梁海泉，謝維達，孫家南，趙 洋

（1.同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804；2.同濟大學交通運輸工程學院，上海201804；3.同濟大學電子與信息工程學院，上海201804）

在電能存儲與回收利用領域，目前已有多種儲能器件可供選擇，如鋰離子電池、飛輪電池和超級電容器等.其中超級電容器具有功率密度大、可大電流快速充放電、使用壽命長和工作溫度范圍寬等優(yōu)異特性.這使其在電能存儲和回收［1－3］方面具有非常廣闊的應用前景.

為在實際應用系統(tǒng)中對超級電容器的動態(tài)特性有更深入的了解，并充分發(fā)揮其使用性能，需要建立一個準確的等效電路模型.目前國內(nèi)外文獻中有關(guān)超級電容器的實際應用系統(tǒng)所涉及到的模型分析多采用經(jīng)典等效電路模型［4］，該模型是一個線性時不變常系數(shù)模型.但是，筆者通過仿真發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典等效電路模型不能很好地反映超級電容器的動態(tài)特性，而且按照線性時不變常系數(shù)模型進行實際系統(tǒng)選型和分析計算的結(jié)果往往與真實需求相差較大.

本文在超級電容器等效電路模型的基礎上，引入隨時間變化的參數(shù)來模擬超級電容器工作過程中的動態(tài)特性.采用限定記憶最小二乘法對超級電容器的時變參數(shù)進行辨識，建立參數(shù)隨時間變化的函數(shù)關(guān)系，并利用實驗數(shù)據(jù)在Matlab／Simulink環(huán)境下進行仿真.最后，對經(jīng)典等效電路模型和時變等效電路模型的精度進行了分析和比較.

1 超級電容器模型

超級電容器在工作原理上與傳統(tǒng)的靜電電容器有很大區(qū)別，因此其等效電路模型不能簡單的用一個理想電容來代替，需要在深入分析其工作特性的基礎上建立能更精確反映其特性的模型.針對超級電容器建模問題，國內(nèi)外許多研究人員進行了大量的研究工作，目前從不同角度出發(fā)建立的模型主要包括電化學特性模型［5－6］、等效電路模型［7］和智能模型［8］等.其中，電化學特性模型從超級電容器的電化學原理出發(fā)，建立描述超級電容器容量與電極材料和結(jié)構(gòu)、電解液組成成分等因素之間的數(shù)學關(guān)系，該模型比較精確地刻畫出超級電容器的工作機理，但模型數(shù)學表達式非常復雜，而且其計算結(jié)果為一個靜態(tài)電容值，無法反映超級電容器的動態(tài)特性，因此不適用于實際應用場合，多用于理論分析計算；等效電路模型采用基本的電路元件（電阻、電容和電感）來模擬超級電容器的工作特性，該模型具有明確的物理意義，可以反映超級電容器工作過程時表現(xiàn)出的動態(tài)特性，因而在實際應用中使用最多；智能模型基于人工智能方法建立，該模型將超級電容器看成一個黑箱，建模時不深入分析其內(nèi)部工作原理，因此模型參數(shù)沒有直觀的物理意義，難以被工程技術(shù)人員理解.

綜合以上分析，本文選擇超級電容器的等效電路模型作為研究對象.目前最常用的等效電路模型是經(jīng)典等效電路模型，其結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.其中，ESR（equivalent serial resistance）為超級電容器的等效串聯(lián)內(nèi)阻，主要表征超級電容器內(nèi)部發(fā)熱損耗以及在工作過程中隨工作電流大小變化而產(chǎn)生的端電壓降；C為超級電容器的等效電容，表征超級電容器的儲能特性；EPR（equivalent parallel resistance）為等效并聯(lián)電阻，用來描述超級電容器的自放電現(xiàn)象，是影響超級電容器長時間儲能效果的參數(shù).通常認為自放電現(xiàn)象是指超級電容器在長時間靜置時其端電壓慢慢下降的現(xiàn)象，而在超級電容器動態(tài)工作過程中通常不考慮自放電效應，所以進行超級電容器的動態(tài)特性分析時可以略去EPR.

圖1 超級電容器經(jīng)典等效電路模型Fig.1 Classical equivalent circuit model of supercapacitor

超級電容器的經(jīng)典等效電路模型中的參數(shù)為定常參數(shù).文獻［9］指出隨著充電過程的進行，超級電容器的電容量C會隨著端電壓的變化而變化，其變化關(guān)系基本成線性關(guān)系，亦即超級電容器模型的參數(shù)值在動態(tài)過程中不是一個常數(shù)，而應該是一個隨時間變化的量.該文獻根據(jù)此關(guān)系以及超級電容器停止充電后其內(nèi)部電荷發(fā)生重新分配的物理現(xiàn)象建立了一個多RC分支的模型，該模型可以在較長時間范圍內(nèi)描述超級電容器的外特性.但該模型每一個RC分支的時間常數(shù)的確定存在隨意性，必須根據(jù)經(jīng)驗和實驗數(shù)據(jù)進行選擇，選擇不準確則模型精度會受到影響［10］.此外，其模型參數(shù)辨識過程采用電路分析方法，即通過歐姆定律和實驗數(shù)據(jù)計算等效電路模型的參數(shù).因為該方法需要在特定的實驗條件下進行而不能滿足模型在真實工況下在線辨識的要求，所以為滿足工程應用中在線監(jiān)測模型參數(shù)的要求，需要采用新的辨識方法來克服以上限制.

綜合超級電容器經(jīng)典等效電路模型和文獻［9］提出的時變特性，本文對超級電容器經(jīng)典等效電路模型進行修改，即將原模型中的定常參數(shù)擴展為時變參數(shù)，其模型結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.其中，超級電容器端電壓U是隨時間變化的量，即U＝g（t）；超級電容器等效電容與其端電壓之間存在近似線性的函數(shù)關(guān)系，即C＝f（U）.根據(jù)復合函數(shù)的原理，可知超級電容器等效電容C與時間t之間存在函數(shù)關(guān)系C＝W（t），即C是一個時變參數(shù).

圖2 超級電容器時變等效電路模型Fig.2 Time－varying equivalent circuit model of supercapacitor

2 超級電容器時變等效電路模型參數(shù)辨識

2.1 時變參數(shù)辨識算法選擇

針對定常模型的參數(shù)辨識問題，通常可以采用遞推最小二乘法予以解決.理論上，隨著時間的推移，采集到的數(shù)據(jù)越來越多，遞推的最小二乘法應給出更精確的參數(shù)估計值.但是遞推最小二乘辨識方法在實際應用中，會存在隨著辨識數(shù)據(jù)增多，算法從新數(shù)據(jù)中獲得的信息量下降，算法逐漸失去修正能力，使得參數(shù)估計值與真實值發(fā)生偏離.這種新數(shù)據(jù)所提供的信息被淹沒在老數(shù)據(jù)之中的現(xiàn)象，稱為“數(shù)據(jù)飽和”.對于時變系統(tǒng)而言，在辨識過程中必須充分利用新數(shù)據(jù)所包含的信息，因此數(shù)據(jù)飽和將導致參數(shù)估計值不能跟蹤時變參數(shù)的變化過程［11］.

針對時變參數(shù)的辨識問題，在傳統(tǒng)最小二乘法基礎上有兩種改進方法，即限定記憶法和遺忘因子法.其中，遺忘因子法是在最小二乘法的基礎上增加一個遺忘因子作為數(shù)據(jù)的權(quán)重項，隨著辨識數(shù)據(jù)的增加，老數(shù)據(jù)在遺忘因子的作用下所起的作用越來越小從而降低其在后續(xù)參數(shù)辨識中所起的作用；限定記憶法通過限制參與參數(shù)辨識的數(shù)據(jù)段來克服數(shù)據(jù)飽和，即每增加一個新的數(shù)據(jù)就自動去掉最老的一個數(shù)據(jù)，保持總的數(shù)據(jù)段長度不變.通過比較可知，限定記憶法從根本上抑制了辨識數(shù)據(jù)增多帶來的數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，從而可以更好地辨識出參數(shù)的動態(tài)變化過程［12］，因此本文采用限定記憶最小二乘法辨識超級電容器時變等效電路模型的參數(shù).

2.2 限定記憶最小二乘法原理

限定記憶的最小二乘法的基本原理為

2.3 時變等效電路模型參數(shù)辨識過程

由圖2所示，以電流I作為系統(tǒng)的輸入，以超級電容器端電壓U作為系統(tǒng)的輸出.可以得到整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：

式中：R為等效串聯(lián)內(nèi)阻；C為等效電容；U（0）為超級電容器的初始電壓；S為拉氏變換算子.需要指出的是，在推導傳遞函數(shù)的過程中，先假設模型參數(shù)為常數(shù).在參數(shù)辨識的過程中，采用時變辨識算法即可辨識出參數(shù)的變化過程.

式中：T為采樣周期；n＝1，2，3……；u為階躍響應.

進一步根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)采用雙線性變換可以的到系統(tǒng)的差分方程如下：

式中：i為流經(jīng)超級電容器的電流.

由于u（k－1）項的系數(shù)為1，因此將其移到等式的左邊，得

令

按照式（1）描述的算法并利用實驗數(shù)據(jù)即可估計出θ的值，進一步可求得R與C的估計值.

3 實驗與仿真

3.1 超級電容器等效電路模型參數(shù)辨識實驗

本實驗目的為比較超級電容器經(jīng)典等效電路模型和時變等效電路模型的精度，實驗對象為標稱電容值為單節(jié)80 000F的超級電容器，實驗環(huán)境溫度為20℃，充電電流為30A.在充電過程中應用NI公司的PXI－6133數(shù)據(jù)采集卡實時采集充電電流和超級電容器端電壓數(shù)據(jù)，采樣頻率為100Hz.充電過程中的電流和端電壓波形如圖3所示.

利用該實驗數(shù)據(jù)首先采用普通遞推最小二乘法辨識超級電容器經(jīng)典等效電路模型參數(shù)，其具體參數(shù)值為：等效串聯(lián)電阻為0.000 451 53Ω；等效電容為64 342F.

利用相同的實驗數(shù)據(jù)采用限定記憶遞推最小二乘法進行辨識.在采用限定記憶最小二乘法時，需要設定記憶長度.為比較不同記憶長度對辨識結(jié)果的影響，本文分別取記憶長度為3 000和10 000.辨識結(jié)果分別如圖4和圖5所示.

從以上參數(shù)辨識的趨勢圖可以看出，采用限定記憶最小二乘法可以辨識出時變參數(shù)的變化過程.圖中清晰地表明超級電容器等效電容的線性變化趨勢，同時等效串聯(lián)內(nèi)阻在充電過程中基本不變，因此將其當作常數(shù)處理是可行的.對比圖4，5可以看出，數(shù)據(jù)長度增加后，電容的帶狀寬度明顯減小，說明隨著數(shù)據(jù)長度的增加，可以減小噪聲對參數(shù)辨識的干擾作用.

為確定超級電容器等效電容C隨端電壓U變化的函數(shù)關(guān)系，采用Matlab自帶的曲線擬合工具cftool進行處理.曲線擬合結(jié)果如圖6所示.

進一步可得到函數(shù)關(guān)系式為

式中：U為超級電容器端電壓，初始值初始端電壓為1.121V.

3.2 超級電容器等效電路模型仿真分析

針對超級電容器的經(jīng)典等效電路模型和時變等效電路模型分別在Matlab／Simulink環(huán)境下搭建仿真電路.其中時變等效電路模型的仿真電路如圖7所示.圖中模塊1的功能即反映時變參數(shù)C隨端電壓U的變化關(guān)系，其具體的仿真圖如圖8所示.該模塊通過實時測得電容元件兩端的端電壓然后按公式（8）計算出當前電容值，并根據(jù)模塊流過的電流改變模塊的端電壓，作為計算出的理論端電壓值.

將實測的充電電流值作為仿真模型的輸入，并將經(jīng)典電路模型參數(shù)值和式（8）的曲線擬合結(jié)果輸入仿真模型，在Matlab／Simulink環(huán)境下分別對超級電容器經(jīng)典等效電路模型和時變等效電路模型進行仿真，得到兩種模型的仿真結(jié)果及對應的誤差曲線分別如圖9和圖10所示.

由上述仿真結(jié)果可以看出，經(jīng)典等效電路模型雖然能大致描述超級電容器的外特性，但是并不能很好地反映超級電容器的動態(tài)特性，其仿真最大絕對誤差為42mV，對應相對誤差為3.20%；而采用時變等效電路模型的仿真曲線幾乎與實測曲線完全重合，仿真電壓與實際電壓的最大誤差不超過12mV，對應相對誤差為0.82%.通過比較可知，采用時變等效電路模型可以更精確地描述超級電容器的動態(tài)特性，模型整體仿真精度也有極大的提高.

4 結(jié)語

本文將超級電容器經(jīng)典等效電路模型進一步推廣為時變模型.采用限定記憶最小二乘法辨識超級電容器模型的時變參數(shù)，并利用實驗數(shù)據(jù)在Matlab／Simulink中進行仿真.實驗和仿真結(jié)果表明，該模型與經(jīng)典等效電路模型相比能更精確地描述超級電容器在工作過程中的動態(tài)過程，從而在超級電容器的實際應用場合可以將更準確的信息反饋給用戶，為了解超級電容器的工作狀態(tài)提供依據(jù).

［1］ 王司博，韋統(tǒng)振，齊智平.超級電容器儲能的節(jié)能系統(tǒng)研究［J］.中國電機工程學報，2010，30（9）：105.

WANG Sibo，WEI Tongzhen，QI Zhiping.Energy saving system based on supercapacitor［J］.Proceedings of the CSEE，2010，30（9）：105.

［2］ 魯鴻毅，何奔騰.超級電容器在微型電網(wǎng)中的應用［J］.電力系統(tǒng)自動化，2009，33（2）：87.

LU Hongyi，HE Benteng.Application of the super－capacitor in a MicroGrid［J］.Automation of Electric Power Systems，2009，33（2）：87.

［3］ Abbey C，Joos G.Supercapacitor energy storage for wind energy applications［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，2007，43（3）：769.

［4］ Spyker R L，Nelms R M.Classical equivalent circuit parameters for a double－layer capacitor［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2000，36（3 I）：829.

［5］ Itagaki M，Suzuki S，Shitanda I，et al.Impedance analysis on electric double layer capacitor with transmission line model［J］.Journal of Power Sources，2007，164（1）：415.

［6］ Rafik F，Gualous H，Gallay R，et al.Frequency，thermal and voltage supercapacitor characterization and modeling［J］.Journal of Power Sources，2007，165（2）：928.

［7］ WEI Tongzhen，QI Xinchun，QI Zhiping.An improved ultracapacitor equivalent circuit model for the design of energy storage power systems［C］／／IEEE Conference on Electrical Machine and Systems.Seoul：ICEMS，2007：69－73.

［8］ Farsi H，Gobal F.Artificial neural network simulator for supercapacitor performance prediction［J］.Computational Materials Science，2007，39（3）：678.

［9］ Zubieta L，Bonert R.Characterization of double－layer capacitors for power electronics applications［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，2000，36（1）：199.

［10］ Yang W，Carletta J E，Hartley T T，et al.An ultracapacitor model derived using time－dependent current profiles［R］.Knoxville：Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc，2008.

［11］ 王志賢.最優(yōu)狀態(tài)估計與系統(tǒng)辨識［M］.西安：西北工業(yè)大學出版社，2004.

WANG Zhixian.Optimal state estimation and system identification［M］.Xi’an：Northwestern Polytechnical University Press，2004.

［12］ 方崇智，蕭德云.過程辨識［M］.北京：清華大學出版社，1988.

FANG Chongzhi，XIAO Deyun.Process identification［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1988.