王 慧， 王斌君

(中國(guó)人民公安大學(xué)信息安全工程系，北京 100038)

0 引言

隨著社會(huì)信息化的進(jìn)一步深入，網(wǎng)絡(luò)犯罪的發(fā)案率逐年急劇上升，為適應(yīng)新形勢(shì)下公安工作的需要，網(wǎng)絡(luò)安全與執(zhí)法作為一新興公安專業(yè)，旨在培養(yǎng)與計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)犯罪相關(guān)的應(yīng)用型公安高級(jí)專門(mén)技術(shù)人才，在公安機(jī)關(guān)網(wǎng)絡(luò)保衛(wèi)執(zhí)法部門(mén)及相關(guān)領(lǐng)域從事預(yù)防網(wǎng)絡(luò)犯罪、控制網(wǎng)絡(luò)犯罪和處置網(wǎng)絡(luò)犯罪的工作。堅(jiān)實(shí)的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí)、軟件開(kāi)發(fā)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)情報(bào)技術(shù)、計(jì)算機(jī)犯罪偵查取證技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)監(jiān)察技術(shù)是該專業(yè)的必須。

離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的通修課，其主要內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、集合與關(guān)系、代數(shù)結(jié)構(gòu)與布爾代數(shù)、圖論及有限推理與自動(dòng)機(jī)五部分［1］，所研究的是離散對(duì)象的數(shù)據(jù)特點(diǎn)、數(shù)據(jù)表達(dá)方式、相互關(guān)系及數(shù)學(xué)分析方法等內(nèi)容［2］。該課程具有概念多、高度抽象、各章節(jié)之間邏輯聯(lián)系緊密、推理證明過(guò)程特殊等特點(diǎn)，一直是學(xué)生比較難于理解和掌握的課程。

網(wǎng)絡(luò)安全與執(zhí)法專業(yè)雖然屬于計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)，但是與純粹計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)相比，其針對(duì)性應(yīng)用性較強(qiáng)。離散數(shù)學(xué)作為該專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，教學(xué)過(guò)程需要突出實(shí)用性，教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的選擇需體現(xiàn)專業(yè)特色，結(jié)合知識(shí)模塊及專業(yè)特點(diǎn)進(jìn)行特色教學(xué)，充分培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)自信、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)習(xí)能力、拓展應(yīng)用水平。

1 離散數(shù)學(xué)在網(wǎng)絡(luò)安全與執(zhí)法專業(yè)課程體系中的地位

離散數(shù)學(xué)是一門(mén)專業(yè)基礎(chǔ)課，但有別于高等數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科，具有明顯的專業(yè)特征，在網(wǎng)絡(luò)安全與執(zhí)法專業(yè)的整個(gè)課程體系中與后續(xù)專業(yè)課程的教學(xué)有著極其緊密的聯(lián)系，教學(xué)內(nèi)容主要包括數(shù)理邏輯、集合與關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)及圖論四部分，有限推理與自動(dòng)機(jī)理論不在大綱要求的范圍之內(nèi)，其每一部分內(nèi)容都關(guān)聯(lián)著若干專業(yè)課的教學(xué)，如圖1所示。

圖1 離散數(shù)學(xué)與專業(yè)課程間的關(guān)系

從圖1可以看出，離散數(shù)學(xué)課程具有典型的專業(yè)基礎(chǔ)特點(diǎn)，支撐著多門(mén)專業(yè)課程，學(xué)生對(duì)該課程的掌握程度直接影響著所承接專業(yè)課程的教學(xué)效果。

除此之外，離散數(shù)學(xué)又是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)手段。數(shù)理邏輯在數(shù)學(xué)建模、計(jì)算機(jī)語(yǔ)義分析中的應(yīng)用;集合與關(guān)系在粗糙集屬性約簡(jiǎn)、數(shù)據(jù)挖掘過(guò)程中的應(yīng)用;代數(shù)系統(tǒng)在信息安全密碼分析中的應(yīng)用;圖論在信息查詢與檢索、指令優(yōu)化中的應(yīng)用;都突出顯示了離散數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)工具特征。

總之，離散數(shù)學(xué)知識(shí)滲透在網(wǎng)絡(luò)與計(jì)算機(jī)相關(guān)技術(shù)的各個(gè)方面，在網(wǎng)絡(luò)安全與執(zhí)法專業(yè)的整個(gè)課程體系中占有突出重要的地位，如何提升教學(xué)效果對(duì)于該專業(yè)本科教學(xué)乃至研究生培養(yǎng)都具有突出意義。

2 離散數(shù)學(xué)的知識(shí)體系

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)安全與執(zhí)法專業(yè)的本科培養(yǎng)方案，離散數(shù)學(xué)的講授內(nèi)容具體包括命題邏輯、一階邏輯、集合論、關(guān)系與函數(shù)、代數(shù)結(jié)構(gòu)及圖論六部分，其中前一部分內(nèi)容是后一部分必要的前接，后一部分是前面內(nèi)容的進(jìn)一步擴(kuò)展，為改善離散數(shù)學(xué)課程的課堂教學(xué)效果，首先需要為學(xué)生理清知識(shí)體系內(nèi)各個(gè)模塊之間的遞進(jìn)關(guān)系，各模塊間關(guān)系如圖2所示。

圖2 教學(xué)模塊間的銜接關(guān)系圖

離散數(shù)學(xué)的知識(shí)體系邏輯性與抽象性強(qiáng)［3］，各教學(xué)模塊間層層關(guān)聯(lián)，任何一部分的學(xué)習(xí)都無(wú)法擺脫前序內(nèi)容的基礎(chǔ)性鋪墊，模塊間層層遞進(jìn)，是該課程最突出的特點(diǎn)，因此實(shí)際教學(xué)過(guò)程中講述清楚該課程的知識(shí)體系及各教學(xué)模塊的特點(diǎn)有利于學(xué)生對(duì)該課程的理解及掌握。

3 教學(xué)模式改革

在了解離散數(shù)學(xué)的專業(yè)地位及知識(shí)體系特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，教學(xué)過(guò)程中需要向?qū)W生充分強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)該課程的必要性，同時(shí)結(jié)合各教學(xué)模塊的特點(diǎn)進(jìn)行特色教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理判斷能力及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，同時(shí)結(jié)合教學(xué)案例及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。主要從以下幾方面結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)模式的改革。

1)引入案例教學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

在整個(gè)知識(shí)體系中，數(shù)理邏輯、關(guān)系、圖論教學(xué)模塊中相關(guān)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用性較強(qiáng)，因此在學(xué)生了解并掌握一定基礎(chǔ)知識(shí)之后，適當(dāng)引入趣味性較強(qiáng)的案例展開(kāi)討論，既可對(duì)知識(shí)點(diǎn)、計(jì)算方法進(jìn)行擴(kuò)展，又可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)、方法的理解。

如在命題邏輯中，主范式的求取及判定是等價(jià)式的證明、推理有效性證明的方法之一。熟練掌握范式的概念及計(jì)算過(guò)程有助于推理過(guò)程、等價(jià)關(guān)系的算法設(shè)計(jì)。授課過(guò)程中可以通過(guò)下述案例滲透范式的相關(guān)知識(shí)，也可以通過(guò)該例題引入范式的概念，培養(yǎng)學(xué)生探索知識(shí)的興趣。

例:在某個(gè)案件審理過(guò)程中存在四個(gè)犯罪嫌疑人，分別為甲、乙、丙、丁，針對(duì)某一既定事實(shí)，四人只是分別作如下簡(jiǎn)單回答:甲說(shuō):“不是我”，乙說(shuō):“是丁”，丙說(shuō):“是乙”，丁說(shuō):“不是我”，通過(guò)排查確知四人回答只有一人符合實(shí)際，問(wèn)可能的嫌疑人是誰(shuí)?

可以通過(guò)如下方式進(jìn)行推論:

第一步:假設(shè)階段，設(shè)P:事件甲參與，Q:事件乙參與，R:事件丙參與，S:事件丁參與

第二步:依據(jù)四人回答只有一人符合實(shí)際的情況，列出如下公式:

第三步:求上式的主析取范式得出可能情況的組合，主析取范式為:

第四步:對(duì)上式進(jìn)行分析，得出結(jié)論。

最可能的犯罪組合只能是:甲、丙、丁或甲、丁或甲、丙，若只有一人參與事件，則參與人是甲。針對(duì)上述分析，可以確認(rèn)重點(diǎn)人物是甲。

上述例題也可以進(jìn)一步擴(kuò)展到范式求取的算法設(shè)計(jì)，以強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型與軟件設(shè)計(jì)間的關(guān)系。

在其他模塊的講授中也可以有針對(duì)性設(shè)計(jì)應(yīng)用型案例輔助教學(xué)，如命題邏輯基礎(chǔ)知識(shí)可以進(jìn)行硬件電路設(shè)計(jì)，關(guān)系模塊中偏序關(guān)系可以設(shè)計(jì)涉案證據(jù)鏈的梳理，圖論中圖的著色問(wèn)題可以設(shè)計(jì)涉案地點(diǎn)的串并分析等。

總之，案例教學(xué)的引入既有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，又有助于實(shí)際問(wèn)題的客觀抽象形成數(shù)學(xué)模型以及依據(jù)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)軟件解決問(wèn)題的學(xué)術(shù)思維習(xí)慣的培養(yǎng)。

2)注重習(xí)題討論，鼓勵(lì)一題多解

離散數(shù)學(xué)既是計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，又是一門(mén)數(shù)學(xué)課程，具有典型的數(shù)學(xué)特色，習(xí)題講授是整個(gè)教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。就教學(xué)而言，知識(shí)點(diǎn)高級(jí)應(yīng)用在于實(shí)際問(wèn)題的綜合處理，習(xí)題僅僅是知識(shí)點(diǎn)的初級(jí)應(yīng)用，但習(xí)題卻是重要的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，通過(guò)習(xí)題課的縱向串聯(lián)，可以加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握，同時(shí)習(xí)題課中可以鼓勵(lì)學(xué)生參與討論，從不同側(cè)面提出解題方案，進(jìn)一步理解知識(shí)的精髓。

離散數(shù)學(xué)授課內(nèi)容中最典型的一題多解實(shí)例是命題邏輯中推理有效的證明，其證明過(guò)程可以通過(guò)真值表、等值演算、主范式、蘊(yùn)涵式的證明、自然推理系統(tǒng)中的構(gòu)造法及歸謬法、歸結(jié)推理等手段進(jìn)行，一個(gè)典型例題的講述可以將命題邏輯中80%的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧性縱向分析。因此在習(xí)題課上適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度不同層次進(jìn)行討論分析，使學(xué)生在討論中發(fā)現(xiàn)不同方法在不同類(lèi)型問(wèn)題解決過(guò)程中的優(yōu)劣所在，將有助于學(xué)生自身知識(shí)體系的形成。其他知識(shí)點(diǎn)的講授過(guò)程中適當(dāng)增加針對(duì)性習(xí)題討論也同樣會(huì)取得事半功倍的效果。

3)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，強(qiáng)化動(dòng)手能力

離散數(shù)學(xué)是一門(mén)高度抽象、高度概括、邏輯理論性強(qiáng)的課程，學(xué)生通常都難以理解。若在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)引入部分實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，既可以進(jìn)行基本理論的具體驗(yàn)證，又可以為專業(yè)課的教學(xué)打下基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力及創(chuàng)新能力［4］。

表1 輔助實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

結(jié)合網(wǎng)絡(luò)安全與執(zhí)法專業(yè)的培養(yǎng)方向，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容中的知識(shí)點(diǎn)可以設(shè)計(jì)不同的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，具體實(shí)驗(yàn)開(kāi)發(fā)平臺(tái)可以使用學(xué)生容易掌握的Matlab或C語(yǔ)言，實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目也可以通過(guò)大作業(yè)的形式在課下通過(guò)分組討論合作完成。部分實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)內(nèi)容如表1所示。

實(shí)驗(yàn)教學(xué)的引入可以避免學(xué)生將離散數(shù)學(xué)課程作為一門(mén)純粹的數(shù)學(xué)課對(duì)待，適當(dāng)?shù)某绦蛟O(shè)計(jì)可以使學(xué)生將抽象的知識(shí)具體化，有利于教學(xué)內(nèi)容的深入掌握。

4)滲透前沿算法，拓展知識(shí)結(jié)構(gòu)

目前，許多算法都與離散數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)相關(guān)，如粗糙集屬性約簡(jiǎn)理論的基礎(chǔ)是不可區(qū)分關(guān)系，而不可區(qū)分關(guān)系本身就是等價(jià)關(guān)系，經(jīng)典的基于正區(qū)域的屬性約簡(jiǎn)過(guò)程在等價(jià)劃分構(gòu)造的基礎(chǔ)上進(jìn)行;凱撒密碼的本質(zhì)即群理論;歐拉定理及費(fèi)馬小定理是RSA密碼體系的數(shù)學(xué)基礎(chǔ);群優(yōu)化算法中蟻群算法的基本模型即采用組合優(yōu)化算法解決圖論中漢密爾頓回路問(wèn)題;概念格是偏序關(guān)系與格結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)，其上的關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法簡(jiǎn)單直觀。在教學(xué)過(guò)程將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)延伸，可以擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，了解網(wǎng)絡(luò)及計(jì)算機(jī)整個(gè)學(xué)科建設(shè)的前沿，堅(jiān)定對(duì)專業(yè)學(xué)習(xí)的信心。

4 結(jié)論

網(wǎng)絡(luò)安全與執(zhí)法專業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)既要突出其作為專業(yè)基礎(chǔ)課的專業(yè)特點(diǎn)，又要側(cè)重于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，適當(dāng)弱化基礎(chǔ)性原理與定理的證明，結(jié)合專業(yè)特色整合教學(xué)內(nèi)容，輔之以實(shí)驗(yàn)及各種交互教學(xué)模式，可以有效提高學(xué)生的邏輯思維判斷能力及分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)于該專業(yè)整個(gè)課程體系的建設(shè)具有重要意義。

［1］左孝凌．離散數(shù)學(xué)的形成、發(fā)展及其在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的作用與地位［J］．自然雜志．1984，7(6):414－417．

［2］耿素云，曲婉玲．離散數(shù)學(xué)［M］．北京:高等教育出版社，2010．

［3］王霞，顧勛梅，潘祝山．離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革與課程建設(shè)研究［J］．計(jì)算機(jī)教育，2011(6):8－10．

［4］譚作文．離散數(shù)學(xué)課程中實(shí)驗(yàn)教學(xué)探討［J］．計(jì)算機(jī)教育，2010(17):106－109．