王青云，王 煥

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院現(xiàn)代科技學(xué)院，浙江杭州 310018)

反演聲波阻尼系數(shù)的簡(jiǎn)單方法

王青云，王 煥

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院現(xiàn)代科技學(xué)院，浙江杭州 310018)

研究時(shí)間調(diào)和聲波的反散射問題，利用散射波的遠(yuǎn)場(chǎng)模式反演阻尼邊界條件中的阻尼系數(shù).首先利用單雙層位勢(shì)的組合逼近散射波，然后在邊界上令總體場(chǎng)為零，將反散射問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)化問題，最后給出了兩個(gè)二維空間的數(shù)值例子，說明了該反演方法是簡(jiǎn)單、可行和有效的.

阻尼系數(shù)；阻尼邊界條件；反演

在均勻介質(zhì)中，反演阻尼邊界條件的阻尼系數(shù)的時(shí)間調(diào)和的聲波散射反問題可歸結(jié)為一個(gè)最優(yōu)化問題.對(duì)以上問題，文獻(xiàn)[1-2]用在邊界?D內(nèi)部的一個(gè)封閉曲線上的積分的單層位勢(shì)逼近散射波，文獻(xiàn)[3-5]分別用在邊界?D上積分的單層位勢(shì)、雙層位勢(shì)和單雙層位勢(shì)的組合逼近散射波，然后要求總體場(chǎng)在邊界?D上為最小，獲得最優(yōu)化問題.文獻(xiàn)[3-5]中的單雙層位勢(shì)是在邊界?D上積分的，總體場(chǎng)又是在邊界?D上為最小，此時(shí)需要利用單雙層位勢(shì)在邊界?D上的跳躍關(guān)系，因此會(huì)產(chǎn)生奇異和超奇異（Hyper-singular）積分的繁瑣計(jì)算.本文借鑒文獻(xiàn)[1-5]的思想，用在邊界?D內(nèi)部的一個(gè)封閉曲線上的積分的單雙層位勢(shì)的組合逼近散射波，然后要求總體場(chǎng)在邊界?D上為最小，獲得最優(yōu)化問題.這種方法避免了奇異和超奇異積分的繁瑣運(yùn)算，一個(gè)入射波即可獲得很好的反演效果.

1 方法介紹

考慮在均勻介質(zhì)中傳播的聲波，此聲波碰到一個(gè)無窮長(zhǎng)的柱體，柱體截面是一簡(jiǎn)單有界連續(xù)區(qū)域D?R2，且 ?D∈C2，母線平行于z軸，入射波ui=eikxid，d為入射角，碰到該柱體后發(fā)生散射，產(chǎn)生散射波us，散射波在無窮遠(yuǎn)處的數(shù)據(jù)稱為“遠(yuǎn)場(chǎng)模式”，記為u.

∞

記總體場(chǎng)u=ui+us，即入射波與散射波的和，正散射問題是求u∈C2(R2D) ∩C(R2D)滿足

其中，v表示邊界的單位外法線方向，λ(x)∈ ?D為聲波阻尼系數(shù)，k=ω/c為波數(shù)，ω>0，c表示聲速.

的解稱為輻射解.

輻射條件（2）具有漸進(jìn)性[6]：

1.1 反演方法

由（6）式可求得α?.

由（3）式獲得散射波的近似值：

1.2 阻尼系數(shù)的求解

下面對(duì)前面的方法給出計(jì)算.

下面解正散射問題以獲得遠(yuǎn)場(chǎng)模式的原始數(shù)據(jù).采用常用的 Nystrom 方法[6]，對(duì)于定解問題：

尋求如下單層位勢(shì)的解：

由于散射波在邊界上的跳躍關(guān)系，我們需要求解下面的積分方程：

因?yàn)?Γ 是包含在?D內(nèi)的曲線，因而上式中積分核不存在奇異的情況，直接對(duì)各積分離散化就可以了.

2 數(shù)值算例

表1 算例1和算例2的反演結(jié)果

圖1 算例1的數(shù)值反演結(jié)果圖

圖2 算例2的數(shù)值反演結(jié)果圖

3 結(jié) 論

本文討論了已知柱體截面?D條件下的遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞的測(cè)量數(shù)據(jù)反演阻尼系數(shù)λ(x)的反問題.首先利用單雙層位勢(shì)的組合逼近散射波，用Tikhonov正則化方法求解一個(gè)含有解析核的第一類Fredholm積分方程，然后利用總體場(chǎng)在邊界?D上等于零的條件，將以上問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性方程的最優(yōu)化問題，再用最小二乘法求解，得到阻尼系數(shù)λ(x)的近似解.最后給出兩個(gè)常見的數(shù)值例子，從數(shù)值例子的反演結(jié)果圖可以看出原始圖形和反演圖形完全重合，說明該反演方法是簡(jiǎn)單、可行、有效的.另外，當(dāng)波數(shù)k≠1且α> 1.0E? 10時(shí)，反演效果不是很好.

[1]劉繼軍. 一類阻尼邊界條件下的逆散射問題[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 2001, 23(1): 111-120.

[2]王連堂. 反演聲波阻尼系數(shù)的一個(gè)逼近方法[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 2000, 22(3): 265-274.

[3]麥宏晏, 王連堂. 反演聲波阻尼系數(shù)的一種數(shù)值解法[J]. 西北大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2006, 36(2): 186-188.

[4]王樞, 王連堂. 反演聲波阻尼系數(shù)的另一種方法[J]. 西北大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2006, 36(5) :689-692.

[5]楊阿莉, 王連堂, 李曉華. 聲波阻尼系數(shù)的反演方法[J]. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 31(2): 139-147.

[6]Colton D, Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory [M]. New York: Springer Verlag, 1992: 37-71.

Simple Method for Inversion of Acoustic Impedance Coefficient

WANG Qingyun, WANG Huan
(College of Modern Science and Technology, China Jiliang University, Hangzhou, China 310018)

In this paper, the inverse scattering problem of time-harmonic acoustic was studied. The impedance coefficient with an impedance boundary condition was inversed by using far field pattern of scattered wave. Firstly, combined single and double-layer potential was used to approximate the scattered wave. Then the total wave was made equal to zero on the boundary, and the inverse scattering problem was transformed into an optimization problem. In the end, two numerical examples in two-dimension space were given to evidence that the method is simple, feasible and effective.

Impedance Coefficient; Impedance Boundary Condition; Inversion

(編輯：王一芳)

O29

A

1006-0375(2012)02-0016-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.02.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2011-05-24

王青云(1978- )，女，江蘇豐縣人，助教，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)物理反問題