張素英

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

基于量子力學(xué)的相互作用繪景構(gòu)造非線性哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法

張素英

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

文章在量子力學(xué)的相互作用繪景中給出了非線性哈密頓系統(tǒng)離散格式的構(gòu)造方法.首先將原非線性哈密頓問題變換至相互作用繪景，導(dǎo)出一個(gè)含時(shí)的常微分方程系統(tǒng)，離散該常微分方程并變換回原系統(tǒng)的態(tài)矢即可得到原問題的離散格式.基于不同的常微分方程數(shù)值方法，可得到原系統(tǒng)不同的離散格式.該方法還可以有效地求解多組分的Bose-Einstein凝聚態(tài)物理問題.

偏微分方程;非線性哈密頓系統(tǒng);Bose-Einstein凝聚體

量子力學(xué)中，有三種典型的繪景——薛定諤繪景、海森堡繪景和相互作用繪景［1－2］，這三種繪景在處理實(shí)際問題時(shí)各有其特點(diǎn).其中相互作用繪景是一個(gè)普適的表述，在特定條件下可以導(dǎo)出薛定諤繪景和海森堡繪景，特別是在確定態(tài)矢隨時(shí)間的動(dòng)力學(xué)演化時(shí)該繪景起著十分重要的作用.考慮到相互作用繪景的實(shí)用性，本文討論該繪景下態(tài)矢離散格式的構(gòu)造問題，以便為處理有關(guān)的問題提供有效的數(shù)值計(jì)算方法.

1 量子力學(xué)的相互作用繪景

為簡(jiǎn)單起見，考慮只有一個(gè)空間變量的非線性哈密頓系統(tǒng)：

2 數(shù)值方法

常用的求解非線性哈密頓系統(tǒng)問題（1）的數(shù)值方法主要有算子劈裂方法和快速Fourier變換方法（FFT方法）及其組合［3－4］.本文將基于方程（3）來構(gòu)造原哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法.將方程（1）中關(guān)于空間變量的二階導(dǎo)數(shù)采用中心差商進(jìn)行離散，則哈密頓算子H0表現(xiàn)為一個(gè)三對(duì)角的方陣.通常記

3 多組分非線性哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法

4 算例

討論環(huán)形域內(nèi)兩組分的非線性薛定諤方程組（19），取g11＝g22＝－g12＝－g21＝－1，這樣的方程組是不可積的［8－9］.由于各組分自身具有相互吸引的性質(zhì)，而兩組分間具有相互排斥的性質(zhì)，這時(shí)不同組分的孤子是非相干的，且具有排斥作用，孤子間的碰撞就像彈性球的碰撞.我們選取等間距的脈沖組成的N孤子鏈作為初始態(tài)：

圖1 紅色表示｜φ1（x，t）｜2，藍(lán)色表示｜φ2（x，t）｜2（a）運(yùn)動(dòng)的孤子與靜止孤子的碰撞 （b）動(dòng)量在八個(gè)孤子組成的環(huán)里逐次傳遞Fig.1 ｜φ1（x，t）｜2（red）and｜φ2（x，t）｜2（blue）.（a）Collision of two solitons（N＝1），（b）Multisoliton collisions in a ring with N＝4

圖2 （a）最左邊孤子具有初速度，孤子鏈的運(yùn)動(dòng)情況，（b）左邊兩孤子與右邊兩孤子具有相反的初速度時(shí)，孤子鏈的運(yùn)動(dòng)情況，（c）五個(gè)孤子都具有相同方向的初速度，孤子鏈的運(yùn)動(dòng)情況Fig.2 The Newton’s cradle built of five solitons，｜φ1（x，t）｜2（red）and｜φ2（x，t）｜2（blue）.Different oscillation modes are excited by imparting the initial velocity，of size 0.2，to（a）the top-left soliton;（b）two ultimate solitons on both sides，with opposite velocities，and（c）all solitons

5 結(jié)論

本文基于量子力學(xué)的相互作用繪景研究了非線性哈密頓系統(tǒng)離散格式的構(gòu)造方法.將原非線性哈密頓問題變換至相互作用繪景，可導(dǎo)出一個(gè)含時(shí)的常微分方程系統(tǒng)，經(jīng)典的常微分方程數(shù)值解法均可用于構(gòu)造這類非線性哈密頓系統(tǒng)的離散格式.文中需要計(jì)算指數(shù)算子u（τ）及u（），但它們只需要計(jì)算一次，與常用

00的FFT方法及算子劈裂方法相比，本文的構(gòu)造思想更有利于構(gòu)造高階方法，且相對(duì)減少了計(jì)算量.與經(jīng)典的Runge-Kutta方法相比，雖然其計(jì)算精度與Runge-Kutta方法相同，但由于引入算子u0（τ）該方法具有很好的數(shù)值穩(wěn)定性，適用于長(zhǎng)時(shí)間迭代.該方法還可以有效地求解多組分的Bose-Einstein凝聚態(tài)物理問題.

［1］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1981.

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Construction of Numerical Methods of Nonlinear Hamiltonian Systems Based on Interaction Picture of Quantum Mechanics

ZHANG Su-ying
（InstituteofTheoreticalPhysics，ShanxiUniversity，Taiyuan030006，China）

Numerical methods of nonlinear Hamiltonian systems are constructed in the interaction picture of quantum mechanics.Firstly the original system is transformed to interaction picture of quantum mechanics.This reduces the problem to a system of ordinary differential equations in time.Subsequently，the modified system is integrated in time and then transformed back to the initial representation of the state vector.Varies discrete schemes can be obtained based on different integration methods.The methods in this paper can also be used to solve multi-component Bose-Einstein condensate problem.

partial differential equation;nonlinear Hamiltonian system;Bose-Einstein condensation

O469

A

0253-2395（2012）02-0271-05＊

2012-03- 10;

2012-03-26

國家自然科學(xué)基金（10972125）;高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（20111401110004）;山西省自然科學(xué)基金（2010011001-2）;山西省留學(xué)回國人員科研基金

張素英（1967－），女，山西昔陽人，博士，教授，主要從事計(jì)算物理方面的研究.