林 翔

(福建商業(yè)高等?？茖W校計算機系，福建福州 350012)

JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測》中數(shù)據(jù)處理方法之疑議與補缺

林 翔

(福建商業(yè)高等?？茖W校計算機系，福建福州 350012)

JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測》在數(shù)據(jù)處理過程中遇到的minmax問題頗具典型性，其取用的計算方法在關鍵環(huán)節(jié)沒有給出明確闡述，令人對其算法的合理性與計算結果的可靠性產生疑義，為此另辟路徑尋找滿足“最小區(qū)域”原則的合理算法，提高了計算精度，修正了該文獻附錄B算例中之11個截面圓計算結果，進而修正了同軸度誤差的最終評定值.

同軸度誤差；新算法；高精度；精密檢測

圖1 文獻[1]中αi、e示意圖

從JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測》[1]可知，測量與數(shù)據(jù)處理是同軸度誤差評定的兩大內容，數(shù)據(jù)處理又以求取基準軸線為核心重點.文獻[1]認為，基準軸線的確定，是在獲取基準要素回轉面上各截面所有測點坐標之后，選定四種方法之一進行計算，由此生成回轉面的中軸線作為基準軸線.此四法是最小區(qū)域法、最小二乘法、最小外接法和最大內接法，而且將“最小區(qū)域法”作為首選算法，并敘述了求取基準軸線過程的詳細操作步驟，見圖1.

文獻[1]首先設定基準要素是若干個正截面圓，每個截面圓周上均布有若干測量點，需要解決的核心問題是求出各個截面圓的中心位置.很顯然，符合“最小區(qū)域法”的圓心求取問題，其實就是一個典型的minmax求解問題，文獻[1]在求取過程中對這一關鍵環(huán)節(jié)描述是：

b. 按一定優(yōu)化方法移動中心O至O′；其中

Δri：中心移動前的半徑差值；

e：中心移動量；

αi：測點徑向線ri與中心移動方向線OO′之間的夾角.

αi、e分別是移動中心O至O′的方向和步長，移動O至O′的目的是使“誤差帶”逐步向“最小區(qū)域”逼近，從而求出符合“最小區(qū)域”原則的截面圓心.

遺憾的是文獻[1]對所謂的“一定優(yōu)化方法”未做交代，對αi、e這兩個關鍵數(shù)值的來龍去脈沒有作具體說明，令人無所適從.不可避免的，筆者對文獻[1]附錄B應用示例中4個基準截面圓中心、7個被測截面圓中心的計算結果是否符合“最小區(qū)域”原則、該示例的同軸度誤差的最終評定結果之合理性，產生了疑義，繼而試著尋求更優(yōu)化的算法，重新評定附錄B中計算結果的可靠性與高精度性，對正確運用國標有所裨益.

1 “最小區(qū)域”意義下求圓心之數(shù)學模型

所要推敲的基準截面圓中心、被測截面圓中心問題，都屬于minmax求解問題，歸納起來可以表述為：某一實測圓，圓周上均布有n個測點Qk(xk,yk)（k＝1~n），要以點集Qk（k＝1~n）為基礎擬合出兩個同心圓，不妨記共同圓心為O(xO,yO)，Qk至圓心O的距離為sk（k＝1~n），按照“最小區(qū)域”判定原則的要求，圓心O應該滿足下式：

f表達式的幾何意義是：有兩個同心圓，所有的點 Qk(xk,yk)（k＝1~n）都落在兩個圓之間，且這兩個圓之間的區(qū)域達到最小.表達式中max(sk)為同心圓中的大圓半徑，min(sk)為小圓半徑，因此“f—＞min”也可看作是兩個同心圓的半徑之差趨于最小，如此則O點就是符合所謂的“最小區(qū)域”原則的圓心，也就得到我們所求取的擬合同心圓了.

這一典型的minmax問題是離散型的，筆者經過觀察比較，另辟蹊徑尋找一種既符合“最小區(qū)域”概念且又適用易用的新算法，作為“一定優(yōu)化方法”的一種詮釋.

2 新算法

仍然圍繞αi、e來展開討論.αi是中心O的移動方向，e是移動步長，αi、e取值的原則是必須使得 f值降下來；而要使 f＝max(sk)－min(sk)值下降，只要讓max(sk)降下來、讓min(sk)升上去，就可以實現(xiàn).筆者發(fā)現(xiàn)，一個特殊三角形的外角平分線的方向，具備作為αi候選方向的特性.

記擬合圓的臨時中心為O，Qk(xk,yk)（k＝1~n）距O最遠、最近的點分別為Ql、Qm，即OQl＝max(sk)、OQm＝min(sk)，△QlQmO構成一個特殊的三角形.延長 QmO，作直線 OP，∠QlOP為△QlQmO的一個外角，自O點作∠QlOP的平分線OL，如圖2所示，OL即可作為αi的一個可選方向.證明如下：

沿OL方向取點O′，令OO′＝e（e是一個很小的步長），使得△OO′Ql之∠OO′Ql為鈍角，則有不等式成立：

對于△OO′Qm，∠QmOO′必為鈍角，故也有不等式成立：

綜合（1）、（2）兩式，可得不等式：

可見只要e值取得很小，沿外角平分線OL方向選定一個新的圓心O′，就可能把f值降下來.

解決了αi的取值問題，以下討論e的取值.

易知，如果以“最小二乘圓”的圓心作為“最小區(qū)域圓”的初始圓心O，則此時的f值已經很接近“最小區(qū)域”了，所以對O的移動，肯定是小幅度的，因此e值必然是個很小的值.記“最小二乘”圓心為O2(x′′,y′′)，

有f2＝max(s′′k)－min(s′′k)（k＝1~n）.

根據(jù)經驗，“最小區(qū)域”意義下的f值通常要比“最小二乘”意義下的f2值小10%左右，因此不妨令e＝f2/10.

e只是一個初始的步長取值.如果經判斷，f值下降了，即用O′取代O；如果f值沒有下降，則減小e值，取原e值一半，即e＝e/2，重新對O點進行移動判斷.

隨著f值不斷逼迫“最小區(qū)域”，e的取值必然地不斷在減??；當e是一個很小很小的值，達到了計算精度要求之時，停止計算，輸出結果.

特殊情況的處理：

如果Ql、Qm、O三點成一線，△QlQmO中∠QlOQm是個平角，不妨仍將△QlQmO當作普通三角形對待，計算過程如法炮制，與前述無異.

如果Qk(xk,yk)（k＝1~n）距O最遠點不止一個“Ql”而是有S個，距O最近點也不止一個“Qm”而是有T個，則處理的辦法是：從S個“Ql”和T個“Qm”中各取一個點與O組成一個特殊三角形，則這樣的特殊三角形就有S*T個；對這些三角形逐個進行計算求出相應的外角平分線，其中能使f值下降最多者，就選定其作為特殊三角形.

以上是對計算過程的要點敘述.當αi、e確定以后，接下來的計算工作須回到文獻[1]規(guī)定的算法流程，進行“最小區(qū)域”意義下求截面圓中心的全過程計算.

3 算法的驗證

按上述算法，以C語言編程，對文獻[1]附錄B中的4個基準截面圓和7個被測截面圓算例進行驗算，計算結果列出如下：

3.1 基準柱面上的4個截面圓

表1 基準柱面上的4個截面圓計算結果比較

3.2 被測柱面上的7個截面圓

表2 被測柱面上的7個截面圓計算結果比較

經比較可見，本算法計算的全部11個截面圓f值，都要比原文小，尤其是第III截面圓、第4截面圓，f值比原文的值小了約6%和13%.

3.3 其他“最小區(qū)域圓”算例

為進一步驗證本算法的高精度性，筆者還對文獻[2-7]共6篇與“最小區(qū)域圓”有關的文章中列出的算例，進行驗算.這些文章各給出了一個算例，現(xiàn)將原文結果與本文算法計算的結果列出如下，便于比較：

表3 文獻[2-7]6個算例原結果與本文算法計算結果比較

比較而言，本文所提出的算法在精度方面切實體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢，文獻[3]算例計算精度甚至提高了25%.

4 同軸度誤差算例

（1）以上述4個基準截面圓心和7個被測截面圓心坐標為基礎，繼續(xù)計算工作，把文獻[1]附錄B中同軸度誤差算例之最終結果求出來.

先求取基準柱面軸線：

按文獻[1]規(guī)定，要求出基準軸線，必須求出包容OI– OIV四個點的“最小外包圓”的圓心O外.

為此，引進文獻[8]中關于“最小外包圓”的算法，求得圓心坐標為O外(-0.127 40, -0.096 78).

再求取同軸度誤差值：

計算O1– O7等7個點至O外的最大距離，再翻番，即同軸度誤差值，該值為10.809 77 μm；原文給出的同軸度誤差值為10.67 μm.

（2）其他同軸度誤差算例

文獻[9]給出了一個算例，共有2個基準截面圓、4個被測截面圓.本文算法計算各截面圓及同軸度誤差結果列出如下表：

表4 文獻[9]算例計算結果

（3）文獻[10]附錄中給出了一個同軸度誤差的算例，基準軸線為空間坐標系的z軸，被測圓柱上有6個等距橫截面圓.用本文算法計算各截面圓結果及同軸度誤差如下表：

表5 文獻[10]算例計算結果

5 小 結

文獻[1]中數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)的核心問題是典型的minmax問題，文中所述的算法過于隱晦，不具可操作性，故而筆者就此展開討論，尋求符合“最小區(qū)域”法則的有針對性算法.以“特殊三角形”的外角平分線為突破口，圍繞αi、e的原始概念進行算法推演，并且對算法的合理性進行了簡單的證明，對αi、e的取值給出了具體說明，同時對可能出現(xiàn)的“特殊現(xiàn)象”也提出了處理意見.經過若干的算例驗算與結果比較，在證明了本算法合理性的同時，也證明了其高精度性和實用性.

特殊三角形的外角平分線方向不一定是αi的最佳選擇，但它是一種可行的選擇，它能使f值單調下降逐步逼近“最小區(qū)域”，這是本算法具備高精度的主要因素之一，不妨將其作為“一定優(yōu)化方法”的算法補缺.本文引用的算例有限，歡迎同行專家指正，把文獻[1]中存在的問題解決好.

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Data Processing Method’s Doubt and Supplement ofCoaxial Error Detection(JB/T 7557 – 1994)

LIN Xiang
(Computer Science Department, Fujian Commercial College, Fuzhou, China 350012)

The minmax in the data processing ofCoaxial Error Detection(JB/T 7557 – 1994) is a typical problem. The reasonability of its algorithm and reliability of its calculating results were doubtful because many key steps of the calculating method adopted were not clearly expounded. Given this, a rational algorithm which fits with the “minimum area” principle was chosen to improve the calculating accuracy and correct 11 circular cross-section results in algorithm of Appendix B. Then, the final assessment of coaxial error was corrected.

Coaxial Error; New Algorithm; High-precision; Sophisticated Detection

(編輯：封毅)

TH161

A

1674-3563(2012)02-0022-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.02.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2011-09-27

林翔(1963- )，男，福建福州人，副教授，高級工程師，碩士，研究方向：精密檢測領域的算法研究及計算機應用編程