劉長良，賈萬根

0 引言

迭代學習控制 (Iterative Learning Control，ILC)作為學習控制的一個重要研究方向，是智能系統(tǒng)中具有嚴格數(shù)學描述的一個分支。自Arimoto開創(chuàng)性的提出迭代學習控制概念以來，研究人員針對不同類型的對象［1～6］，提出了形式多樣的迭代學習控制律［7～11］，并在一定的前提假設(shè)條件下，利用微積分不等式、Lyapunov 理論、λ 范數(shù)、2 －D 理論等各種數(shù)學工具，分析得到了收斂性的條件。雖然迭代學習控制一直是控制界的研究熱點領(lǐng)域之一，但大多只是針對一類特定的系統(tǒng)。對于一般的非線性系統(tǒng)，由于結(jié)構(gòu)、參數(shù)等很不確定而且非線性環(huán)節(jié)的存在使得系統(tǒng)控制器的研究變得復雜，所以針對一般的非線性系統(tǒng)的研究成果相對較少。文獻［12］給出了一般非線性離散系統(tǒng)開環(huán)PID 的迭代學習控制收斂性的充分條件及實現(xiàn)條件，并做了嚴格的數(shù)學證明。然而，理論研究表明［13］:閉環(huán)迭代律的控制性能比開環(huán)控制性能要好，收斂速度也較快。因此，文獻［14］在文獻［12］的基礎(chǔ)上應用范數(shù)和歸納法理論，證明了一般非線性離散系統(tǒng)閉環(huán)P 型迭代學習控制的收斂性。為了同時利用系統(tǒng)當前運行和前次運行的信息，以便進一步改善控制性能，本文針對一般的非線性離散系統(tǒng)給出了P-D 型開閉環(huán)迭代學習控制收斂性的充分條件。

1 問題描述

考慮一般的非線性離散系統(tǒng)

其中，

x(i)∈Rn×1;u(i)∈Rm×1;y∈Rr×1;f，g 為矩陣函數(shù)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知。所要解決的問題是:要求系統(tǒng)在給定的時間區(qū)間［0，N ］上跟蹤期望輸出yd(i)。假設(shè)期望控制ud(i)存在，即:在給定狀態(tài)初值x (0)下ud(i)是上述方程組的解，則迭代控制的目的是通過多次重復的運動，在一定的學習律下使

第k 次運行時離散系統(tǒng)表達式為

輸出誤差為

2 非線性離散的P-D 型開閉環(huán)迭代學習收斂性

取開閉環(huán)P-D 型控制律，即其開環(huán)采用D 型ILC，閉環(huán)采用P 型ILC。

式中:k 為迭代次數(shù);LP(i)為閉環(huán)迭代系數(shù);LD(i)為開環(huán)迭代系數(shù)。

定義1 定義誤差函數(shù)的λ 范數(shù)為

其中，0 ＜λ ＜1。

定理1 如果系統(tǒng)(1)滿足條件:

(1)f，g 是連續(xù)的函數(shù)矩陣。

(2)f，g 關(guān)于x，u 的偏導數(shù)存在，且滿足Lipschitz 條件。記f，g 在第k 次迭代時關(guān)于x，u的偏導數(shù)分別為fxk，fuk，gxk，guk。

(3)每次學習時的初始狀態(tài)、初始控制量都相同xk(0)=x0，uk(0)=u0。

(4)矩陣(I + gukLP(i))－1存在 (I 為單位陣)。則非線性離散系統(tǒng) (1)采用學習律 (4)進行迭代學習控制，輸出y (i)以任意精度跟蹤期望輸出yd(i)的充分條件為

證明:取第k+1 次迭代時的誤差函數(shù)

將開閉環(huán)P-D 型迭代學習控制律(4)代入上式得

即

由條件(4)

兩邊同乘λi+1，(0 ＜λ ＜1)

兩邊同取范數(shù)，有

下面用數(shù)學歸納法證明:

當i+1 =0 時，據(jù)定理1 中條件(3)得

假設(shè)當i+1 =n 時，有

成立，則

當i+1 =n+1 時，

因為0 ＜λ ＜1，故

由定理1 的充分條件式(9)、式(16)及上式，有

所以，式(10)，(11)成立，定理得證。

3 仿真實例

根據(jù)針對一般非線性離散系統(tǒng)的開閉環(huán)P-D型迭代學習控制算法的收斂性證明，為了表明該算法的有效性，特此考慮如下非線性離散系統(tǒng):

應用上述開閉環(huán)P-D 型控制律

設(shè)期望輸出

控制律(4)中LP(i)，LD(i)分別取

滿足條件

在初始狀態(tài)為零的條件下，算法(4)跟蹤期望軌跡的仿真結(jié)果如圖1 和圖2 所示。圖1 是算法(4)在第3 和第5 次時關(guān)于期望軌跡第一分量的跟蹤情況，而圖2 是算法(4)在第3 和第5次時關(guān)于期望軌跡第二分量的跟蹤情況。從圖1和圖2 可以看出，當?shù)? 次迭代時算法(4)幾乎已經(jīng)能實現(xiàn)完全跟蹤。從圖3 和圖4 可以很清楚地看出誤差最大值隨迭代次數(shù)的變化情況。

圖4 跟蹤yd2誤差最大值變化曲線Fig．4 Maximum tracking error curve of yd2

4 結(jié)論

針對一般非線性離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)等很不確定而且非線性環(huán)節(jié)的存在使得系統(tǒng)控制器的研究變得復雜的特點，在充分利用系統(tǒng)上次和當前運行得到的信息及閉環(huán)控制效果要優(yōu)于開環(huán)的結(jié)論的條件下，本文給出了對于一般非線性離散系統(tǒng)的開閉環(huán)P-D 型迭代學習收斂的充分條件，仿真結(jié)果表明了該充分條件的正確性。

［1］謝振東，劉永清．分布參數(shù)系統(tǒng)目標跟蹤的二階P －型學習 算 法［J］．暨 南 大 學 學 報，1998，19 (1):60-64．Xie Zhendong，Liu Yongqing．Two order p-type learning control algorithm of distributed parameter systems ［J］．Journal of Jinan University ［J］.1998，19 (1):60-64．

［2］田森平，謝勝利，傅予力．連續(xù)非線性系統(tǒng)的迭代學習控制 算 法［J］．中 山 大 學 學 報，2000，39 (6):313-317．Tian Senping，Xie Shengli，F(xiàn)u Yuli．Iterative learning control algorithms for nonlinear continuous systems ［J］．Acta Scientlarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2000，39(6):313-317．

［3］謝勝利，謝振東，田森平．非線性系統(tǒng)的迭代學習控制及其算法實現(xiàn)［J］．控制理論與應用，2002，19 (2):167-172，177．Xie Shengli，Xie Zhendong，Tian Senping．Iterative learning control and algorithm realization of nonlinear systems［J］．Control Theory ＆ Applications，2002，19(2):167-172，177．

［4］Tayebi A，Zaremba M B．Iterative learning control for nonlinear systems described by a blended multiple model representation ［J］．International Journal of Control，2002，75(16):1376-1384．

［5］謝振東，謝勝利，韋崗．非線性學習控制理論及其在機器人系統(tǒng)上的應用［A］．中國控制會議論文集［C］．北京:國防大學出版社，1998．957-961．Xie Zhendong，Xie Shengli，Wei Gang．Nonlinear learning control theory and its application on the robot system ［A］．Paper Collection Chinese Control Conference ［C］．Beijing:National Defense University Press，1998．957-961．

［6］李洋，谷俊杰，支保峰，等．加權(quán)閉環(huán)PD 型迭代學習控制在重復擾動時的應用［J］．電力科學與工程，2008，24 (1):48-50．Li Yang，Gu Junjie，Zhi Baofeng，et al．Application of the weighted PD-type closed-loop iterative learning control in the repeated disturbances ［J］．Electric Power Science and Engineering，2008，24 (1):48-50．

［7］Tian Senping，Xie Shengli．A nonlinear algorithm of iterative learning control based on vector plots analysis ［C］．Wuhan:Procceedings of the Second International Symposium on Intelligent and Complex Systems，2001.17-20．

［8］田森平，謝勝利，傅予力．一種新的迭代學習控制快速算法［J］．華 南 理 工 大 學 學 報，2002，30 (5):37-40．Tian Senping，Xie Shengli，F(xiàn)u Yuli．Fast algorithm of iterative learning control ［J］．Journal of South China University of Technology，2002，30 (5):37-40．

［9］Qu Z．An iterative learning algorithm for boundary control of a stretched moving string ［J］．Automatica，2002，38(5):821-827.

［10］Xie Shengli，Tian Senping．A fast algorithm of iterative learning control based on the geometric analysis［C］.Xiamen:Proceedings of the 2002 International Conference on Control Theory and Automation，2002. 472-476.

［11］謝勝利，田森平，謝振東．基于幾何分析的迭代學習控制快速算法［J］．控制理論與應用，2003，20 (3):419-422.Xie Shengli，Tian Senping，Xie Zhendong．Fast algorithm of iterative learning control based on geometric analysis［J］．Control Theory ＆ Applications，2003，20 (3):419-422．

［12］史忠科．非線性離散系統(tǒng)的迭代學習控制方法及其應用［J］．控制理論與應用，1998，15 (3):327-332 Shi Zhongke．Iterative learning control method for nonlinear discrete-time systems ［J］．Control Theory ＆ Applications，1998，15 (3):327-332．

［13］曾南，應行仁．非線性系統(tǒng)迭代學習算法［J］．自動化學報，1992，18 (2):168-176．Zeng Nan，Ying Xingren．Iterative learning control algorithm for linear dynamical system ［J］．Acta Automatica Sinica，1992，18 (2):168-176．

［14］高衛(wèi)華，謝劍英．一般非線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)迭代學習控制研究［J］．系統(tǒng)仿真學報，2001，13 (1):73-74，109．Gao Weihua，Xie Jianying.Closed-loop iterative learning control for general nonlinear discrete system ［J］．Journal of System Simulation，2001，13 (1):73-74，109．