劉?；?，馮金明

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 031006）

多源熱模型與高能質(zhì)子－質(zhì)子對(duì)撞中噴注的能譜和碎裂函數(shù)

劉?；?，馮金明

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 031006）

評(píng)述了筆者和合作者以前提出和發(fā)展的多源熱模型（或稱多源理想氣體模型），闡述了該模型的基本圖像，針對(duì)幾種物理量的分布規(guī)律討論了發(fā)射源的空間分布.在此基礎(chǔ)上，用該模型得到的多組分厄蘭（Erlang）分布分析了高能質(zhì)子－質(zhì)子對(duì)撞中形成的噴注的能譜和碎裂函數(shù)，模型計(jì)算結(jié)果與相對(duì)論性重離子對(duì)撞機(jī)上質(zhì)心系能量為200 GeV的質(zhì)子－質(zhì)子對(duì)撞的實(shí)驗(yàn)結(jié)果近似符合，表明高能質(zhì)子－質(zhì)子對(duì)撞中形成的噴注的能譜和碎裂函數(shù)服從組分?jǐn)?shù)為1或2的多組分厄蘭分布.

多源熱模型（或多源理想氣體模型）;高能質(zhì)子質(zhì)子對(duì)撞;噴注的能譜和碎裂函數(shù);多組分厄蘭分布

0 引言

高能粒子和離子（或核）與固定靶碰撞，或粒子－粒子、粒子－離子（或核）、離子（或核）-離子（或核）對(duì)撞是現(xiàn)階段粒子物理與原子核物理學(xué)科重要的前沿研究領(lǐng)域.所謂粒子，包括質(zhì)子（p）、π介子、K介子等強(qiáng)子，電子（e）、μ子等輕子，光子（γ）等媒介子.所謂離子，指的是原子的核外電子被部分或全部剝離后的剩余物.如果一個(gè)原子的核外電子被全部剝離，則該離子即是原子核（或核）.如果一個(gè)離子含有比較多的質(zhì)子和中子，則通常稱該離子為重離子.

美國布魯克海汶（Brookhaven）國家實(shí)驗(yàn)室（BNL）于2000年成功運(yùn)行了相對(duì)論性重離子對(duì)撞機(jī)（RHIC），實(shí)現(xiàn)了金－金對(duì)撞［1］，從此開辟了重離子對(duì)撞研究的新時(shí)代.人們之所以對(duì)重離子對(duì)撞研究感興趣，是因?yàn)樵谥仉x子對(duì)撞中可以形成量子色動(dòng)力學(xué)（QCD）理論預(yù)言的夸克－膠子等離子體（QGP）或夸克物質(zhì).同時(shí)，因?yàn)橹仉x子比粒子的尺寸大許多，核效應(yīng)會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，所以在重離子對(duì)撞中可以看到在粒子對(duì)撞中不曾看到的新現(xiàn)象和新規(guī)律.

作為重離子對(duì)撞研究的基礎(chǔ)和參照，質(zhì)子－質(zhì)子對(duì)撞研究是必要的.因?yàn)樵谥仉x子對(duì)撞中，基元對(duì)撞過程即是質(zhì)子（中子）-質(zhì)子（中子）對(duì)撞過程，所以RHIC在實(shí)現(xiàn)了重離子對(duì)撞后，又反過來進(jìn)行了質(zhì)子－質(zhì)子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)［2］.雖然在此前已有其他的質(zhì)子－質(zhì)子或質(zhì)子－反質(zhì)子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)［3］，但對(duì)撞能量不同.2009年，位于瑞士日內(nèi)瓦的歐洲原子核研究組織（即歐洲粒子物理實(shí)驗(yàn)室）（CERN）的大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)（LHC）成功進(jìn)行了質(zhì)子－質(zhì)子對(duì)撞的實(shí)驗(yàn)運(yùn)行［4］，2010年，鉛－鉛對(duì)撞的實(shí)驗(yàn)運(yùn)行首次在LHC上成功進(jìn)行.

為了描述高能碰撞（對(duì)撞）過程及其得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，人們提出了許多模型，限于篇幅，這里不一一列舉.可以指出的是，在CERN理論研究所于2008年召開的一次研討會(huì)上，多數(shù)模型給出了它們對(duì)LHC上可能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理論預(yù)言［5］.這些模型可以分為動(dòng)力學(xué)模型和熱與統(tǒng)計(jì)模型兩大類，前者側(cè)重于研究碰撞過程本身和單個(gè)粒子的動(dòng)力學(xué)行為，后者側(cè)重于研究碰撞末態(tài)粒子的集體或整體統(tǒng)計(jì)行為.

常見的高能碰撞的末態(tài)產(chǎn)物有相對(duì)論性粒子、射彈核碎片、靶核碎片等.在過去10余年間，筆者和合作者曾提出了描述相對(duì)論性粒子快度（或贗快度）分布的熱化柱模型［6－7］和熱化雙柱模型［8－9］，描述射彈核碎片電荷、發(fā)射角和橫動(dòng)量分布的雙源模型［10］，描述靶核碎片角分布的多源理想氣體模型［11－12］.最近的研究表明，熱化柱模型、熱化雙柱模型、雙源模型都可納入多源理想氣體模型（或多源熱模型）的框架內(nèi)，并且可以應(yīng)用多源熱模型解釋更多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

在用多源熱模型研究末態(tài)相對(duì)論性粒子的多重?cái)?shù)分布時(shí)，可以得到多組分厄蘭（Erlang）分布［13］.進(jìn)一步的研究表明，核碎片的多重?cái)?shù)分布［14］，核碎片同位素中的中子數(shù)分布［15］，核碎片的能譜［16］，相對(duì)論性粒子的橫動(dòng)量和橫質(zhì)量譜等［17］，也可用多組分厄蘭分布進(jìn)行描述.在本文中，在評(píng)述多源熱模型的基本圖像的基礎(chǔ)上，筆者試圖用多組分厄蘭分布對(duì)高能質(zhì)子－質(zhì)子對(duì)撞中形成的噴注的能譜和碎裂函數(shù)進(jìn)行描述，以其擴(kuò)大多源熱模型的應(yīng)用范圍.

1 多源熱模型的基本圖像

本文所用的模型叫多源熱模型，該模型是筆者和合作者近年來提出的一種簡單模型［11－12］.在核－核碰撞中，多源熱模型的基礎(chǔ)是反應(yīng)體－旁觀體模型［18］，后者認(rèn)為，入射的射彈核與固定的靶核在碰撞時(shí)，相互瞄準(zhǔn)的部分因直接參加強(qiáng)烈碰撞稱為反應(yīng)體，反應(yīng)體以外的不直接參加強(qiáng)烈碰撞的部分分別稱為射彈核旁觀體和靶核旁觀體［18］.

可以認(rèn)為，在高能碰撞中形成了多個(gè)產(chǎn)生粒子和核碎片的發(fā)射源（在粒子－粒子碰撞中沒有核碎片發(fā)射源），源與源之間由于力學(xué)和電磁學(xué)效應(yīng)存在相互作用.在發(fā)射源靜止系，可將其看成經(jīng)典理想氣體、相對(duì)論性量子理想氣體或非理想氣體.由于源與源之間的相互作用，導(dǎo)致粒子在發(fā)射源靜止系中的動(dòng)量與在實(shí)驗(yàn)室系測得的動(dòng)量之間存在差異，在這兩種參照系中的動(dòng)量之間可由洛倫茲變換進(jìn)行聯(lián)系，或?qū)⒙鍌惼澴儞Q的平均效果簡單考慮為兩種參照系中動(dòng)量之間的線性關(guān)聯(lián).

在研究末態(tài)產(chǎn)物的橢圓流、方位角、空間角等分布時(shí)，通常無需考慮多個(gè)發(fā)射源之間的相對(duì)位置，只需考慮從發(fā)射源靜止系到實(shí)驗(yàn)室系末態(tài)產(chǎn)物動(dòng)量的變換關(guān)系即可.如果將兩種參照系中動(dòng)量之間的變換關(guān)系簡單考慮為線性關(guān)聯(lián)，則可將源與源之間的相互作用導(dǎo)致的源的膨脹和移動(dòng)現(xiàn)象簡單描述出來，從而可以認(rèn)識(shí)發(fā)射源在橫動(dòng)量空間的結(jié)構(gòu)特征［19］.源的膨脹系數(shù)和移動(dòng)系數(shù)與碰撞參數(shù)有關(guān)，而碰撞參數(shù)與參加者核子數(shù)有關(guān)，這樣，橢圓流與參加者核子數(shù)的關(guān)聯(lián)就建立起來了［20］.

在研究末態(tài)粒子的快度（或贗快度）分布時(shí)，可認(rèn)為在快度空間中具有相同快度的發(fā)射源形成了一個(gè)橫向的發(fā)射面，具有不同快度的發(fā)射面構(gòu)成了一個(gè)熱化柱.在能量不太高時(shí)，射彈柱和靶柱完全重疊在一起，隨著能量的升高，兩柱部分重疊，甚至完全分離［21］.來自射彈核和靶核的領(lǐng)頭粒子，分別位于射彈核和靶核領(lǐng)頭粒子區(qū)，一般在射彈核和靶核快度附近.在不區(qū)分快度和贗快度時(shí)，可得到一個(gè)近似公式統(tǒng)一描述快度和贗快度分布;在區(qū)分快度和贗快度時(shí)，可引入溫度參數(shù)，應(yīng)用蒙特卡羅方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到快度和贗快度分布.

在研究末態(tài)粒子的橫動(dòng)量分布時(shí)，可認(rèn)為在橫動(dòng)量空間中具有相同激發(fā)程度的發(fā)射源形成了一個(gè)橫向的發(fā)射環(huán)，具有相同激發(fā)程度的發(fā)射環(huán)形成了一個(gè)縱向的發(fā)射柱面.位于中心軸附近的發(fā)射柱面激發(fā)程度高，遠(yuǎn)離中心軸的發(fā)射柱面激發(fā)程度低，多個(gè)發(fā)射柱面構(gòu)成了發(fā)射柱面系列.具有不同反應(yīng)機(jī)制的軟過程和硬過程對(duì)應(yīng)不同的發(fā)射柱面系列［22］.從中心軸到遠(yuǎn)離中心軸的區(qū)域，可假設(shè)溫度或橫動(dòng)量分布寬度隨半徑按不同的規(guī)律變化.

在研究末態(tài)粒子和核碎片的多重?cái)?shù)分布時(shí)，可根據(jù)反應(yīng)機(jī)制和事例樣本將發(fā)射源分為若干類，每類發(fā)射源含有數(shù)目不等的發(fā)射源.在同一類發(fā)射源中，每個(gè)發(fā)射源均貢獻(xiàn)一個(gè)參數(shù)相同的指數(shù)形式的多重?cái)?shù)分布，而最終的多重?cái)?shù)分布是一個(gè)多組分厄蘭分布［13－14］.用多組分厄蘭分布還可描述末態(tài)核碎片同位素中的中子數(shù)分布［15］，末態(tài)粒子的橫動(dòng)量（或橫質(zhì)量）分布［17］，核碎片的能譜等［16］.

2 多組分厄蘭分布

在多源熱模型的框架內(nèi)，可以得到多組分厄蘭分布.雖然在筆者和合作者以前的工作中［13－14］，可以找到針對(duì)末態(tài)粒子和核碎片多重?cái)?shù)的、有關(guān)多組分厄蘭分布的描述，但為了本文的完整性，下面進(jìn)行更一般性的介紹.

先不考慮具體的自變量.根據(jù)多源熱模型，可假設(shè)某個(gè)自變量x的歸一化的分布p（x）由多個(gè)發(fā)射源貢獻(xiàn).根據(jù)發(fā)射源的種類或事例樣本，可將發(fā)射源分成l組.在第j組，有mj個(gè)源.對(duì)第j組中的第i個(gè)源而言，其對(duì)末態(tài)分布的貢獻(xiàn)可假設(shè)為一個(gè)自變量為xij、參數(shù)為〈xij〉的指數(shù)分布：

3 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

圖1 ＝200 GeV的p＋p對(duì)撞中領(lǐng)頭噴柱的能譜.符號(hào)是STAR合作組在不同R范圍內(nèi)測得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［24］，曲線是筆者基于多組分厄蘭分布的計(jì)算結(jié)果.Fig.1 Energy spectra of leading jets in p＋p collisions at200 Ge V.The symbols represent the experimental data measured by the STAR Collaboration in different R regions［24］.The curves are our calculated results according to the multi-component Erlang distribution.

表1 對(duì)應(yīng)各條曲線的參數(shù)值及值Table 1 Values of parameters andcorresponding to the curves

表1 對(duì)應(yīng)各條曲線的參數(shù)值及值Table 1 Values of parameters andcorresponding to the curves

圖號(hào)曲線類型 〈xi1〉 m1k1 〈xi2〉 m2χ2 dof圖1 R＝0.4 2.500 8 0.160 1.200 13 0.643 R＝0.7 2.500 8 0.165 1.100 13 0.368圖2（Ejet單位：GeV）＝0.5 2.500 8 0.160 1.150 13 0.305 R 20＜Ejet＜30，R＜0.4 0.580 5 0.800 0.260 11 1.677 20＜Ejet＜30，R＜0.7 0.480 6 0.650 0.200 19 2.403 30＜Ejet＜40，R＜0.4 0.520 5 0.625 0.380 9 0.737 30＜Ejet＜40，R＜0.7 0.600 5 0.560 0.310 13 0.479 40＜Ejet＜50，R＜0.4 0.620 4 0.500 0.265 13 0.738 40＜Ejet＜50，R＜0.7 0.850 4 0.650 0.315 12 1.109圖3（Ejet單位：GeV）10＜Ejet＜15，charged 0.320 8 1.000 － － 1.640 10＜Ejet＜15，K0 0.250 7 0.450 0.056 34 1.360 10＜Ejet＜15，Λ S 0.220 9 0.600 0.040 52 1.758 15＜Ejet＜20，charged 0.473 6 1.000 － － 0.686 15＜Ejet＜20，K0S 0.130 15 0.700 0.034 69 1.269 20＜Ejet＜50，charg 0.100 15 0.400 0.087 25 1.542 15＜Ejet＜20，Λ ed 0.473 6 1.000 － － 1.107 20＜Ejet＜50，K0S 0.125 18 0.780 0.040 66 0.940圖4（pT，jet單位：GeV／c）0.100 17 0.500 0.088 28 1.269 20＜Ejet＜50，Λ JP，20＜pT，jet＜30，cone 0.300 8 0.500 0.180 21 0.755

續(xù)表1 對(duì)應(yīng)各條曲線的參數(shù)值及值fContinue Table 1 Values of parameters andcorresponding to the curves

續(xù)表1 對(duì)應(yīng)各條曲線的參數(shù)值及值fContinue Table 1 Values of parameters andcorresponding to the curves

圖號(hào)曲線類型 〈xi1〉 m1k1 〈xi2〉 m2χ2 dof JP，20＜pT，jet＜30，k T 0.310 8 0.500 0.181 21 0.847 JP，20＜pT，jet＜30，anti-k T 0.300 8 0.500 0.179 21 0.653 JP，20＜pT，jet＜30，SIS cone 0.308 8 0.500 0.177 21 0.953 JP，pT，jet＞40，cone 0.560 5 0.500 0.255 16 1.925 JP，pT，jet＞40，k T 0.485 6 0.500 0.263 16 2.602 JP，pT，jet＞40，anti-k T 0.485 6 0.500 0.255 16 1.877 JP，pT，jet＞40，SIS cone 0.565 5 0.500 0.253 16 1.472 HT，20＜pT，jet＜30，k T 0.570 5 0.500 0.250 15 1.422 HT，pT，jet＞40，k T 0.550 5 0.500 0.270 16 1.388

接下來比較噴柱的碎裂函數(shù).圖2給出了■s＝200 Ge V的p＋p對(duì)撞中，不同Ejet和R范圍內(nèi)，領(lǐng)頭噴柱的ξ分布.圖中符號(hào)是STAR合作組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［24］，曲線是筆者基于多組分厄蘭分布的計(jì)算結(jié)果.所用的參數(shù)值和相應(yīng)的值見表1.可以看出，RHIC能區(qū)p＋p對(duì)撞中產(chǎn)生的領(lǐng)頭噴柱的ξ分布，近似符合組分?jǐn)?shù)為2的多組分厄蘭分布.

圖2 ＝200 GeV的p＋p對(duì)撞中領(lǐng)頭噴柱的碎裂函數(shù).符號(hào)是STAR合作組針對(duì)不同Ejet和R范圍測得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［24］，曲線是筆者基于多組分厄蘭分布的計(jì)算結(jié)果Fig.2 Fragmentation function of leading jets in p＋p collisions at＝200 GeV.The symbols represent the experimental data measured by the STAR Collaboration in different Ejet and R regions［24］.The curves are our calculated results according to the multi-component Erlang distribution

在■s＝200 Ge V的p＋p對(duì)撞中，對(duì)應(yīng)R＜0.4、不同Ejet范圍和不同種類粒子，噴柱的ξ分布在圖3給出.圖中符號(hào)是STAR合作組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［25］，曲線是筆者基于多組分厄蘭分布的計(jì)算結(jié)果.所用的參數(shù)值和相應(yīng)的值見表1.可以看出，RHIC能區(qū)p＋p對(duì)撞中產(chǎn)生的噴柱的ξ分布，符合組分?jǐn)?shù)為1或2的多組分厄蘭分布.

圖3 ＝200 GeV的p＋p對(duì)撞中噴柱的碎裂函數(shù).符號(hào)是STAR合作組在R＜0.4范圍內(nèi)，針對(duì)不同Ejet范圍和不同種類粒子測得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［25］，曲線是筆者基于多組分厄蘭分布的計(jì)算結(jié)果Fig.3 Fragmentation function of jets in p＋p collisions at＝200 Ge V.The symbols represent the experimental data measured by the STAR Collaboration in R＜0.4 and different Ejet regions for different kinds of particles［25］.The curves are our calculated results according to the multi-component Erlang distribution

圖4（P268）給出了■s＝200 GeV的p＋p對(duì)撞中，對(duì)應(yīng)不同橫動(dòng)量范圍和其他判選條件的噴柱的ξ分布.圖中JP表示噴柱碎片觸發(fā)，HT表示“高塔”觸發(fā)，cone表示對(duì)某個(gè)粒子而言限定閾能而對(duì)其他粒子來說限定R范圍的一種運(yùn)算，SIS cone表示對(duì)所有粒子限定閾能的一種運(yùn)算，kT表示起始于低橫動(dòng)量粒子的一種運(yùn)算，anti-kT表示起始于高橫動(dòng)量粒子的一種運(yùn)算，這些判選條件都是實(shí)驗(yàn)上為了更好地挑選噴柱事例而設(shè)置的條條框框［26－31］.圖中符號(hào)是STAR合作組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［26］，曲線是筆者基于多組分厄蘭分布的計(jì)算結(jié)果.所用的參數(shù)值和相應(yīng)的值見表1.可以看出，RHIC能區(qū)p＋p對(duì)撞中產(chǎn)生的噴柱的ξ分布，近似符合組分?jǐn)?shù)為2的多組分厄蘭分布.

圖4 ＝200 GeV的p＋p對(duì)撞中噴柱的碎裂函數(shù).符號(hào)是STAR合作組針對(duì)不同橫動(dòng)量范圍和判選條件測得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［26］，曲線是筆者基于多組分厄蘭分布的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Fragmentation function of jets in p＋p collisions at＝200 Ge V.The symbols represent the experimental data measured by the STAR Collaboration in different transverse momentum regions and selected conditions［26］.The curves are our calculated results according to the multi-component Erlang distribution

4 結(jié)論

多源熱模型是筆者和合作者近年來發(fā)展的一種簡單模型，它具有圖像清晰、計(jì)算簡便以及容易與實(shí)驗(yàn)測量量聯(lián)系起來的優(yōu)點(diǎn).筆者和合作者以前的工作表明，多源熱模型在描述末態(tài)粒子和核碎片的快度（贗快度）、多重?cái)?shù)、能量、動(dòng)量、橫動(dòng)量、橢圓流、方位角、空間角等實(shí)驗(yàn)測量量的分布方面是成功的，由此可以了解反應(yīng)系統(tǒng)的縱向擴(kuò)展程度和橫向激發(fā)程度以及末態(tài)粒子和核碎片的多源發(fā)射圖像.

本文的結(jié)果表明，多源熱模型在描述噴柱的能譜和碎裂函數(shù)方面也是成功的.我們期待著用該模型描述更多的實(shí)驗(yàn)測量量，深入分析相關(guān)的物理原因，并研究該模型與動(dòng)力學(xué)模型的更多聯(lián)系，從而更好地了解高能碰撞過程的特點(diǎn).

致謝：筆者曾在中國原子能科學(xué)研究院、也門薩那大學(xué)、2011年全國核反應(yīng)大會(huì)上報(bào)告過本文第1節(jié)的部分內(nèi)容，在此感謝部分與會(huì)人員的有益討論.

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Multi-Source Thermal Model and Jets Energy Spectrum and Fragmentation Function in High Energy Proton-Proton Collision

LIU Fu-hu，F(xiàn)ENG Jin-ming
（InstituteofTheoreticalPhysics，ShanxiUniversity，Taiyuan030006，China）

We present an overview of the multi-source thermal model（or multi-source ideal gas model）suggested and developed in our previous works.The basic picture of the model is described.In the case of considering different quantities with different laws，the corresponding space distributions of the sources are discussed.After the review section，a multi-component Erlang distribution obtained from the model is used to analyze the energy spectra and fragmentation functions of jets formed in proton-proton collision at high energy.The calculated results of the model are approximately in agreement with the experimental data measured in■s＝200 Ge V proton-proton collision at the Relativistic Heavy Ion Collider.It shows that the energy spectra and fragmentation functions of jets formed in high energy proton-proton collision obey the multi-component Erlang distribution with a component number being 1 or 2.

multi-source thermal model（or multi-source ideal gas model）;high energy proton-proton collision;energy spectrum and fragmentation function of jets;multi-component Erlang distribution

O572.25

A

0253-2395（2012）02-0262-09＊

2011-02-06

國家自然科學(xué)基金（10975095）

劉?；ⅲ?964－），男，山西夏縣人，博士，教授，主要從事粒子物理與原子核物理方面的研究工作.E-mail：fuhuliu＠163.com;liufh＠m(xù)ail.sxu.cn