梁家豪，唐予軍，王霞

(河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，河北 保定 071002)

在許多工程應(yīng)用中，控制系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一些延遲現(xiàn)象，例如網(wǎng)絡(luò)控制[1-2]、數(shù)據(jù)傳輸[3]、無(wú)線通信[4]等，這些延遲現(xiàn)象會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其性能產(chǎn)生不利的影響，因此，引起了學(xué)者們研究延遲系統(tǒng)的興趣.在過(guò)去的幾十年中，學(xué)者們對(duì)延遲系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究[5].

在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，延遲系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及鎮(zhèn)定的方法主要包括基于Lyapunov-Krasovskii泛函的方法[6]和設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)反饋控制器的方法.文獻(xiàn)[7]研究了具有輸入延遲的連續(xù)互聯(lián)系統(tǒng)基于預(yù)測(cè)變量的鎮(zhèn)定問(wèn)題.文獻(xiàn)[8]通過(guò)預(yù)測(cè)變量鏈研究了同時(shí)具有狀態(tài)輸入定常延遲和輸出延遲的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.該方法與線性矩陣不等式有很大的關(guān)聯(lián)，所以在系統(tǒng)反饋控制器的設(shè)計(jì)中經(jīng)常使用，而這種方法的基本思想是找到一個(gè)正定函數(shù)，使其沿延遲系統(tǒng)軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的.利用這種方法進(jìn)行鎮(zhèn)定、跟蹤等控制器設(shè)計(jì)能夠確保狀態(tài)或誤差收斂，但難以分析和描述整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的收斂動(dòng)態(tài)，即使是線性被控系統(tǒng)，也難以用閉環(huán)特征根位置分析系統(tǒng)的收斂特性.在實(shí)際應(yīng)用中，穩(wěn)定是最基本的要求，工程師們關(guān)注更多的是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài).文獻(xiàn)[9]通過(guò)構(gòu)造多分布輸入延遲下的預(yù)測(cè)反饋控制，從而使閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.文獻(xiàn)[10]提出一種稱為嵌套預(yù)估器反饋的新方法，用來(lái)研究長(zhǎng)輸入延遲補(bǔ)償問(wèn)題.當(dāng)延遲時(shí)間為時(shí)變的且系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)時(shí)，預(yù)測(cè)器的方法依然有效.文獻(xiàn)[11]為一種時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)了改進(jìn)無(wú)模型自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制器，使延遲系統(tǒng)穩(wěn)定.文獻(xiàn)[12]研究了一種高能隨機(jī)非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換下所有信號(hào)有界.當(dāng)預(yù)測(cè)器提供的預(yù)測(cè)狀態(tài)與系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)一致時(shí)，利用預(yù)測(cè)狀態(tài)進(jìn)行控制相當(dāng)于去掉了控制通道中的延遲，從而使常規(guī)設(shè)計(jì)方法得以應(yīng)用，只是用開(kāi)環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)的預(yù)測(cè)，會(huì)產(chǎn)生關(guān)于輸入的積分項(xiàng)，而輸入的積分項(xiàng)只能通過(guò)數(shù)值分析的方法進(jìn)行求解，故所設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)器便不易于實(shí)現(xiàn).為了避免預(yù)測(cè)器中輸入積分項(xiàng)的影響，文獻(xiàn)[13]提出偽預(yù)測(cè)反饋(pseudo predictor feedback,PPF)控制，用于解決單輸入延遲系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題.傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)器反饋控制使用開(kāi)環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)，與傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)器不同，而PPF使用的是閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)，這樣得到的控制器避免了預(yù)測(cè)器中輸入積分項(xiàng)的影響，更加容易實(shí)現(xiàn).文獻(xiàn)[14]中的PPF還可用于具有多個(gè)分布式輸入的延遲系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)[13,15].但是在最初的延遲時(shí)間段內(nèi)，由于控制作用還未對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生影響，偽預(yù)測(cè)器給出的預(yù)測(cè)狀態(tài)并非系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)，這會(huì)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的初始部分造成不可預(yù)測(cè)的影響.

本文提出一種切換偽預(yù)測(cè)器，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造預(yù)測(cè)反饋控制器，用于鎮(zhèn)定具有輸入延遲的系統(tǒng).以延遲時(shí)間為界將原系統(tǒng)分為開(kāi)環(huán)和閉環(huán)2個(gè)子系統(tǒng)，再利用相應(yīng)子系統(tǒng)的解，分別構(gòu)造延遲系統(tǒng)的子偽預(yù)測(cè)器，使子偽預(yù)測(cè)器按照延遲時(shí)間切換，從而精準(zhǔn)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài).切換偽預(yù)測(cè)器中同樣不存在輸入的積分項(xiàng)易于實(shí)現(xiàn).利用切換偽預(yù)測(cè)器為延遲系統(tǒng)構(gòu)造鎮(zhèn)定控制器，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.仿真表明，切換偽預(yù)測(cè)控制器能夠準(zhǔn)確預(yù)估系統(tǒng)狀態(tài)，同時(shí)，利用預(yù)估狀態(tài)構(gòu)造的鎮(zhèn)定控制器能夠使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

1 問(wèn)題描述

考慮以下帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)

(1)

其中,f(x,u)為可積函數(shù)，x為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)為系統(tǒng)輸入，h為已知延遲時(shí)間.

假設(shè)1對(duì)于無(wú)輸入延遲的非線性系統(tǒng)

(2)

可以設(shè)計(jì)出狀態(tài)反饋控制器

u(t)=α(x),

(3)

使閉環(huán)系統(tǒng)

(4)

穩(wěn)定.

為了消除系統(tǒng)(1)中輸入延遲的影響，要用系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)ξ(t)=x(t+h)取代式(3)中的x(t).傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)器依據(jù)系統(tǒng)(1)預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)

(5)

根據(jù)控制器(3)可以得到系統(tǒng)(1)的控制器

u(t)=α(ξ).

(6)

由于式(5)中含有u(t)的積分項(xiàng)，需要使用數(shù)值分析法計(jì)算，不易于實(shí)現(xiàn).故可以使用式(4)設(shè)計(jì)如式(7)偽預(yù)測(cè)器以消除u(t)的積分項(xiàng)，使預(yù)測(cè)器易于實(shí)現(xiàn).

(7)

但是在最初的延遲時(shí)間段內(nèi)，由于延遲的存在使控制信號(hào)不能對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生影響，這就會(huì)使偽預(yù)測(cè)器無(wú)法預(yù)測(cè)出系統(tǒng)初始部分的狀態(tài).設(shè)計(jì)切換偽預(yù)測(cè)器，使其可以精準(zhǔn)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài).

2 切換偽預(yù)測(cè)器

2.1 非線性系統(tǒng)切換偽預(yù)測(cè)器

以延遲時(shí)間為界，將系統(tǒng)分為2個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)以下切換偽預(yù)測(cè)器.

當(dāng)t

(8)

則系統(tǒng)(8)的解為

(9)

將t作為t0，h作為t可以得出

(10)

式(4)的解為

(11)

則可得偽預(yù)測(cè)器為

(12)

當(dāng)t≥h時(shí)，控制信號(hào)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生作用，則用式(4)預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)，式(4)的解為

(13)

得到偽預(yù)測(cè)器

(14)

綜上，得到帶延遲的非線性系統(tǒng)的切換偽預(yù)測(cè)器為

(15)

2.2 線性系統(tǒng)切換偽預(yù)測(cè)器

將帶延遲的非線性系統(tǒng)的偽預(yù)測(cè)器具體到帶延遲的線性系統(tǒng)中，并且進(jìn)一步給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.

考慮以下帶輸入延遲的線性系統(tǒng)

(16)

其中,x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)為系統(tǒng)輸入，A∈Rn×n,B∈Rn×m為已知系數(shù)矩陣，h為已知延遲時(shí)間.

同理非線性系統(tǒng)，以延遲時(shí)間為界將系統(tǒng)分為2個(gè)子系統(tǒng).

當(dāng)t

ξ(t)=x(t+h)=e(A+BK)teA(h-t)x(t).

(17)

根據(jù)式(17)設(shè)計(jì)系統(tǒng)反饋控制器

u(t)=Kξ(t)=Ke(A+BK)teA(h-t)x(t).

(18)

將式(18)代入式(16)中得到閉環(huán)系統(tǒng)

(19)

當(dāng)t≥h時(shí)，使用無(wú)延遲閉環(huán)系統(tǒng)可以得到偽預(yù)測(cè)器為

ξ(t)=x(t+h)=e(A+BK)hx(t).

(20)

根據(jù)式(20)設(shè)計(jì)系統(tǒng)反饋控制器為

u(t)=Kξ(t)=Ke(A+BK)hx(t).

(21)

將式(21)代入式(16)得到閉環(huán)系統(tǒng)

(22)

綜上，得到帶延遲的線性系統(tǒng)的切換偽預(yù)測(cè)器

(23)

將式(23)帶入式(16)可得閉環(huán)系統(tǒng)

(24)

3 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

最后給出閉環(huán)系統(tǒng)(24)穩(wěn)定的充分條件.

定理1在滿足假設(shè)條件下，當(dāng)且僅當(dāng)積分延遲系統(tǒng)(integral delay system,IDS)

(25)

為漸近穩(wěn)定時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)(24)漸近穩(wěn)定.

證明:閉環(huán)系統(tǒng)(24)改寫(xiě)成

(26)

其中,

ρ(t)=K(e(A+BK)hx(t-h)-x(t)).

(27)

由式(26)的解得出

(28)

將式(28)代入式(27)得

(29)

由上可知若積分延遲系統(tǒng)(29)為漸近穩(wěn)定，則式(26)漸近穩(wěn)定，因此可得閉環(huán)系統(tǒng)(24)為漸近穩(wěn)定.

設(shè)計(jì)輔助系統(tǒng)

(30)

其中，r(t)滿足積分延遲系統(tǒng)

(31)

由式(30)解得

(32)

將式(32)代入式(31)得

r(t)=K(e(A+BK)hy(t-h)-y(t)).

(33)

將式(33)代入式(30)得

(34)

由此可以得出：若系統(tǒng)(34)漸近穩(wěn)定，則式(33)為漸近收斂，因此系統(tǒng)(25)漸近穩(wěn)定.

將積分延遲系統(tǒng)(25)改寫(xiě)成

(35)

其中，

G(t,s)=-Ke(A+BK)(t+s)B.

(36)

定理2若存在正定矩陣P,Q滿足：

(37)

則積分延遲系統(tǒng)(35)為指數(shù)穩(wěn)定.

證明：取Lyapunov-Krasovskii泛函

(38)

其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(39)

由式(35)和式(37)可得

(40)

將式(40)代入式(39)可得

(41)

由此可以得出系統(tǒng)(25)為漸近穩(wěn)定的.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 非線性系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

考慮以下帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)

其中,x(0)=1，延遲時(shí)間h=0.1 s.控制器u(t)=-2x2(t).

通過(guò)計(jì)算得到帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)的切換偽預(yù)測(cè)器為

則帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)的切換PPF控制的仿真結(jié)果如圖1所示：

圖1 非線性系統(tǒng)切換偽預(yù)測(cè)器Fig.1 Switching pseudo predictor for non-linear systems

作為對(duì)比，帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)的非切換偽預(yù)測(cè)器為

x(t+h)=x(t)+1/(t+h+1/x(0))-1/(t+1/x(0)).

仿真結(jié)果如圖2所示：

圖2 非線性系統(tǒng)非切換偽預(yù)測(cè)器Fig.2 Non-switching pseudo predictor for non-linear systems

4.2 線性系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

考慮以下帶輸入延遲的線性系統(tǒng)

通過(guò)計(jì)算得到帶輸入延遲的線性系統(tǒng)的切換偽預(yù)測(cè)器為

則帶輸入延遲的線性系統(tǒng)的切換PPF控制器的仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 線性系統(tǒng)切換偽預(yù)測(cè)器Fig.3 Switching pseudo predictor for linear system

作為對(duì)比，帶輸入延遲的線性系統(tǒng)的非切換偽預(yù)測(cè)器為x(t+h)=e(A+BK)hx(t),其仿真結(jié)果如圖4所示：

圖4 線性系統(tǒng)非切換偽預(yù)測(cè)器Fig.4 Non-switching pseudo predictor for linear system

通過(guò)比較上述2個(gè)仿真結(jié)果可以看出，本文所設(shè)計(jì)的切換偽預(yù)測(cè)反饋控制器能夠精準(zhǔn)預(yù)測(cè)系統(tǒng)初始部分的狀態(tài)，同時(shí)鎮(zhèn)定輸入延遲系統(tǒng).

5 結(jié)論

本文考慮了具有輸入延遲系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題，基于閉環(huán)系統(tǒng)為延遲系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種切換的偽預(yù)測(cè)器，使其能夠精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)，并且消除了傳統(tǒng)預(yù)測(cè)器中的積分項(xiàng)，使控制器更加容易實(shí)現(xiàn).最后通過(guò)數(shù)值示例說(shuō)明了偽預(yù)測(cè)反饋(PPF)控制器的有效性和優(yōu)勢(shì).后續(xù)工作可以對(duì)以下方面進(jìn)行研究：帶有不確定性的線性系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)切換控制器設(shè)計(jì)和將對(duì)非線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)應(yīng)用到下三角系統(tǒng)中，以解決實(shí)際問(wèn)題.