朱堅民， 黃之文， 翟東婷， 王 軍

（上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院，上海 200093）

傳統(tǒng)PID控制算法簡單、魯棒性好、可靠性高，廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制中，尤其適用于可進行精確數(shù)學(xué)建模的控制系統(tǒng).但在實際工業(yè)控制系統(tǒng)中，某些被控對象存在著不同程度的非線性、大慣性、時變和時間滯后，對于這類被控對象，PID控制不能取得很好的控制效果［1－5］.

灰色預(yù)測能根據(jù)少量系統(tǒng)信息預(yù)測系統(tǒng)未來行為，不需要掌握被控對象模型結(jié)構(gòu)的先驗信息和控制經(jīng)驗數(shù)據(jù)，可以實時超前修正控制量，具有很強的自適應(yīng)性能.將灰色預(yù)測理論和傳統(tǒng)PID控制相結(jié)合，可構(gòu)成灰色預(yù)測PID控制系統(tǒng).在灰色預(yù)測PID控制研究領(lǐng)域，文獻［6］提出了一種將傳統(tǒng)反饋控制方法和灰色預(yù)測控制相結(jié)合的新型自調(diào)節(jié)灰色預(yù)測控制器，以此保證控制系統(tǒng)的適應(yīng)性，獲得了更為優(yōu)良的系統(tǒng)動態(tài)性能和魯棒性.文獻［7］將二次型性能指標(biāo)引入到PID控制器的整定過程中，并按照性能指標(biāo)的負梯度方向修改加權(quán)系數(shù)，實現(xiàn)了自適應(yīng)PID的最優(yōu)控制律，同時將自適應(yīng)PID與灰色預(yù)測器相結(jié)合，顯著增強了時變滯后系統(tǒng)的適應(yīng)性和魯棒性.文獻［8］將提高原始數(shù)據(jù)序列的光滑性和改變系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的初始條件兩者相結(jié)合的方法對灰色預(yù)測模型進行了改進，以此提高灰色預(yù)測控制系統(tǒng)的控制精度.文獻［9］提出了灰色預(yù)測變參數(shù)PID控制，利用迭代學(xué)習(xí)控制的學(xué)習(xí)能力來增加控制算法對于周期運動系統(tǒng)的控制精度，使系統(tǒng)的控制性能得到了較明顯的改善.文獻［10］提出了基于優(yōu)化背景值和改進初始條件的GM（1，1）模型作為灰色預(yù)測模型的自適應(yīng)PID控制算法，實現(xiàn)了自適應(yīng)PID的最優(yōu)控制，使控制系統(tǒng)獲得了良好的控制性能.

對于具有較大慣性的被控對象或采樣周期和控制周期較小的灰色預(yù)測PID控制系統(tǒng)，由于在短時間內(nèi)控制系統(tǒng)的行為數(shù)據(jù)變化緩慢，基于采樣數(shù)據(jù)直接建模并進行灰色預(yù)測的精度不高，灰色預(yù)測PID控制系統(tǒng)不能獲得理想的控制效果.針對這個問題，本文提出將強化緩沖算子引入灰色預(yù)測PID控制系統(tǒng)，通過對控制系統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)的強化緩沖算子作用，提高系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)的變化速率，使灰色預(yù)測模型具有更高的預(yù)測精度，有效地改善了灰色預(yù)測PID控制的效果.

1 控制系統(tǒng)基本原理

常規(guī)的灰色預(yù)測PID控制系統(tǒng)方框圖如圖1所示，它是將灰色預(yù)測和傳統(tǒng)的PID控制相結(jié)合，在反饋回路中添加了一個灰色預(yù)測器.該預(yù)測器是以灰色系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，通過灰色預(yù)測建模預(yù)測控制系統(tǒng)未來的行為趨勢，并將其作為控制系統(tǒng)的反饋信號.

圖1 常規(guī)灰色預(yù)測PID控制系統(tǒng)方框圖Fig.1 Block diagram of conventional grey prediction PID control system

在圖1中，r為期望輸出，e為系統(tǒng)誤差，u為控制器輸出.反饋回路中的灰色預(yù)測器以灰色系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，利用當(dāng)前k時刻之前的n－1個連續(xù)的控制系統(tǒng)輸出采樣數(shù)據(jù)由灰色預(yù)測算法求出k＋M時刻的預(yù)測值并用預(yù)測誤差取代經(jīng)典PID控制系統(tǒng)的誤差，進行PID控制的運算.由于利用了誤差的預(yù)測值進行控制，所以，這種預(yù)測控制可以看作是一種“事先調(diào)節(jié)”，可用于被控對象具有滯后、時變和不確定等特性的實時控制系統(tǒng).

為了保證對控制系統(tǒng)未來趨勢的預(yù)測具有較高的靈敏度，預(yù)測器的維數(shù)一般不能太大.對于實時控制系統(tǒng)來說，預(yù)測器的最佳維數(shù)為6.對于系統(tǒng)慣性較大或采樣周期和控制周期較小的實時控制系統(tǒng)，由于短時間內(nèi)采樣值的變化不大，導(dǎo)致灰色預(yù)測器的建模及其預(yù)測精度不高.針對這個問題，本文將強化緩沖算子引入控制系統(tǒng)的行為預(yù)測，提出了基于強化緩沖算子和GM（1，1）等維新息模型的灰色預(yù)測PID控制新方法，控制系統(tǒng)方框圖如圖2所示.

圖2 基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制系統(tǒng)方框圖Fig.2 Block diagram of grey prediction PID control system based on strengthening buffer operator

在圖2中，系統(tǒng)的行為數(shù)據(jù)序列y經(jīng)二階強化緩沖算子的作用后得到其二階強化緩沖序列yD2，D為強化緩沖算子，由此建立GM（1，1）模型，獲得控制系統(tǒng)的預(yù)測值，計算預(yù)測誤差再進行PID控制的運算和實時控制.

2 強化緩沖算子的構(gòu)造

劉思峰等提出了緩沖算子的概念，并構(gòu)造出一系列強化緩沖算子［11－16］，主要可分為兩類：平均強化緩沖算子（ASBO）和加權(quán)平均強化緩沖算子（WASBO）.平均強化緩沖算子雖然可以強化系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，但它是基于系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列整體數(shù)據(jù)的平均作用，沒有考慮到系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列與各時點的關(guān)系，不能精確地反映序列中各數(shù)據(jù)的重要程度.加權(quán)平均強化緩沖算子可以根據(jù)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列與各時點的關(guān)系，賦予數(shù)據(jù)序列中各數(shù)據(jù)信息不同的權(quán)值，更好地反映序列的實時性，進一步提高系統(tǒng)的預(yù)測精度.對于實時控制系統(tǒng)，越接近預(yù)測點的采樣數(shù)據(jù)對控制系統(tǒng)性能的影響越大，應(yīng)賦予較大的權(quán)值；越遠離預(yù)測點的采樣數(shù)據(jù)對控制系統(tǒng)性能的影響越小，應(yīng)賦予較小的權(quán)值.基于以上要求，本文采用加權(quán)平均強化緩沖算子來強化控制系統(tǒng)的實時采樣數(shù)據(jù)序列，提高預(yù)測控制的精度.

定理 設(shè)X＝（x（1），x（2），…，x（n））為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，第k時刻的權(quán)值為wk，k＝1，2，…，n.n為序列的維數(shù)，則各時點的權(quán)重向量為

則

其中

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D皆為強化緩沖算子.

推論 對于定理中定義的強化算子D，令

其中

則D2對于單調(diào)增長序列和單調(diào)衰減序列皆為二階強化緩沖算子.

從以上定義可知，單調(diào)增長序列在強化緩沖算子作用下數(shù)據(jù)萎縮.由于在緩沖算子作用時，必須要滿足不動點定理，即x（n）d＝x（n），x（n）d2＝x（n），所以，強化緩沖算子作用序列的增長速度比原始數(shù)據(jù)序列的增長速度加快.同理，單調(diào)衰減序列在強化緩沖算子作用下數(shù)據(jù)膨脹，強化緩沖算子作用序列的衰減速度比原始數(shù)據(jù)序列的衰減速度加快.因此，當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列增長（衰減）速度過慢時，利用所構(gòu)造的強化緩沖算子對原始數(shù)據(jù)序列進行作用，可使數(shù)據(jù)序列變得陡峭.因而強化緩沖算子適合于數(shù)據(jù)序列增長（衰減）速度過慢的情形，且強化算子的構(gòu)造符合“新息優(yōu)先”的原則，即最新的信息在強化緩沖算子作用下保持不變.

3 GM（1，1）等維新息預(yù)測模型

灰色系統(tǒng)理論的微分方程模型稱為GM（grey model）模型.GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)理論中的一種預(yù)測模型，表示一階一個變量的微分方程模型，它將隨機過程看作與時間有關(guān)的灰色過程，通過對原始數(shù)據(jù)作累加處理，整理成規(guī)律性較強的生成數(shù)列進行研究.

對數(shù)據(jù)列

作一次累加（1－AGO）生成數(shù)據(jù)列為

其中

由數(shù)據(jù)列x（1）建立GM（1，1）模型

白化形式的微分方程的解為

利用式（15）可直接進行預(yù)測.

關(guān)于等維新息模型的維數(shù)，有一個最佳維數(shù)區(qū)域，其維數(shù)并非愈大愈好.一方面，由于灰色模型是基于現(xiàn)有信息來實現(xiàn)對未來的預(yù)測，一定數(shù)量的已知數(shù)據(jù)序列對于成功建模是必需的；另一方面，隨著采樣數(shù)據(jù)的積累，先期的種種外界條件對現(xiàn)時輸出的影響越來越小，剔除當(dāng)前點某一鄰域之外過于陳舊的信息，不僅可以突出最新的變化趨勢，而且可以消除預(yù)測模型的噪聲污染.于是，在此兩者之間必然存在著某一適當(dāng)范圍，此范圍即為等維新息模型的最佳維數(shù)區(qū).最佳維數(shù)區(qū)與所研究問題的性質(zhì)和數(shù)據(jù)序列的特點有關(guān)，可通過數(shù)值試驗來確定.對比實時控制系統(tǒng)的要求，仿真研究表明，預(yù)測器的維數(shù)取6較為合適［17］.

4 控制系統(tǒng)仿真實例

為了驗證本文所提出的控制方法的有效性，分別對一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)、三階系統(tǒng)的被控對象的單位階躍響應(yīng)進行了仿真研究.仿真之前，必須先確定式（1）所示的各采樣點的權(quán)重向量.根據(jù)灰色等維新息預(yù)測理論，用過去和當(dāng)前的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)所構(gòu)成的序列預(yù)測未知的系統(tǒng)行為趨勢時，越舊的信息對系統(tǒng)行為預(yù)測的影響應(yīng)越弱，越新的信息對系統(tǒng)行為預(yù)測的影響應(yīng)越顯著.基于這些要求，本文提出了一種權(quán)重系數(shù)的構(gòu)造方法，具體構(gòu)造過程如下：

設(shè)初始權(quán)重序列為

令

將u＝（u1，u2，…，un）中的各元素u1，u2，…，un按從小到大的順序排列，得到

為了提高權(quán)重的作用效率，用常數(shù)K乘以各權(quán)值vi得到

式（17）中p值的取值范圍為p∈（0，1），p的具體取值對控制結(jié)果的影響不大.在本文的實時控制系統(tǒng)仿真中，取p＝0.5，預(yù)測建模的維數(shù)n＝6，并令式（19）中的K＝5，得到6個采樣點的權(quán)重序列為

4.1 一階系統(tǒng)的單位階躍控制響應(yīng)

設(shè)被控對象為一階純滯后系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為

分別采用經(jīng)典PID控制、傳統(tǒng)灰色預(yù)測PID控制、基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制，研究其單位階躍響應(yīng).圖3為一階控制系統(tǒng)仿真程序.圖3中WASBO為加權(quán)平均強化緩沖算子，GM（1，1）為6維等維新息灰色預(yù)測模型.

仿真結(jié)果如圖4所示，t為時間.圖4中直線1為期望輸出，曲線2為經(jīng)典PID控制的結(jié)果，曲線3為常規(guī)灰色預(yù)測PID控制的結(jié)果，曲線4為基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制的結(jié)果.仿真中的采樣時間為1s，預(yù)測步長M＝1.3種控制器的PID控制參數(shù)均相同，kP＝0.01，kI＝0.05，kD＝15.

4.2 二階系統(tǒng)的單位階躍控制響應(yīng)

設(shè)被控對象為二階純滯后系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為

分別采用經(jīng)典PID控制、傳統(tǒng)灰色預(yù)測PID控制、基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制，研究其單位階躍響應(yīng)，仿真結(jié)果如圖5所示.圖5中的直線1為期望輸出，曲線2為經(jīng)典PID控制的結(jié)果，曲線3為常規(guī)灰色預(yù)測PID控制的結(jié)果，曲線4為基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制的結(jié)果.仿真中的采樣時間為1s，預(yù)測步長M＝1.3種控制器的PID控制參數(shù)均相同，kP＝0.1，kI＝0.06，kD＝10.

圖3 控制系統(tǒng)仿真程序Fig.3 Control system simulation program

4.3 三階系統(tǒng)的單位階躍控制響應(yīng)

設(shè)被控對象為三階純滯后系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為

圖4 一階系統(tǒng)的單位階躍控制響應(yīng)Fig.4 Unit step response of first－order control system

圖5 二階系統(tǒng)的單位階躍控制響應(yīng)Fig.5 Unit step response of second－order control system

分別采用經(jīng)典PID控制、傳統(tǒng)灰色預(yù)測PID控制、基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制，研究其單位階躍響應(yīng)，仿真結(jié)果如圖6所示.圖6中的直線1為期望輸出，曲線2為經(jīng)典PID控制的結(jié)果，曲線3為常規(guī)灰色預(yù)測PID控制的結(jié)果，曲線4為基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制的結(jié)果.仿真中的采樣時間為1s，預(yù)測步長M＝1.3種控制器的PID控制參數(shù)均相同，kP＝0.08，kI＝0.003 6，kD＝1.

圖6 三階系統(tǒng)的單位階躍控制響應(yīng)Fig.6 Unit step response of three－order control system

從上面3個仿真實例可看出，在相同的PID控制器參數(shù)下，3種控制方法的穩(wěn)態(tài)精度沒有明顯的區(qū)別.但在動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)方面，基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制響應(yīng)的超調(diào)優(yōu)于經(jīng)典PID控制響應(yīng)超調(diào)的50%左右，優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色預(yù)測PID控制響應(yīng)超調(diào)的20%以上，且基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制的階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間在3種控制方法中最短，獲得了較好的動態(tài)精度.因此，本文提出的基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制的控制精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色預(yù)測PID控制和經(jīng)典的PID控制.

5 結(jié) 論

a.提出了一種基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制新方法.該方法先對控制系統(tǒng)的行為數(shù)據(jù)序列進行強化緩沖算子作用，再對強化緩沖作用序列進行灰色建模預(yù)測，實現(xiàn)了基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制.

b.仿真結(jié)果表明，在相同的PID控制參數(shù)下，基于強化緩沖算子的灰色預(yù)測PID控制方法的控制精度明顯優(yōu)于常規(guī)的灰色預(yù)測PID控制和經(jīng)典PID控制，獲得了理想的控制效果.

c.本文提出的控制方法是可行的、有效的，該方法特別適用于具有較大慣性的被控對象及采樣周期較小的控制系統(tǒng).與常規(guī)灰色預(yù)測PID相比，控制方法簡單，易于實現(xiàn)，控制算法具有較好的實時性.

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