梅小華

(河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅張掖 734000)

這里，控制輸入選擇為，

0 引言

自1990年，Grebogi等提出OGY混沌控制法，以及Pecora等提出完全同步以來［1］，研究人員對混沌系統(tǒng)的認識更加深入，混沌同步已經(jīng)成為非線性科學理論及應用的重要組成部分及混沌研究的熱點問題.到目前為止，學者們已經(jīng)提出很多實現(xiàn)混沌同步的方法，例如，驅動響應同步法、線性反饋同步法、自適應控制同步法［2－5］等.本文研究了一類新混沌系統(tǒng)的同步問題，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，利用激活控制法以及參數(shù)未知時自適應控制實現(xiàn)該系統(tǒng)的自同步，同時，本文利用歸納、推論和定理，以及仿真實驗進一步證明了這些結論的正確性，最后，采用自適應混沌同步方法進行保密通信實驗，實驗結果表明，利用混沌掩蓋可以有效地恢復出信息信號.本方法易于實現(xiàn)，收斂速度快，并且可以推廣到其他類似系統(tǒng).

1 一個新混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型

在文獻［6］中，馬海軍等通過對分岔混沌拓撲結構與全局復雜性的研究，建立了一個混沌系統(tǒng)，

當該系統(tǒng)取參數(shù)，a=0.9，b=0.2，c=1.2，初始條件為［2，1，2］時，利用Matlab可得到混沌系統(tǒng)(1)的三維相圖如圖1所示.

圖1 混沌系統(tǒng)(1)的三維相圖

2 參數(shù)不確定時混沌系統(tǒng)的同步

在實際中，許多動力系統(tǒng)具有參數(shù)或模型的不確定性，尤其隨著環(huán)境的改變，系統(tǒng)的參數(shù)可能會發(fā)生變化.比如，在通信系統(tǒng)中，發(fā)送機和接收機的結構和參數(shù)完全相同的混沌同步通信是不現(xiàn)實的.因此，對參數(shù)未知的不確定的混沌系統(tǒng)的同步研究具有重要的實際意義，這個時候可以利用自適應同步方法實現(xiàn)混沌同步.設驅動系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)(1)，則其響應系統(tǒng)為，

設狀態(tài)誤差和參數(shù)誤差為，

其中，a1，b1，c1是對a，b，c的估計，則系統(tǒng)誤差為，

構造李雅普諾夫函數(shù)，

則，

選擇如下控制器，

此時，

當參數(shù)a，b，c都大于等于零時，V·為負定，根據(jù)Barbalat引理，知，

即驅動和響應系統(tǒng)達到同步效果.因此，對任何的初始狀態(tài)，選擇自適應控制器(4)和自適應律(5)，可以使得響應系統(tǒng)和驅動系統(tǒng)達到同步，于是，得到如下定理.

定理1 對于驅動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)，如果參數(shù)自適應律選擇(5)，反饋控制器選擇(4)，則驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)將達到全局漸進同步.

3 基于激活控制的混沌同步

設驅動系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)(1)，響應系統(tǒng)為，

設，

則系統(tǒng)誤差為，

定義激活控制函數(shù)，U=(u1，u2，u3)T，為，

這里，控制輸入選擇為，

此時，閉環(huán)的特征根為:-1，-1，-1.于是，當t→∞時，‖e1‖→0，‖e2‖→0，‖e3‖→0，意味著驅動和響應系統(tǒng)可以實現(xiàn)混沌同步，于是，可得到如下的定理.

定理2 對于驅動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(6)，如果系統(tǒng)的激活控制器取(8)，控制輸入取(9)，則驅動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(6)可以實現(xiàn)全局漸進同步.

4 數(shù)值模擬結果

為了驗證我們所設計的混沌控制器的有效性，本文采用四階龍格—庫塔方法進行仿真.

例1 取驅動系統(tǒng)(1)的初值為(0.7，0.5，0.8)，響應系統(tǒng)(2)的初值為(0.6，0.3，0.5)，參數(shù)取，a=0.9，b=0.2，c=1.2.誤差時序圖的仿真結果如圖2所示.

圖2 自適應同步的同步誤差

由圖2可知，雖然驅動系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的初值不同，但還是很快實現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)的自同步.圖3表示的是參數(shù)的估計隨時間變化的曲線圖，可以看出，隨著時間的變化參數(shù)收斂到真值.

圖3 參數(shù)的的估計

例2 取驅動系統(tǒng)(1)的初值為(-0.07，0.55，0.18)，響應系統(tǒng)(6)的初值為(0.46，0.43，0.75)，參數(shù)取，a=0.9，b=0.2，c=1.2.誤差e1、e2、e3時序圖的仿真結果如圖4所示.

圖4 激活控制同步的同步誤差

由圖4可知，雖然驅動系統(tǒng)和(1)響應系統(tǒng)(6)的初值不同，但仍然很快實現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)的自同步.顯然，這種方法具有很大的局限性.

5 利用自適應同步控制實現(xiàn)保密通信

近年來，混沌同步保密通信已成為科研人員研究的一大熱點.混沌掩蓋通信系統(tǒng)的工作原理如圖5所示，其基本原理是:發(fā)送端的混沌系統(tǒng)輸出類似噪聲的混沌信號，在混沌信號上疊加需要掩蓋的有用信號，將合成信號通過信道發(fā)送出去;在接收端與發(fā)送端混沌系統(tǒng)達到同步后，從接收端的混合信號中減去重構的混沌信號，從而解調出發(fā)送端的有用信息.在圖5中，x(t)為發(fā)送系統(tǒng)的狀態(tài)變量，m(t)為要傳送的信息信號，s(t)為混沌掩蓋后的傳輸信號，x′(t)為接收系統(tǒng)的狀態(tài)變量，m′(t)為接收端恢復的信息信號.

圖5 混沌同步保密通信示意圖

根據(jù)混沌掩蓋保密通信原理，可將自適應同步的混沌系統(tǒng)應用于保密通信中.設需要傳輸?shù)男畔⑿盘柺莔(t)=sint，則在發(fā)送端將有用信號與混沌信號x(t)相加，輸出類噪聲信號，s(t)=sint+ x(t)，驅動系統(tǒng)為(1)，響應系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)(2).響應系統(tǒng)(2)通過控制器(4)可在接收端接收混沌信號x′(t)，只需從s(t)中減去受控系統(tǒng)中產(chǎn)生的混沌信號x′(t)，就可以獲得還原的有用信號，m′(t) =s(t)-x′(t).原始信號與還原信號的信號誤差為，e(t)=m(t)-m′(t).原始有用信號如圖6所示，通過混沌保密系統(tǒng)后恢復出的信號如圖7所示，傳輸過程如圖8所示.顯然，經(jīng)過較短時間后，有用信號與解調出來的信號的誤差幾乎為0.另外，利用自適應控制方法響應系統(tǒng)的參數(shù)還可以是未知的，可見這種方法應用于保密通信的有效性.

6 結 語

本文研究了一類新混沌系統(tǒng)的同步問題，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，利用參數(shù)未知時自適應控制方法構造非線性控制器以及激活控制實現(xiàn)該系統(tǒng)的自同步，仿真實驗驗證了方法的正確性.最后，采用自適應混沌同步方法進行保密通信實驗，實驗結果表明，利用混沌掩蓋可以有效地恢復出信息信號.此外，在參數(shù)不確定的條件下，自適應同步法可同時完成混沌系統(tǒng)的參數(shù)辨識和同步，這種方法用于保密通信具有更高的保密效果.

［1］方錦清.非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應用前景(二)［J］.物理學進展，1996，16(2):137－159.

［2］陳保穎.線性反饋實現(xiàn)Liu系統(tǒng)的混沌同步［J］.動力學與控制學報，2006，4(1):41－43.

［3］于洪潔.對稱非線性耦合混沌系統(tǒng)的同步［J］.物理學報，2005，54(7):3029－3033.

［4］賈貞，鄧光明.超混沌Lu系統(tǒng)的線性與非線性耦合同步［J］.物理學報，2007，5(3):220－22.

［5］黃緯.張化光，王智良.參數(shù)未知的不同結構系統(tǒng)的自適應同步［J］.系統(tǒng)仿真學報，2005，17(11):2689－2700.

［6］馬海軍，陳予恕.一類金融系統(tǒng)分岔混沌拓撲結構與全局復雜性研究(I)［J］.應用數(shù)學和力學，2001，22(2): 1119－1128.