李毛親

（臺州學院 數學與信息工程學院 數學系，浙江 臨海 317000）

矩陣乘積的精彩
——貫穿于《線性代數》始終的矩陣乘積的教學方法探討

李毛親

（臺州學院 數學與信息工程學院 數學系，浙江 臨海 317000）

探討了在《線性代數》教學過程中關于矩陣乘積的問題。首先是矩陣乘法引入時要注意的問題，其次是在矩陣分塊以后探討矩陣乘積的規(guī)律，然后是用內積的觀點來看待矩陣的乘積。這樣從多個側面引導學生去理解矩陣的乘積可以開闊他們的視野，提高他們分析問題和解決問題的能力。

矩陣的乘積；分塊矩陣；矩陣的秩

矩陣貫穿于《線性代數》的始終，很多問題的解決都會借助于這個有效的工具。因此矩陣的學習在《線性代數》中是至關重要的，因而關于矩陣教學的重要意義也就無需贅言了。本文主要探討矩陣乘法的教學。在引入矩陣乘法定義之后，很多線性代數中的問題都會變得簡化，這種簡化既包括形式上的簡化也包括內容上的簡化。再者，也可以使得對一個問題有不同角度的理解，這些內容在教學中都是教師應該引導學生去體會和完成的。有些思考問題和解決問題的方法也是需要教師幫助學生探討，以至于使學生能夠熟練地掌握和應用。

1 矩陣乘積引入時應注意的問題

我們從以下幾個方面給出引入矩陣乘積概念時需要注意的問題（1）前者的列數等于后者的行數及乘法法則

在講授矩陣的乘積時第一個需要注意的問題是矩陣乘法引入時，對兩個矩陣形狀的要求，即當兩個矩陣A，B相乘時，前者的列數應該等于后者的行數.在具體進行矩陣乘積時，應該使學生理解為什么要有這樣的規(guī)定.再一個是乘法的法則，該法則也是學生第一次遇到的特殊的乘法法則.下面的例題對這個概念的理解很有幫助.

（2）前者的行，后者的列

在矩陣乘積的教學中，教師一再強調“前者的行，后者的列”.事實上，這包括兩個方面的含義，其一是若AB=C，則乘積C的行數為A的行數，列數為B的列數.例1就是一個很好的例子.其二是，矩陣C的第i行元素是矩陣A的第i行元素與矩陣B的乘積，即A的第i行元素與B決定了C的第i行元素：

通過以上兩個事實的探討，使得學生理解前者的行，后者的列的真正含義.為了進一步強化這個概念，還可以通過如下的簡單的例題使得學生進一步理解在矩陣乘積中“前者的行，后者的列”的重要性.

（3）矩陣乘積的不可交換性

矩陣乘積是學生遇到的第一個不可交換的乘積，這個概念的建立也需要通過例題的講解和作業(yè)的練習來完成.因為從小養(yǎng)成的乘法交換律會不時地干擾學生的思維，所以，教師在相當長的時間段內都要注意強調這種“不可交換性”.

（4）乘法不適合消去律

矩陣乘積也是學生遇到的第一個不適合消去律的乘法.在引入矩陣乘法時，應該提到這一點，但是，只有在引入逆矩陣的概念之后學生才真正理解為什么矩陣的乘法不適合消去律.即使是理解了這個為什么之后，還是會時不時地犯錯誤，例如當AB=0時，還是會有“A=0或B=0”的判斷錯誤.這個性質的掌握也要通過不斷地練習和教師的及時強調和提醒來完成.

（5）矩陣的乘法適合結合律的證明

矩陣的乘法適合結合律是一個很普通的性質，到目前為止，學生所學習過的代數運算都適合結合律.但是，結合律的證明卻并不是顯而易見的.在證明該性質時，需要特別地強調矩陣乘積AB=C中，C的元素的構造，這會使得學生進一步理解“前者的行，后者的列”的含義.要證明A（BC）=（AB）C兩個矩陣相等，就要證明它們對應元素相等.等號左邊矩陣位于第i行第j列的元素由A的第i行和BC的第j列元素的乘積得到，由（2）可知，BC的第j列元素由B乘以C的第j列的元素得到.同理等號右邊第i行第j列的元素也可類似確定.有了這樣清晰的認識，結合律的證明就不再困難了.

2 講了矩陣分塊以后的矩陣乘法

講了矩陣的分塊以后，可以從另一個角度去看矩陣的乘法，這有利于解決不同的問題.設A=（aij）mn，B=（bij）ns，AB=C.分別把矩陣 A 和 B 按行和列分塊.

則如下的幾種理解可以幫助學生從不同的側面理解矩陣的乘法及其應用.（1）C 的元素

3 講了歐氏空間內積以后的矩陣乘積

在引入歐氏空間的概念后，可以用內積的觀點來看待矩陣乘積的元素.乘積C的元素是A的行向量和B的列向量的內積，這里的內積是n維向量空間的普通內積.

以上這點，在講了歐氏空間的內積之后再度提起，就是要引導學生用內積的觀點來看待矩陣乘積的元素，這有利于理解齊次線性方程組的解空間與其系數矩陣的行空間之間的相互垂直的關系.事實上，齊次線性方程組Ax=0，即

如果用向量內積的觀點來看，則向量x是齊次線性方程組Ax=0的解當且僅當x與A的所有行向量正交，即 x 與 A 的行空間正交.這樣 Ax=0 的解空間與 A 的行空間互為正交補.設 V1=L（ξ1，ξ2，…，ξm），Ax=0的解空間為V2，則Fn=V1V2，且V1⊥V2.這也從另一個側面證明了系數矩陣的秩與解空間的維數之和等于未知量的個數.

4 矩陣的初等變換與矩陣的乘積

對矩陣作初等行變換相當于左乘一個初等矩陣，作列變換相當于右乘一個初等矩陣.這句話表面上看起來很好理解，但是在實際的教學中也是要注意的一個問題.由于教科書中這方面的基礎習題較少，所以適當地補充一些基礎練習題是必要的.

5 矩陣乘積的應用

本節(jié)將通過例子給出矩陣乘積的一些應用.

例 4 設矩陣 Amn，Bns滿足 AB=0，證明 R（A）+R（B）≤n.

證明：把矩陣 B 按列分塊為 B=（β1，β2，…，βs），則 AB=（Aβ1，Aβ2，…，Aβs）.所以 Aβi=0，i=1，2，…，s，即 B的所有列向量都是線性方程組Ax=0的解.

設 R（A）=r，則齊次線性方程組 Ax=0 的一個基礎解系含有 n-r個向量，設為 η1，η2，…，ηn-r，則向量組β1，β2，…，βs可由向量組 η1，η2，…，ηn-r線性表出，所以 R（β1，β2，…，βs）≤R（η1，η2，…，ηn-r）.于是

在下面的例題中，我們將利用一個最基本也是最常用的結論探討有關矩陣秩的一些證明方法.

例5 設 A是一個m×n矩陣，若R（A）=r，則

（1）存在一個行滿秩的矩陣B和一個列滿秩的矩陣C使得A=BC.

（2）存在可逆矩陣P使得PA的后m-r行元素全為零；存在可逆矩陣Q使得AQ的后n-r列元素全為零.

證明：前面我們已經用分塊矩陣的方法證明了該命題，現在用另一種方法證明.

設 R（A）=r，R（B）=t，由上題知，存在可逆矩陣P，Q使得

［1］北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組，高等代數（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［2］同濟大學數學系.線性代數（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.

The Splendidness of the Metrix Multiplication--an approach to teaching matrix multiplication in linear algebra

LI Mao-qin
（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

In the paper, the teaching of matrix multiplication in linear algebra is discussed. Firstly, when the multiplication of two matrices is introduced, some problems need to be taken into account. Secondly,after learning block matrix,some regular rules about multiplication are presented,which,under the guidance of teachers,students should pay attention to.The matrix multiplication is learned in view of inner product.By different way to see matrix multiplication,the academic horizons of students can be extended,which helps improve students' ability to analyze and solve problems.

matrix multiplication;block matrix;rank of a matrix.

耿繼祥）

O151.2

A

1672-3708（2012）03-0051-05

2012-01-12；

2012-03-16

李毛親（1958- ），女，山西太原人，碩士，副教授，研究方向：應用數學及教學研究。