崔垚，李順利，計(jì)佳俊，魏廣東，雷煒

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

引言

制空權(quán)對戰(zhàn)爭的勝負(fù)起著決定性的作用，世界各國都在大力開展空空導(dǎo)彈的研究工作。超視距作戰(zhàn)將成為制空權(quán)爭奪的關(guān)鍵技術(shù)，為此各國都在爭相研制射程更遠(yuǎn)和精度更高的空空導(dǎo)彈。

中制導(dǎo)是導(dǎo)彈制導(dǎo)過程中控制時(shí)間最長的且對導(dǎo)彈射程影響最大的階段。一般來說，中制導(dǎo)在設(shè)計(jì)時(shí)要充分衡量能量耗散的問題，盡量減小能量的消耗，使導(dǎo)彈在中制導(dǎo)過程中達(dá)到盡量遠(yuǎn)距離并且在結(jié)束時(shí)能供給末制導(dǎo)盡量大的初始能量。研究表明，提高導(dǎo)彈的飛行高度能夠有效地增加射程。在初始階段，導(dǎo)彈高拋射入較高的空域，高空的大氣密度低，導(dǎo)彈所受空氣阻力減小，使得導(dǎo)彈能夠飛行更長的距離。同時(shí)，進(jìn)入末制導(dǎo)時(shí)具有一定勢能，在末端攻擊時(shí)有著一定的優(yōu)勢。

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型

為了方便研究，將導(dǎo)彈簡化為質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)模型為:

式中，(x，y，z)為導(dǎo)彈的坐標(biāo)位置;v為導(dǎo)彈的速度;θ為彈道傾角;φv為彈道偏角;ny，nz為縱向和側(cè)向過載控制量;T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;X為空氣阻力。

1.2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

現(xiàn)代戰(zhàn)斗機(jī)在規(guī)避空空導(dǎo)彈攻擊時(shí)可做出多種機(jī)動(dòng)飛行方式，本文選取四種典型機(jī)動(dòng)飛行方式:水平面勻速直線運(yùn)動(dòng)、水平面等過載等速轉(zhuǎn)彎、鉛垂面等過載爬升、等過載橫滾［1］。假設(shè)目標(biāo)最初在初始高度勻速直線飛行，當(dāng)彈目距離減少到30 km時(shí)，目標(biāo)開始機(jī)動(dòng)飛行。

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

一般空空導(dǎo)彈的初制導(dǎo)時(shí)間較短，大多數(shù)為程序角控制，使導(dǎo)彈速度矢量在一定時(shí)間內(nèi)達(dá)到中制導(dǎo)導(dǎo)引要求。

2.1 奇異攝動(dòng)中制導(dǎo)律

在中制導(dǎo)過程中，導(dǎo)彈將長時(shí)間處于巡航飛行。對此，可以將導(dǎo)彈看作是在兩種時(shí)間尺度內(nèi)工作:一種是由航向距離x、側(cè)向距離z、能量E和偏航角φv組成的慢變時(shí)間尺度系統(tǒng);一種是由高度y和彈道傾角θ組成的快變時(shí)間尺度系統(tǒng)?；诖朔治觯涂梢詰?yīng)用奇異攝動(dòng)理論求解其最優(yōu)控制問題［2］。

本文把導(dǎo)彈的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程強(qiáng)迫用雙重時(shí)間尺度系統(tǒng)代替［3］:

為了給末制導(dǎo)提供最大的初始速度，導(dǎo)彈在中制導(dǎo)階段盡量降低能量消耗。因此在推導(dǎo)過程中，取性能指標(biāo):

式中，tf為中制導(dǎo)結(jié)束時(shí)刻。

2.1.1 最小能量慢變控制器

對于式(2)，令ε=0，得到降階后的子系統(tǒng)。

根據(jù)最優(yōu)控制理論推導(dǎo)得到:

最小能量慢變控制器nz只需要載機(jī)為導(dǎo)彈提供中制導(dǎo)末端的側(cè)向位置zf便可。

2.1.2 快變控制器

快變控制器的設(shè)計(jì)就是要使導(dǎo)彈在中制導(dǎo)段初始時(shí)，快速向上大角度轉(zhuǎn)彎以最快的時(shí)間到達(dá)最優(yōu)高度轉(zhuǎn)入平飛;并且在中制導(dǎo)末段時(shí)使導(dǎo)彈下降，從而進(jìn)入可以對目標(biāo)進(jìn)行安全捕獲的區(qū)域。給中制導(dǎo)段一個(gè)光滑的彈道。應(yīng)用奇異攝動(dòng)理論求解上述問題就是一個(gè)具有兩點(diǎn)約束問題的優(yōu)化過程。

取快變時(shí)間尺度τ1=(t－t1)/ε，代替原系統(tǒng)時(shí)間變量。取ε=0，有:

全階系統(tǒng)的狀態(tài)變量可直接應(yīng)用降階后系統(tǒng)狀態(tài)變量的對應(yīng)關(guān)系，因此受到的影響是很小的，于是得到如下的具有反饋形式的全階系統(tǒng)控制器nz:

受到這個(gè)快變控制器的作用，將促使快變狀態(tài)y，θ逐漸趨近于由慢變子系統(tǒng)決定的穩(wěn)定軌跡，即y→y0，θ→θ0，達(dá)到穩(wěn)定之后，導(dǎo)彈便可轉(zhuǎn)入最優(yōu)高度上的巡航飛行。

如果導(dǎo)彈一直在最優(yōu)高度上做巡航飛行，不能滿足中、末制導(dǎo)交接班的條件，還需要在右端邊界層(即中制導(dǎo)末段)加入控制量nyb。研究線性系統(tǒng)在右邊界層ω=ωF+ωS+ωb，V=VF+VS+Vb。根據(jù)奇異攝動(dòng)相關(guān)理論可知:

式中，H=A+BK';ωb和Vb分別為系統(tǒng)在右邊界層時(shí)的狀態(tài)量和控制量;τ2=(t－tf)/ε為該狀態(tài)此階段處于右邊界層內(nèi)。由最優(yōu)控制相關(guān)理論能找到最小能量控制器:

式中，yf，vf，θf分別為導(dǎo)彈在預(yù)測的中制導(dǎo)末端時(shí)刻tf處所應(yīng)到達(dá)的高度、速度和彈道傾角?？梢姡刂七^載ny由三段組成:控制巡航段、控制爬升段和控制下滑段。

2.2 彈道形成最優(yōu)中制導(dǎo)律

彈道形成最優(yōu)中制導(dǎo)律是根據(jù)中制導(dǎo)的要求提出的，目的是使末速度最大。導(dǎo)彈在中間段的飛行過程中，火控系統(tǒng)通過雙向數(shù)據(jù)鏈可以為導(dǎo)彈定期提供目標(biāo)信息，根據(jù)目標(biāo)現(xiàn)在的速度、位置和加速度信息對目標(biāo)將來的機(jī)動(dòng)情況做出基本的預(yù)測，然后根據(jù)這個(gè)預(yù)測信息，形成彈道指令控制導(dǎo)彈朝向這個(gè)預(yù)測的攔截點(diǎn)飛行。將導(dǎo)彈送到最后的中末制導(dǎo)交接點(diǎn)上。

彈道形成最優(yōu)中制導(dǎo)律的基本形式［4］為:

式中，R為導(dǎo)彈到預(yù)測交接點(diǎn)的間距;δ為導(dǎo)彈的速度矢量v和導(dǎo)彈預(yù)定的末速度矢量之間所成的角度;ξ為速度矢量v與導(dǎo)彈到預(yù)測交接點(diǎn)G連線之間所成的角度;k3和k4分別為對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)。把式(16)分解到縱向平面和側(cè)向平面，并利用最優(yōu)控制理論尋找優(yōu)化的和以滿足末速最大的性能指標(biāo)［5］:

2.3 三維比例制導(dǎo)律

廣義比例導(dǎo)引的俯仰偏航控制方程為:

式中，ky，kz為比例導(dǎo)引系數(shù)分別為彈目視線角變化率在縱向平面和橫向平面的投影;為彈目距離變化率。

2.4 中末制導(dǎo)交接班

為了使導(dǎo)彈在中末制導(dǎo)交接班順利完成，在中末制導(dǎo)引入系數(shù)K。這樣，過載在交接點(diǎn)附近能夠平滑過渡［6］，表達(dá)式為:

式中，Rj為中末制導(dǎo)交接班距離;L為交接班過程距離。

3 仿真分析

為了考察奇異攝動(dòng)中制導(dǎo)律的增程效果，本文以導(dǎo)彈進(jìn)入中制導(dǎo)時(shí)彈目航向(x軸)初始距離為空空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能的衡量指標(biāo)(以下稱攻擊距離)。對四種不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式進(jìn)行彈道仿真，通過設(shè)置不同初始距離，利用二分法分別求得導(dǎo)彈對目標(biāo)四種機(jī)動(dòng)方式最遠(yuǎn)攻擊距離，選取四個(gè)結(jié)果中的最小值作為該制導(dǎo)模式下的最遠(yuǎn)攻擊距離。

在設(shè)計(jì)仿真程序時(shí)，首先建立腳本文件，利用Matlab語言編程設(shè)置導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始高度，并采用二分法計(jì)算目標(biāo)航向初始距離，調(diào)用Simulink建立的彈道模型解算彈道，求得所設(shè)定高度下的最遠(yuǎn)初始攻擊距離。仿真程序流程如圖1所示。

圖1 仿真程序流程圖

命中條件:(1)導(dǎo)彈飛行時(shí)間小于導(dǎo)彈設(shè)計(jì)工作時(shí)間;(2)脫靶量小于或等于導(dǎo)彈殺傷半徑。

為研究高拋彈道在提升導(dǎo)彈作戰(zhàn)效能方面的適用性，本文選取五種情況將其與常規(guī)彈道進(jìn)行仿真對比，仿真結(jié)果如圖2～圖6所示(hM為導(dǎo)彈初始高度，hT為目標(biāo)初始高度，s為攻擊距離)。

(1)導(dǎo)彈與目標(biāo)初始位置在同一高度。

圖2 彈目初始等高時(shí)攻擊距離曲線

(2)初始時(shí)刻目標(biāo)位于導(dǎo)彈上方3 km。

圖3 目標(biāo)初始在導(dǎo)彈上方時(shí)攻擊距離曲線

(3)初始時(shí)刻目標(biāo)位于導(dǎo)彈下方3 km。

圖4 目標(biāo)初始在導(dǎo)彈下方時(shí)攻擊距離曲線

(4)導(dǎo)彈初始高度10 km，目標(biāo)高度從5 km到18 km。

圖5 導(dǎo)彈初始高度10 km攻擊距離曲線

(5)目標(biāo)初始高度10 km，導(dǎo)彈高度從5 km到18 km。

圖6 目標(biāo)初始高度10 km攻擊距離曲線

由圖可知，奇異攝動(dòng)制導(dǎo)律利用空氣密度隨高度的增加而減小的性質(zhì)，找到飛行的最佳高度，使得導(dǎo)彈在進(jìn)入末制導(dǎo)時(shí)具有速度和能量上的優(yōu)勢，從而增大導(dǎo)彈的射程。高拋彈道在初始彈目高度較低的情況下優(yōu)勢明顯，隨著高度的增加，采用高拋彈道的作戰(zhàn)優(yōu)勢逐漸下降。當(dāng)初始時(shí)刻彈目之間存在高度差時(shí)，導(dǎo)彈的初始作戰(zhàn)高度和彈目相對位置不影響高拋彈道的攻擊距離，對于常規(guī)彈道來說，攻擊距離隨作戰(zhàn)高度的提升而增加。當(dāng)導(dǎo)彈初始高度一定時(shí)，兩種彈道的攻擊距離基本不隨目標(biāo)高度變化而變化，因?yàn)殡S著目標(biāo)高度增加，大氣密度變小，導(dǎo)彈所受到的空氣阻力隨之減小，飛行速度增大，彌補(bǔ)了初始高度差對攻擊距離的影響。當(dāng)目標(biāo)高度一定時(shí)，常規(guī)導(dǎo)彈的攻擊距離隨著導(dǎo)彈的初始高度大幅提升，說明導(dǎo)彈的初始飛行高度對常規(guī)導(dǎo)彈攻擊距離影響較大。而高拋彈道的攻擊距離基本不隨作戰(zhàn)高度變化，其主要影響因素是導(dǎo)彈工作時(shí)間。

4 結(jié)束語

本文針對遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈的特點(diǎn)，為達(dá)到增程的目的，提出了利用奇異攝動(dòng)方法實(shí)現(xiàn)讓導(dǎo)彈迅速爬升并在最優(yōu)高度上巡航飛行，從而形成高拋彈道，通過彈道仿真，得到了不同初始高度條件下高拋彈道的性能特點(diǎn)。結(jié)果顯示，奇異攝動(dòng)制導(dǎo)可以節(jié)省能量，增加射程，有效地提高了遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能，但隨著作戰(zhàn)高度的增加，高拋彈道的射程優(yōu)勢逐漸減小。

奇異攝動(dòng)中制導(dǎo)雖然可以有效地提高導(dǎo)彈的射程，但長時(shí)間高空飛行增加了導(dǎo)彈與載機(jī)之間數(shù)據(jù)交換的難度。同時(shí)，導(dǎo)彈長時(shí)間沒有指向目標(biāo)，這對末制導(dǎo)目標(biāo)捕獲時(shí)的敏感度提出了更高要求，需要在今后設(shè)計(jì)出更有效的中末制導(dǎo)交接班算法。

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