溫春奎

(梅河口市第五中學(xué) 吉林 通化 135000)

“等效重力”是等效思維在解題過程中的具體應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑.用這種方法求解帶電小球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題會(huì)收獲意想不到的效果,即把生疏的復(fù)合場(chǎng)問題轉(zhuǎn)化為熟知的重力場(chǎng)問題，使解題思路更加暢通.

1 求解勻強(qiáng)電場(chǎng)中的拋體運(yùn)動(dòng)問題

【例1】如圖1所示，在場(chǎng)強(qiáng)為E,水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，以初速度v0豎直向上拋出一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為+q的帶電小球，求：(1)小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度;(2)從拋出到速度最小經(jīng)歷的時(shí)間(空氣阻力不計(jì)).

圖1 圖2

解析：小球在運(yùn)動(dòng)過程中受重力mg和電場(chǎng)力Eq(恒力)的作用，把這兩個(gè)力的合力作為“等效重力” ，該問題就轉(zhuǎn)化為重力場(chǎng)中的斜上拋運(yùn)動(dòng)，可用運(yùn)動(dòng)分解的方法求解.

v=vx=v0sinθ

由圖2可得

所以，最小速度為

(2)當(dāng)vy=0時(shí)，由vy=v0cosθ-at得

所以，從拋出到速度最小經(jīng)歷的時(shí)間為

該題的常規(guī)解法是建立正常的坐標(biāo)系，將小球的運(yùn)動(dòng)分解為水平向右的勻加速直線運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)合速度與合力垂直時(shí)速度最小(這個(gè)條件學(xué)生不易想到).這樣解比上述解法繁瑣很多，這里不再贅述.

2 求解勻強(qiáng)電場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

【例2】如圖3所示，在豎直平面內(nèi)有E=1.0×104N/C的水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng). 一個(gè)質(zhì)量為m= 0.04 kg,電荷量為q=3×10-5C的小球，用長(zhǎng)為R=0.4 m的細(xì)繩拴住，懸掛在電場(chǎng)中的O點(diǎn)，當(dāng)小球靜止時(shí)處于圖中的A點(diǎn).為使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)至少給小球多大的初速度？

(取g=10 m/s2)

圖3

解析：該題是重力場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的進(jìn)一步演變.如果把重力和電場(chǎng)力的合力看成一個(gè)力,即“等效重力”,小球就只受“等效重力”和繩的拉力.不同的是臨界點(diǎn)的位置發(fā)生變化，這是問題的關(guān)鍵.

設(shè)“等效重力”的大小為F,則

方向與豎直方向夾角為θ,且

得

θ=37°

A點(diǎn)為“等效最低點(diǎn)”,B點(diǎn)為“等效最高點(diǎn)”,能到達(dá)B點(diǎn)就能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng).到達(dá)B點(diǎn)時(shí)有

TB=0時(shí),vB最小,且

從A到B由動(dòng)能定理得

解得

vA=5 m/s

即為最小速度.

如果本題不用“等效重力”的方法，“等效最高點(diǎn)”將無法體現(xiàn)，誤把C點(diǎn)當(dāng)做“最高點(diǎn)”，這是學(xué)生易犯的錯(cuò)誤.

拓展：當(dāng)vA=5 m/s時(shí)，求小球運(yùn)動(dòng)到C,D和A點(diǎn)時(shí)繩對(duì)小球的拉力分別是多大.

(1)從B到C,根據(jù)動(dòng)能定理得

解得

在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得

(電場(chǎng)力對(duì)向心力沒有貢獻(xiàn)，不用“等效重力”簡(jiǎn)單)

解得

TC=0.3 N

(2)從B到D，根據(jù)動(dòng)能定理得

解得

在D點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得

(重力對(duì)向心力沒有貢獻(xiàn)，不用“等效重力”簡(jiǎn)單)

解得

TD=2.4 N

(3)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得

(重力和電場(chǎng)力對(duì)向心力都有貢獻(xiàn)，用“等效重力”簡(jiǎn)單)

解得

TA=3.0 N

變式訓(xùn)練：如圖4所示,把小球穿在半徑為R=0.4 m的光滑圓環(huán)上，并把圓環(huán)固定在豎直面內(nèi)，其他條件不變，求：(1)在A點(diǎn)至少給小球多大的初速度才能使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng);(2)把小球從最高點(diǎn)C由靜止釋放，小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度;(3)把小球從A點(diǎn)拉開一段很小的距離并由靜止釋放，求小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用時(shí)間.

圖4

解析：(1)“等效最高點(diǎn)”為B點(diǎn)，“等效最低點(diǎn)”為A點(diǎn)，但圓環(huán)既可以“拉”球也可以“支”球，因此，小球到B點(diǎn)時(shí)的最小速度可以為零，這是與原題不同之處.

從A到B，根據(jù)動(dòng)能定理得

解得

(2)因?yàn)锳點(diǎn)為“等效最低點(diǎn)”所以，小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度最大.從C到A，根據(jù)動(dòng)能定理得

解得

(3)小球釋放后，在A點(diǎn)兩側(cè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，由于拉開的距離很小(遠(yuǎn)小于R),小球的運(yùn)動(dòng)可等效為單擺.“等效擺長(zhǎng)”為L(zhǎng)=R,“等效重力加速度”為g′,可由“等效重力”求得

從釋放到A點(diǎn)所用時(shí)間為

3 求解勻強(qiáng)電場(chǎng)中單擺的周期

(1)擺球帶+q(-q) ,勻強(qiáng)電場(chǎng)豎直向下(上)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E, 則“等效重力”為

mg′=mg+Eq

方向豎直向下，如圖5所示.

“等效重力加速度”大小為

所以

平衡位置不變，周期變小.

(2)擺球帶+q(-q),勻強(qiáng)電場(chǎng)豎直向上(下)，Eq

mg′=mg-Eq

“等效重力加速度”為

所以

平衡位置不變，周期變大，如圖6所示.

圖5 圖6

Eq>mg時(shí) ,“等效重力”為

mg′=Eq-mg(豎直向上)

等效重力加速度為

所以

平衡位置在懸點(diǎn)正上方(倒掛)，如圖7所示.

圖7 圖8

(3)如圖8所示,勻強(qiáng)電場(chǎng)為水平方向時(shí)，“等效重力”為

“等效重力加速度”為

所以

平衡位置在“等效最低點(diǎn)”A.

上述實(shí)例表明，帶電小球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的電場(chǎng)力(恒力)和重力的合力可等效為一個(gè)力即等效重力，等效重力與質(zhì)量的比值即等效重力加速度.等效重力的方向決定等效重力加速度的方向及等效最高點(diǎn)和等效最低點(diǎn)的位置.這對(duì)解題非常重要.