李煒，王艷飛

(1.蘭州理工大學(xué) 電信工程與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州730050;2.甘肅省工業(yè)過程先進(jìn)控制重點實驗室，甘肅 蘭州730050)

0 引言

隨著計算機(jī)與信息技術(shù)的迅速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(NCSs)已廣泛應(yīng)用于各個行業(yè)中，但通訊網(wǎng)絡(luò)的引入，卻導(dǎo)致了諸如時延、丟包等問題，這不僅會降低系統(tǒng)的性能，甚至?xí)蛊涫Х€(wěn)［1－2］。此外，NCSs 的規(guī)模和功能不僅更加龐大、復(fù)雜，不確定和故障誘發(fā)因素也更多，因而NCSs 對容錯能力的需求也更為迫切。

近年來NCSs 的容錯控制已取得了一些初步的成果［3－7］。但現(xiàn)存的NCSs 容錯控制結(jié)果，性能主要以完整性為主，且保守性相對較大。此外，由于被動容錯源于魯棒控制，其本身也具有較大的保守性。因而從減少結(jié)果的保守性出發(fā)研究具有一定性能的容錯控制問題，無疑對提高NCSs 容錯的可行性和滿意度具有重要意義。

目前，關(guān)于NCSs 的保性能容錯問題在國內(nèi)外研究還有限［8－9］，文獻(xiàn)［8］針對具有網(wǎng)絡(luò)時延的不確定NCSs，針對執(zhí)行器失效故障得到了使系統(tǒng)具有魯棒保性能容錯的時滯不依賴充分條件。文獻(xiàn)［9］考慮傳感器連續(xù)增益故障，以時滯依賴的方法研究NCSs 的魯棒保性能容錯控制問題。對于小時延系統(tǒng)，盡管文獻(xiàn)［9］在一定程度上減少了結(jié)果的保守性，但是對時延下界仍以0 處理，而實際工程中NCSs 的數(shù)據(jù)傳輸總會產(chǎn)生時延，因此這種不考慮時延下界信息的處理方式仍會給結(jié)果帶來保守性［10］;此外采用狀態(tài)單時延模型，較新近提出的狀態(tài)多時延模型對結(jié)果也具有更多保守性［11］。

基于此，本文針對具有參數(shù)不確定的線性NCSs，同時考慮時變時延、丟包和的影響，基于狀態(tài)多時延模型，研究了不確定NCSs 的魯棒保性能容錯控制問題。在執(zhí)行器或傳感器失效故障情形下，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov－Krasovskii 泛函，得到了保守性較小的NCSs 魯棒保性能容錯時滯依賴充分條件，并以求解具有LMIs 約束的凸優(yōu)化問題，給出了最優(yōu)容錯控制器的設(shè)計方法。由于新模型中考慮了時延下界，證明中引入了適當(dāng)?shù)淖杂蓹?quán)矩陣變量，并且未進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換，也無需進(jìn)行交叉項放大處理，因而所得結(jié)果具有較少保守性。

1 NCSs 的時延分析與系統(tǒng)描述

考慮圖1所示的不確定NCSs，假設(shè)被控對象的狀態(tài)空間模型為

式中:x(t)∈Rn為狀態(tài)向量;u(t)∈Rp是控制輸入向量=A+ΔA，=B+ΔB;A，B 為具有適當(dāng)維數(shù)的常實矩陣;ΔA 和ΔB 為具有時變特征的不確定參數(shù)矩陣，假設(shè)不確定參數(shù)矩陣范數(shù)有界，并具有如下結(jié)構(gòu):［ΔA ΔB］=GF(t)［E1E2］.其中G，E1和E2為具有適當(dāng)維數(shù)的常實矩陣;F(t)∈Ri×j為未知時變實值連續(xù)矩陣函數(shù)，其元素Lebegue 可測，且滿足F(t)TF(t)≤I，I 為適當(dāng)維數(shù)單位矩陣。

對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)作如下假設(shè):傳感器節(jié)點采用時鐘驅(qū)動，控制器節(jié)點和零階保持器節(jié)點采用事件驅(qū)動。數(shù)據(jù)采用單包傳輸，且無時序錯亂。

首先由圖1可知，采樣器到控制器的時延為τsc;控制器到零階保持器的時延為τca;若采用靜態(tài)反饋控制，整個閉環(huán)系統(tǒng)的時延為τk(τk= τsc+τca)，其中:τm≤τk≤τM，τm和τM分別為時延上、下界。

圖1 NCSs 時延模型簡化結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The distribution of the time－delay in the NCSs

若假設(shè)所有狀態(tài)向量可測量，采樣周期為常數(shù)h，并取采樣時刻為t*k，k=1，…，∞，則可得(t*k)=)=［x1(t*k)x2(t*k)… xn(t*k)］T.零階保持器的更新時刻為tk，k =1，…，∞，則狀態(tài)反饋控制器可表示為u(tk)=Kx(tk－τk)，考慮零階保持器的動態(tài)屬性，則有

式中:K 是控制增益矩陣，tk+1為tk之后下一個時刻零階保持器的更新時刻。

其次，由于網(wǎng)絡(luò)擁塞和連接中斷，不可避免地會導(dǎo)致數(shù)據(jù)包丟失。因此假設(shè)在區(qū)間［tk，tk+1)內(nèi)丟包數(shù)目為δk+1，最大丟包數(shù)目為則

由(2)式和(3)式可得

若將(4)式中的(tk－ηk)表示為

則

綜合(4)式、(5)式，則有0≤τ(t)≤κ，其中

將(5)式代入(2)式，可得同時考慮時變時延和丟包的狀態(tài)反饋控制器為

式中:τm為常時延，τ(t)為不可微的時變時延，且滿足τm≡C ＜∞，0≤τ(t)≤κ ＜∞.

將(6)式代入(1)式得不確定網(wǎng)絡(luò)化閉環(huán)控制系統(tǒng)為

注1:由于未以采樣時刻t*k作為零階保持器的更新時刻，因此不必考慮零階保持器與采樣器的不同步問題，這更便于實際系統(tǒng)的設(shè)計;其次系統(tǒng)模型中引入了時延下界τm，使時變時延τ(t)的上界減少了τm;此外時變時延的變化率未作小于等于1 和可微的限定，更符合網(wǎng)絡(luò)通訊的實際情形。

2 主要結(jié)論

2.1 引理

引理1［12］:給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q =QT，H，E則

對所有滿足FT(t)F(t)≤I 的F(t)都成立的充要條件是存在一正數(shù)ε ＞0 使得下式成立

2.2 執(zhí)行器失效故障時不確定NCSs 魯棒保性能容錯設(shè)計

考慮執(zhí)行器可能發(fā)生失效故障的情形，引入開關(guān)矩陣L，并把它放在輸入矩陣和反饋增益矩陣之間，其形式為L=diag{l1，l2，…，lp}，其中

L∈Ω，Ω 為執(zhí)行器開關(guān)矩陣L 對角元素任取0或1 的各種組合的對角陣集合(L=0 除外)，表示所有可能的執(zhí)行器失效故障模式的集合。

則不確定網(wǎng)絡(luò)化閉環(huán)故障系統(tǒng)(NCFS)為

對于系統(tǒng)(8)，定義性能指標(biāo)為

式中，N1，N2為對稱正定加權(quán)矩陣。

針對執(zhí)行器失效故障，魯棒保性能容錯控制的設(shè)計目標(biāo)是:尋求狀態(tài)反饋增益K，使得閉環(huán)系統(tǒng)(8)不僅保持魯棒漸近穩(wěn)定，且閉環(huán)性能指標(biāo)值滿足J≤J.

定理1:對于任意可能的執(zhí)行器失效故障模式L∈Ω 和可接受的參數(shù)不確定性，給定常數(shù)ε ＞0，τm，τM和，若存在正定對稱矩陣半正定對稱矩陣Q 和矩陣滿足

則狀態(tài)反饋(6)式是使不確定NCFS(8)式具有魯棒保性能的容錯控制律，控制器增益可通過K =求得，相應(yīng)的系統(tǒng)性能指標(biāo)上界為

式中:

證明:構(gòu)造Lyapunov－Krasovskii 泛函

根據(jù)Newton－Leibniz 公式，對于任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣X，Y，U，V 有θi=0 (i=1，…，4)，

式中:

沿系統(tǒng)(7)的任意軌線，V(t)對時間t 的導(dǎo)數(shù)為

式中:

由前面證明過程可知，若(13)式中的Ξ1+Ξ2+Ξ2T+Ξ3+Ξ6＜0 成立，則有

應(yīng)用Schur 補定理，(15)式等價于(16)式

式中:

再次應(yīng)用Schur 補定理，(16)式等價于(18)式

(18)式可轉(zhuǎn)化為下式

其中:Υ=［0 0 K 0］，

若用Γ 表示不含不確定性的Ξ;ΔΓ 表示含不確定性的Ξ;則有Ξ=Γ+ΔΓ，其中

其中

可得

使用引理2，可得

使用Schur 補定理，可得

定義

用J0對(22)式進(jìn)行合同變換，令便得到(23)式。

式中:

如果以上條件是可行的，則(2)式中的控制器增益矩陣

(25)式可轉(zhuǎn)化為

合并(23)式和(26)式便得到(10)式，也即

對(27)式從tk到t∈「tk，tk+1)兩邊積分，可得

由于V(t)在t∈［t0，∞)內(nèi)連續(xù)，則

在零初始條件下，若t→∞，則可得

定理證畢。

注2:定理1 中包括了有關(guān)時延屬性的最大丟包數(shù)目δ、時延下界τm、總時延上界ν 以及時變時延上界κ 等所有信息，結(jié)果是時滯依賴的。尤其是時延下界τm的引入，可減少保守性［10］。

定理1 得出的結(jié)果是一次優(yōu)魯棒保性能容錯控制器，為了求解出最小的保性能指標(biāo)上界，定理2 給出了優(yōu)化方法，進(jìn)而給出最優(yōu)魯棒保性能容錯控制器的設(shè)計方法。

定理2:對于任意可能的執(zhí)行器失效故障模式L∈Ω 和可接受的參數(shù)不確定性，給定常數(shù)ε ＞0，τm，τM和δ，若存在標(biāo)量δ ＞0，正定對稱矩陣半正定對稱矩陣和矩陣使得下面的凸優(yōu)化問題有解

則(24)式為系統(tǒng)(8)的最優(yōu)魯棒保性能容錯控制器，此時系統(tǒng)的性能指標(biāo)上界(28)式達(dá)到最小。

其中:

證明:因

假設(shè)存在標(biāo)量σ 矩陣W1，W2，W3，W4，W5，考慮到

使用Schur 補有

因此有

可得到(29)式，定理得證。

2.3 傳感器失效故障時不確定NCSs 魯棒保性能容錯設(shè)計

考慮傳感器可能發(fā)生故障的情形，引入開關(guān)矩陣F，并把它放在反饋增益矩陣和狀態(tài)之間，其形式為F =diag{f1，f2，…，fn}其中:

F∈Φ，Φ 為傳感器開關(guān)矩陣F 對角元素任取0或1 的各種組合的對角陣集合(F =0 除外)，表示所有可能的傳感器失效故障模式的集合。

則不確定網(wǎng)絡(luò)化閉環(huán)故障系統(tǒng)(NCFS)為

對于系統(tǒng)(30)，定義目標(biāo)函數(shù)同(9)式。

針對傳感器失效故障，魯棒保性能容錯控制目標(biāo)是:尋求狀態(tài)反饋增益K，使得閉環(huán)系統(tǒng)(30)不僅保持魯棒漸近穩(wěn)定，且閉環(huán)性能指標(biāo)值滿足J≤

定理3:對于任意可能的傳感器失效故障模式F∈Φ 和可接受的參數(shù)不確定性，給定常數(shù)ε ＞0，τm，τM和，若存在正定對稱矩陣半正定對稱矩陣和矩陣滿足

則狀態(tài)反饋(6)式是一使不確定NCFS(30)式具有魯棒保性能的容錯控制律，控制器增益可通過(24)式求得，相應(yīng)的系統(tǒng)性能指標(biāo)上界為

其中

定理3 的證明類似于定理1，得出的結(jié)果仍是一次優(yōu)魯棒保性能容錯控制器，其最優(yōu)魯棒保性能容錯控制器的求解方法與(29)式類似，不再贅述。

3 仿真算例

考慮具有參數(shù)不確定性的NCSs(1)［5］，其中

取系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(0)=［1 1］T.不妨假設(shè)采樣周期為h=0.1 s.

針對執(zhí)行器正常及失效故障情形，其中:L0=diag{1，1}，L1=diag{0，1}，L2=diag{1，0}分別表示執(zhí)行器正常、執(zhí)行器1，2 發(fā)生完全失效故障，引入狀態(tài)反饋控制律(6)，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為τm=0.1s，τM=0.4s 和=2，根據(jù)定理2，給定加權(quán)矩陣N1=diag{1，1}，N2=diag{1，1}，并取ε=1，利用Matlab 中的LMIs 工具箱，通過求解(10)式，可得到次優(yōu)魯棒保性能容錯控制器

通過求解(29)式，可得到最優(yōu)魯棒保性能容錯控制器

相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的最優(yōu)性能指標(biāo)為

針對傳感器正常及失效故障情形，其中:F0=diag{1，1}，F(xiàn)1=diag{0，1}，F(xiàn)2=diag{1，0}分別表示傳感器正常、傳感器1，2 發(fā)生完全失效故障。仍取ε=1，其它網(wǎng)絡(luò)參數(shù)不變，通過求解優(yōu)化問題(31)，可得到次優(yōu)魯棒保性能容錯控制器

通過求解相應(yīng)的優(yōu)化問題，可得到最優(yōu)魯棒保性能容錯控制器

相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的最優(yōu)性能指標(biāo)為

采用次優(yōu)控制器仿真，在執(zhí)行器或傳感器正常與不同故障模式下的NCSs 零輸入狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示或如圖3所示。

由仿真結(jié)果可以看出，在執(zhí)行器或傳感器發(fā)生失效故障時，NCFS 不僅穩(wěn)定，而且具有良好的性能，說明文中所述方法對于具有時變時延和丟包的NCSs 對執(zhí)行器或傳感器發(fā)生失效故障時具有魯棒保性能容錯能力。

圖2 執(zhí)行器失效故障情況下系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng)Fig.2 Zero input response of state for actuator failures

圖3 傳感器失效故障情況下系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng)Fig.3 Zero input response of state for actuator failures

為進(jìn)一步驗證本文所述方法在減少保守性的基礎(chǔ)上對性能滿意度的提高問題，針對上述被控對象，在傳感器失效故障模式下，采用文獻(xiàn)［9］的控制器設(shè)計方法，利用Matlab 中的LMIs 工具箱進(jìn)行求解，運行結(jié)果是不可行的，也即在相同的時延、丟包情況下，當(dāng)傳感器發(fā)生失效故障時，已無法求得使該系統(tǒng)具有保性能容錯能力的控制器，從而也昭示出本文所給結(jié)果具有更少保守性和較高容錯滿意度。

4 結(jié)論

本文基于狀態(tài)多時延模型，采用時滯依賴的方法，研究了具有時變時延和丟包的不確定線性NCSs的魯棒保性能容錯控制問題。在執(zhí)行器或傳感器故障情形下，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov－Krasovskii 泛函，得到了保守性較小的魯棒保性能容錯時滯依賴充分條件，并以求解LMIs 的方式，給出了最優(yōu)保性能容錯控制器的優(yōu)化設(shè)計方法。由于模型中考慮了時延下界，證明過程中引入適當(dāng)?shù)淖杂蓹?quán)矩陣變量，且未進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換和交叉項放大處理，因而使得結(jié)果具有較少保守性。仿真示例驗證了文中所述方法的有效性。

References)

［1］ Patton R J，Kambhampati C，Casavola A，et al.Fault－tolerance as a key requirement for the control of modern systems［J］.The International Federation of Automatic Control，2006，6(1):26－36.

［2］ Fang H J，Ye H，Zhong M Y.Fault diagnosis of networked control systems［J］.Annual Reviews in Control，2007，31(1):55－68.

［3］ 鄭英，方華京.不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒容錯控制［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報，2004，38(8):804－807.ZHENG Ying，F(xiàn)ANG Hua－jing.Robust fault tolerant control of networked control system with time－varying delays［J］.Journal of Xi an Jiaotong University，2004，38(8):804－ 807.(in Chinese)

［4］ 霍志紅，方華京.一類隨機(jī)時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的容錯控制研究［J］.信息與控制，2006，35(5):584－587.HUO Zhi－h(huán)ong，F(xiàn)ANG Hua－jing.Fault－tolerant control of networked control systems with random time－delays［J］.Information and Control，2006，35(5):584－587.(in Chinese)

［5］ 郭一楠，張芹英，鞏敦衛(wèi)，等.一類時變時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒容錯控制［J］.控制與決策，2008，23(6):689－692.GUO Yi－nan，ZHANG Qin－ying，GONG Dun－wei，et al.Robust fault－tolerant control of networked control systems with time－varying delays［J］.Control and Decision，2008，23(6):689－692.(in Chinese)

［6］ 黎煊，吳曉蓓，王玉龍，等.時變采樣周期網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的魯棒容錯控制器設(shè)計［J］.控制與決策，2009，24(12):1890－1894.LI Xuan，WU Xiao－bei，WANG Yu－long，et al.Robust fault－tolerant controller design ofnetworked control systems under variableperiod sampling［J］.Control and Decision，2009，24(12):1890－1894.(in Chinese)

［7］ 謝曉德，張登峰，黃鶴，等.一類不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒容錯控制［J］.信息與控制，2010，39(4):472－478.XIE Xiao－de，ZHANG Deng－feng，HUANG He，et al.Robust fault tolerant control for a class of uncertain networked control systems［J］.Information and Control，2010，39(4):472－478.(in Chinese)

［8］ 李煒，李亞潔.不確定網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的保性能魯棒容錯控制［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，2009，21(23):7544－7548.LI Wei，LI Ya－jie.Robust guaranteed cost fault tolerant control for networked control systems with uncertainty［J］.Journal of System Simulation，2009，21(23):7544－7548.(in Chinese)

［9］ 朱靈波，戴冠中，康軍，等.具有傳感器故障的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)保性能可靠控制［J］.控制與決策，2009，24(7):1050－1054.ZHU Ling－bo，DAI Guan－zhong，KANG Jun，et al.Guaranteed cost fault－tolerant control of networked control systems with sensor failure［J］.Control and Decision，2009，24(7):1050－1054.(in Chinese)

［10］ Gao H J，Chen T W，James L.A new delay system approach to network－based control［J］.Automatica，2008，44(1):39－52.

［11］ Lam J，Gao H，Wang C.Stability analysis for continuous systems with two additive time－varying delay components［J］.Systems Control Letters，2007，56(1):16－24.

［12］ Petersen I R，Hollot C V.A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems［J］.Automation，1986，22(4):397－411.

［13］ Zhao Y，Zhang C Z，Gao H J.A new approach to guaranteed cost control of T－S fuzzy dynamic systems with interval parameter uncertainties［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part B:Cybernetics，2009，39(6):1516－1527.

［14］ 吳敏，何勇.時滯系統(tǒng)魯棒控制—自由權(quán)矩陣方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2008.WU Min，HE Yong.Robust control for time－delay systems－freeweighting matrices method［M］.Beijing:Press，Sciences，2008.(in Chinese)