MAT算法估計(jì)BPSK信號(hào)的載頻，其估計(jì)精度在高信噪比條件下接近MPSK信號(hào)的克拉美-羅限(MCRB)，在低信噪比條件下明顯優(yōu)于MAT算法和LSFE算法.當(dāng)信噪比較低時(shí)，MAT算法和LSFE算法的性能較差，只有在信噪比較高的條件下，才能較精確的估計(jì)BPSK信號(hào)的載頻.

7 結(jié)論

提出一種適用于二相編碼信號(hào)載波頻率估計(jì)的改進(jìn)MAT算法，首先粗略估計(jì)出二相編碼信號(hào)的載頻及其帶寬，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行帶通濾波，最后利用MAT算法得到BPSK信號(hào)的載波頻率估計(jì)值.本算法僅在MAT算法的基礎(chǔ)上增加了少量的處理，具有計(jì)算量小、實(shí)時(shí)性較好等特點(diǎn)，可以在低信噪比條件下實(shí)現(xiàn)BPSK信號(hào)的載頻估計(jì)，具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

[1] Veterbi A J，Veterbi A M. Nonlinear estimation of PSK-modulated carrier phase with application to burst digital transmissions[J].IEEE Transactions on Information Theory，1983，IT-29:543-551.

[2] Mazzenga F，Corazza G E. Blind least-squares estimation of carrier phase，doppler shift，and doppler rate for M-PSK burst transmission[J].IEEE Communications Letters，1998，2(3):73-75.

[3] 李晶，朱江，張爾揚(yáng)，等.高速8PSK調(diào)制信號(hào)的頻率捕獲及跟蹤算法研究[J].信號(hào)處理，2005，21(1):66-69.

[4] Ghogho M，Swami A，Durrani T.Blind estimation of frequency offset in the presence of unknown multipath[A].IEEE International Conference on Personal Wireless Communications[C].Piscataway，NJ，2000:104-108.

[5] 鄧振淼，劉渝.MPSK信號(hào)載頻盲估計(jì)[J].通信學(xué)報(bào)，2007，28(2):94-100.

[6] 胥嘉佳，劉渝，鄧振淼.任意點(diǎn)正弦波信號(hào)頻率估計(jì)的快速算法[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，40(6):794-798.

[7] Rife D C，Boorstyn R R. Singla tone parameter estimation from discrete-time observations[J].IEEE Transactions on Information Theory，1974，IT-20:591-588.

[8] Shimon Peleg，Boaz Porat. Linear FM signal parameter estimation from discrete-time observations[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1991，27(4):607-616.

[9] Pinto E L，Brandao J C. A comparison of four methods for estimating the power spectrum of PSK signals[A].IEEE International Conference on Communications '87:Communications-Sound to Light[C].New York，1987:1749-1753.

[10] 鄧振淼，劉渝.正弦波頻率估計(jì)的牛頓迭代方法初始值研究[J].電子學(xué)報(bào)，2007，35(1):104-107.

[11] Dandrea A N，Mengali U，Reggiannini R. The modified cramer-rao bound and its application to synchronization problems[J].IEEE Transactions on Communications，1994，42(2-4):1391-1399.

[12] Gini F，Reggiannini R，Mengali U. The modified cramer-rao bound in vector parameter estimation[J].IEEE Transactions on Communications，1998，46(1):52-60.

[13] 潘志，賀祖琪.數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，1995.