李慧茹，楊志強(qiáng)，石 震，龔 云，趙敏寧

（長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西 西安 710054）

0 引 言

高精度磁懸浮陀螺全站儀是一種將磁懸浮技術(shù)成功應(yīng)用于陀螺全站儀的精密定向測(cè)量?jī)x器，它能夠精確測(cè)定任意測(cè)線真北方位角，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確貫通和精確定向，通常用于地下工程，如大型隧道、礦山等的貫通測(cè)量工作，為地下工程提供精確的方位基準(zhǔn)或相關(guān)的方位角檢核條件［1－5］。然而，在實(shí)際施工現(xiàn)場(chǎng)，由于受到外界干擾力矩的影響，陀螺在尋北過程中旋轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生緩慢的偏北進(jìn)動(dòng)，陀螺采樣數(shù)據(jù)往往包含系統(tǒng)性漂移和隨機(jī)性漂移。系統(tǒng)性漂移可以通過試驗(yàn)標(biāo)定或建立數(shù)學(xué)模型消除其影響，而隨機(jī)性漂移具有弱非線性、非平穩(wěn)、慢時(shí)變的特點(diǎn)，并且外界不確定干擾因素對(duì)隨機(jī)性漂移的影響大小，無(wú)法建立其數(shù)學(xué)模型［6－7］，因此需要對(duì)陀螺采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠交幚韥?lái)盡可能消除隨機(jī)性漂移的影響，進(jìn)而提高磁懸浮陀螺全站儀觀測(cè)結(jié)果的精度。

對(duì)于陀螺隨機(jī)性漂移的消除，已經(jīng)有很多學(xué)者做了大量研究。李士心等對(duì)陀螺數(shù)據(jù)采用各種小波變換重構(gòu)信號(hào)，進(jìn)行濾波處理［6－8］；魏國(guó)等提出灰色時(shí)序建模新方法，并依據(jù)所建模型對(duì)激光陀螺數(shù)據(jù)進(jìn)行Kalman濾波［9］；張通等采用粒子濾波方法對(duì)陀螺隨機(jī)性漂移消噪［10］。筆者借助在天文數(shù)據(jù)處理中廣泛應(yīng)用的 Vondrak濾波法［11－12］對(duì)磁懸浮陀螺采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，Vondrak濾波法不要求建立估計(jì)量與觀測(cè)量之間的函數(shù)模型，而通過選擇不同平滑因子控制數(shù)據(jù)的平滑程度對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，從而在最大程度上濾除隨機(jī)誤差或干擾成分，保留數(shù)據(jù)中的有用信息。

1 Vondrak濾波原理

對(duì)于采樣數(shù)據(jù)，Vondrak濾波的基本假設(shè)是使Q取最小值，Q表達(dá)式為

其中

式中：yi為觀測(cè)時(shí)刻xi的采樣數(shù)據(jù)；i＝1，2，3，…，n，其中n為采樣個(gè)數(shù)；yi－為待求的平滑值；pi為采樣數(shù)據(jù)的權(quán)；F為Vondrak濾波的擬合度；S為平滑度；Δ3yi－為平滑值yi－的三階差分；λ2為給定的正系數(shù)。

Vondrak濾波的思路是尋求一條折中的曲線，這條曲線介于采樣數(shù)據(jù)的絕對(duì)平滑和絕對(duì)擬合之間，折中的程度取決于平滑因子ε＝1／λ2的選取［13］。在平滑過程中，λ2調(diào)整擬合度和平滑度之間的關(guān)系。當(dāng)λ2→0，Q要取得最小值，則F取最小值，擬合曲線與采樣數(shù)據(jù)逼近；當(dāng)λ2→∞，要使Q取最小值，則S取最小值，這時(shí)得到的是一條光滑的二次曲線［13］。

Vondrak濾波采用相鄰4組采樣數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造一個(gè)三次拉格朗日多項(xiàng)式，并用此式表示中間的2個(gè)平滑值。首先將拉格朗日多項(xiàng)式代入式（2）、（3）得到F、S，具體多項(xiàng)式形式及推導(dǎo)過程詳見文獻(xiàn)［7］，然后對(duì)yi－求偏導(dǎo)，得到Vondrak濾波的基本方程組

其中

Bi＝εpi

式中：Aj，i為矩陣的系數(shù)，j＝－3，－2，－1，0，1，2，3；y－

j＋i為第j＋i個(gè)采樣數(shù)據(jù)的平滑值。

當(dāng)j＋i≤0或j＋i≥（n＋1）時(shí)，Aj，i＝0。此時(shí)，Vondrak濾波轉(zhuǎn)化為一個(gè)求解線性方程組的問題。只要平滑因子ε給定，就可以唯一地解算出一組平滑值。需要注意的是，平滑因子ε選取不同的值，可以得到不同程度的平滑結(jié)果，ε取值偏小，所得結(jié)果的平滑度強(qiáng)，ε取值偏大，所得結(jié)果的平滑度弱。在本文數(shù)據(jù)處理中，由于數(shù)據(jù)采樣量大，并且陀螺全站儀在不受外力干擾的作用下幾乎是一個(gè)常數(shù)，所以平滑因子選取應(yīng)該偏小。經(jīng)過觀測(cè)誤差法比較分析，本文平滑因子取ε＝0．01。

2 應(yīng)用實(shí)例

磁懸浮陀螺全站儀通過2次尋北觀測(cè)數(shù)據(jù)（即第1位置尋北力矩和第2位置尋北力矩）計(jì)算真北方位角。筆者在西安地區(qū)選取一條基準(zhǔn)線，并采用高精度天文測(cè)量方法獲取其真北方位角，然后在這條基準(zhǔn)線上進(jìn)行陀螺方位角測(cè)量試驗(yàn)，共反復(fù)進(jìn)行8次測(cè)回，每一測(cè)回共有40 000組第1位置尋北力矩值和第2位置尋北力矩值。在計(jì)算真北方位角之前，首先利用Vondrak濾波法對(duì)這8次測(cè)回的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理。圖1、2為第1測(cè)回原始采集的第1、2位置尋北力矩值與Vondrak濾波處理后的第1、2位置尋北力矩值的比較圖。第2～8測(cè)回原始采集的尋北力矩?cái)?shù)據(jù)與Vondrak濾波處理后的尋北力矩?cái)?shù)據(jù)的結(jié)果與圖1、2相似，因此文中不再重復(fù)。

Vondrak濾波平滑的目的是盡可能消除磁懸浮陀螺全站儀隨機(jī)性漂移的影響。在圖1中第1位置尋北力矩平滑處理前，縱坐標(biāo)區(qū)間為［－0．02，0．02］，平滑處理后減小到［－0．01，0．01］，反映出 Vondrak濾波能夠有效消除磁懸浮陀螺全站儀的隨機(jī)性漂移影響。從圖1、2可以看出，Vondrak濾波平滑處理結(jié)果能夠反映磁懸浮陀螺全站儀尋北力矩的變化趨勢(shì)，平滑后的結(jié)果與原始數(shù)據(jù)相比，數(shù)據(jù)序列的毛刺減少，數(shù)據(jù)更為集中。但是從圖1、2也可以看出，對(duì)于原始采集的第1、2位置尋北力矩，共有3處大的起伏波動(dòng)，這是因?yàn)樵谠囼?yàn)時(shí)測(cè)量環(huán)境受到噪音等外界干擾因素造成的，這些波動(dòng)屬于粗差范圍，在計(jì)算真北方位角時(shí)應(yīng)該予以剔除，在進(jìn)行Vondrak濾波處理之后這些波動(dòng)仍然存在，因此使用Vondrak濾波平滑處理時(shí)應(yīng)考慮結(jié)合粗差剔除進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

從圖1、2中可以直觀看出，Vondrak濾波能夠?yàn)V除磁懸浮陀螺全站儀數(shù)據(jù)的干擾成分，保留有用信息。同時(shí)，筆者通過計(jì)算尋北力矩的均方根對(duì)磁懸浮陀螺全站儀原始采集數(shù)據(jù)和Vondrak濾波平滑處理結(jié)果進(jìn)行比較。從表1可以看出，8次測(cè)回Vondrak濾波平滑處理數(shù)據(jù)與對(duì)應(yīng)的原始采集數(shù)據(jù)相比，它的所有均方根都明顯減小，說明Vondrak濾波平滑處理后尋北力矩離散度變小，數(shù)據(jù)變得更集中。Vondrak濾波有效消除了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性漂移影響，計(jì)算真北方位角時(shí)精度得到提高。

圖1 第1測(cè)回的第1位置原始尋北力矩?cái)?shù)據(jù)與Vondrak濾波處理數(shù)據(jù)比較Fig．1 Comparison of Raw Data of North－seeking Torque in the First Place of the First Observation Set and Data Processed by Vondrak Filter

圖2 第1測(cè)回的第2位置原始尋北力矩?cái)?shù)據(jù)與Vondrak濾波處理數(shù)據(jù)比較Fig．2 Comparison of Raw Data of North－seeking Torque in the Second Place of the First Observation Set and Data Processed by Vondrak Filter

表1 原始采集數(shù)據(jù)和Vondrak濾波平滑處理結(jié)果的均方根比較Tab．1 Comparison of Root Mean Squares Between Raw Data and Results Smoothed by Vondrak Filter N·m

3 結(jié) 語(yǔ)

（1）Vondrak濾波平滑處理后的結(jié)果能夠消除磁懸浮陀螺全站儀的隨機(jī)性漂移影響，反映尋北力矩的變化趨勢(shì)，平滑處理結(jié)果的均方根得到改善。

（2）由于Vondrak濾波不能剔除粗差，因此利用Vondrak濾波處理磁懸浮陀螺全站儀采樣數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)該結(jié)合粗差剔除同時(shí)使用，這樣才能使最終的真北方位角精度得到較大提高，而尋找高效的粗差剔除方法也是下一步的研究重點(diǎn)。

（3）在采用Vondrak濾波時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選取合理的平滑因子。

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［第34卷卷終］