陳志遠

美國數(shù)學家哈爾莫斯認為：問題是數(shù)學的心臟。波利亞也有一句名言：“掌握數(shù)學就意味著善于解題.”他強調(diào)指出：“中學數(shù)學教學首要任務就是加強解題訓練.”在掌握數(shù)學方法基礎上進行解題訓練，形成解題技能，將解題技能、方法，乃至于經(jīng)驗在理性層面上進行概括，便形成解題策略。解題策略一旦形成，就可對新情境下的數(shù)學問題的解題途徑作出總體性的、方向性的決策，從而有利于解題順利進行。

一、問題的構建

數(shù)學的真正部分是問題和問題的解決，數(shù)學教學的核心就是培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的能力。在課堂教學中如何營造問題氛圍，引導學生進入教學活動，一起參與對問題的分析、探究解題方法及其本質(zhì)等。直接關系到學生是否能充分發(fā)揮自己的創(chuàng)新思維能力和方式.

什么是“好問題”？“好問題”應具有張奠宙教授在《數(shù)學素質(zhì)教育設計（草案）》中所提出的五個標準：

①對學生來說不是常規(guī)的，不能靠簡單的模仿來解決；

②可以是一種情景，其中隱含的數(shù)學問題要靠學生自己去提出、求解并作出解釋；

③具有趣味和魅力，能引起學生的思考和向?qū)W生提出智力挑戰(zhàn)；

④不一定有終極答案，各種不同水平的學生都可以由淺入深地作出回答；

⑤解決它往往需伴以個人或小組的數(shù)學活動.

但好問題不一定就是一個相當復雜的問題，它甚至可以是一個很簡單的、生活實踐中十分常見和答案顯而易見的問題，只要它透露著必要的數(shù)學思想和有一定的啟發(fā).

二、常見的策略簡述

（一）定義法

概念與其定義是對研究對象本質(zhì)屬性的描述和界定，因而是數(shù)學推理論證的邏輯基礎，對于某些數(shù)學問題，如果從所涉及的數(shù)學概念的原始定義去考慮，往往能獲得題設信息所固有的本質(zhì)屬性，減少不必要的中間環(huán)節(jié)，達到準確判斷、合理運用、靈活解題的目的，在中學教材及高考試題中有著廣泛的應用.

例1 設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|x-a|+1,x∈R，求f（x）的最小值.

分析 因為函數(shù)解析式中含有絕對值，利用絕對值的定義去掉絕對值符號，可將問題轉化為熟悉的二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最小值的問題.

解：（1）x≥a時，f（x）=x2+x-a+1=（x+）2-a+

若a≤-，則f（x）在[a,+∞）上的最小值為f（-）=-a；若a>-，則f（x）在[a,+∞）上單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（a）=a2+1.

（2）x≤時，f（x）=x2-x+a+1=（x-）2++a

若a≤，則f（x）在（-∞,a]上的最小值為f（a）=a2+1；若a>，則f（x）在（-∞,a]上的最小值為f（）=+a.

綜上，a≤-時，f（x）的最小值為-a；

a>時，f（x）的最小值為+a.

（二）特殊化與一般化

特殊化與一般化是相輔相成的辯證思維過程.

所謂特殊化，就是縮小研究對象的原有范圍或增加約束條件的思維方法，表現(xiàn)為一種“以退求進”的解題策略。在解決一個較為抽象復雜的數(shù)學問題時，可以先考慮簡單情形，特殊對象或極端情況，以尋找解決一般性問題的方向與途徑。華羅庚先生說過：“解題時要足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，認透了，鉆深了，然后再上去”.總之，特殊化是從具體到抽象、從局部到整體的思維過程，可以提示解題方向，突現(xiàn)問題的切入點.

所謂一般化，就是把研究對象或問題從原有范圍擴展到更大范圍內(nèi)進行考慮的思維方法，表現(xiàn)為一種“以進求退”的解題策略。當解決的問題是某個問題的特例，而這個一般性命題比較容易解決，甚至已有明確的結論時，我們可以利用整體來揭示局部，更為明確地表達問題的本質(zhì).

例2 設a1、a2、a3、a4、a5都是大于1的實數(shù)，證明：

16（a1a2a3a4a5+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）（1+a4）（1+a5）

分析：改證一般性命題：若a1、a2、a3、a4、a5都大于1，則n>2時，

2n-1（a1a2a3…an+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an），n=5時即為原命題.

證明：①n=2時，易證2（a1a2+1）>（1+a1）（1+a2）；

②設n≤k時命題成立，則n=k+1時，

2k（a1a2…akak+1+1）=2k-1[a1a2…（akak+1）+1]>2 （1+a1）（1+a2）…（1+ak-1）（1+akak+1）>（1+a1）（1+a2）…（1+ak-1）（1+ak）（1+ak+1）

即n=k+1時一般性命題成立；

綜上，一般性命題成立，從而n=5時命題成立

所以，當a1、a2、a3、a4、a5大于1，則

16（a1a2a3a4a5+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）（1+a4）（1+a5）

（三）利用對稱性

在數(shù)學解題過程中，利用對稱思想解題，一方面是利用題設中已有的對稱性，另一方面，還要善于利用題設條件創(chuàng)造對稱性。有了對稱性，就能使我們發(fā)現(xiàn)解題途徑，縮短解題過程，使復雜的問題得到較為方便的解法。高斯求和法就是利用對稱思想解題最典型的例子.

例3 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么不同排法共有多少種？

分析：本題若分類討論，較為繁瑣，換一個角度考慮問題，注意到有一個B站在A的右邊的排法，交換A、B的位置，就得到一個B站在A的左邊的排法；因此，在五人的全排列中，B站在A的右邊的排法與B站在A的左邊的排法數(shù)相等，依對稱性原則，所求排列數(shù)為A55=60.

例4 求（2+）2n+1展開式中x的整數(shù)次冪項系數(shù)之和；

分析 直接展開計算顯然不是最理想的方式，依據(jù)二項式定理的系數(shù)的性質(zhì)及共軛根式的對稱性，增設（2-）2n+1，配成完整式f（x）=（2+）2n+1+（2-）2n+1.

易見f（x）展開式中的非整數(shù)次冪項系數(shù)之和為0，x的整數(shù)次冪項系數(shù)之和為所求（2+）2n+1展開式中x的整數(shù)次冪項系數(shù)之和的2倍.故所求為f（x）=（32n+1+1）.

除了上述的三種策略之外，其他的策略還有利用圖形、正難則反（反證法）、函數(shù)思想等等.

三、幾點反思

解題策略的傳授與發(fā)現(xiàn)是新課程數(shù)學教學中非常重要的一環(huán)，關鍵在于教師在課堂教學中給學生主動探究、自主學習的空間。因為學生數(shù)學能力的提高，不是通過教師講解或完全靠課本上的間接經(jīng)驗達成的，而更多的是通過自己的探究和體驗得來的，在探究和自主學習中，他們能夠形成多方面的能力和技能.

另一方面，教師應當營造合作式學習環(huán)境，并鼓勵學生大膽用頓悟知覺去尋找問題解決的策略，鼓勵學生在進行獨立探究和小組討論中積極參與對解題策略的評論和發(fā)現(xiàn)，鼓勵學生自主創(chuàng)作，敢說，敢想，敢動手操作，敢問，敢討論，鼓勵學生尋求多向、多維的交往形式，增加師生、生生之間的多維有效互動.

最后，激發(fā)學生多方面的思維和尋求民主和諧的課堂教學氣氛。我覺得民主和諧的課堂教學氣氛是良好課堂秩序的重要組成部分，也是學生積極參與解題策略探究和實現(xiàn)的重要保證。教育過程是教育者幫助受教育者按照預期方式變化的過程，教師的主要任務是確定學生應發(fā)生什么變化，以及在次過程中如何為他們提供幫助。因此教師必須在把知識形態(tài)轉化為解題策略時，抓住“問題”這個數(shù)學的“心臟”，達到教學相長的良性循環(huán)。

（責任編輯 鄭文）