崔連香

摘要：期權(quán)是指對(duì)未來(lái)選購(gòu)某種商品的選擇權(quán)，簡(jiǎn)單得說(shuō)就是購(gòu)買(mǎi)方向出售方支付一定的定金后，獲得在一個(gè)約定到期日內(nèi)按提前協(xié)定價(jià)格購(gòu)買(mǎi)或出售一定數(shù)量商品標(biāo)的資產(chǎn)權(quán)力。在我國(guó)金融業(yè)發(fā)展過(guò)程中，金融期權(quán)不但能有效地轉(zhuǎn)移金融風(fēng)險(xiǎn)，還能保護(hù)廣大投資者的資金安全，使廣大投資者能立于不敗之地，所以金融期權(quán)是一種非常具有發(fā)展前途的金融創(chuàng)新工具。我們通過(guò)對(duì)金融行業(yè)發(fā)展的研究發(fā)現(xiàn)，期權(quán)的定價(jià)模型，一直都被認(rèn)為期權(quán)理論中的一個(gè)難點(diǎn)。對(duì)于金融期權(quán)一些書(shū)籍只是簡(jiǎn)單的介紹，沒(méi)有使用數(shù)學(xué)方法深層次推導(dǎo)，本文簡(jiǎn)單地分析了數(shù)學(xué)金融學(xué)中的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，闡明了研究這一問(wèn)題的有力工具是倒向隨機(jī)微分方程和正倒向隨機(jī)微分方程。

關(guān)鍵詞：股票市場(chǎng);期權(quán)定價(jià);數(shù)學(xué)金融

1997年10月14日,瑞典皇家科學(xué)院將第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予美國(guó)哈佛大學(xué)教授羅伯特·默頓(Robert C.Merton)和邁倫·肖爾斯(Myron S.Scholes)，以鼓勵(lì)他們?cè)跀?shù)學(xué)金融學(xué)方面的杰出貢獻(xiàn)。因此，引起最近這十幾年來(lái)人們對(duì)數(shù)學(xué)金融學(xué)關(guān)注。金融數(shù)學(xué)(mathematics of finance)是運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法研究金融經(jīng)濟(jì)運(yùn)行規(guī)律的一門(mén)新學(xué)科，在國(guó)際上稱為數(shù)理金融學(xué)。

1、數(shù)學(xué)在金融學(xué)的定量研究中起著重要作用

Robert C.Merton所寫(xiě)名著Continuous-TimeFinance中,Merton自己寫(xiě)道:“現(xiàn)代金融學(xué)中的數(shù)學(xué)模型包含了概率論和最優(yōu)化理論的一些最漂亮的應(yīng)用?？茖W(xué)中漂亮的東西未必一定實(shí)用,而科學(xué)中實(shí)用的東西又并非都是漂亮的，指數(shù)學(xué)金融學(xué)卻兩者俱全，可見(jiàn)對(duì)其的評(píng)價(jià)。

1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的得主們經(jīng)過(guò)反復(fù)研究發(fā)現(xiàn)，股票市場(chǎng)價(jià)格遵循帶漂移的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,用較深的數(shù)學(xué)知識(shí)就是隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)微分方程，終于設(shè)計(jì)出比較科學(xué)的、各類期權(quán)定價(jià)公式。雖然這個(gè)公式非常復(fù)雜，但是由于電腦和電子計(jì)算器聯(lián)網(wǎng)，交易商操作起來(lái)也非常簡(jiǎn)單。現(xiàn)在，期權(quán)及其他金融衍生產(chǎn)品的交易已不分國(guó)界，全天24小時(shí)都在進(jìn)行交易，每天都有成千上萬(wàn)的交易者在運(yùn)用“Black-Sc-holes這個(gè)公式”。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期使用得出事實(shí)是:期權(quán)的實(shí)際成交價(jià)格的確總是在由此公式所得出的理論價(jià)格上下作偏差不大的波動(dòng)，特別是對(duì)時(shí)間較短、沒(méi)有太大波動(dòng)的期權(quán)交易，這一模型的誤差只有1%左右，對(duì)于規(guī)范國(guó)際市場(chǎng)起到了很大的作用。

當(dāng)記者問(wèn)及1970年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主保羅·薩繆爾森：“有了這一公式,是不是使交易所變得較為可靠了?”他的回答是：“世界上沒(méi)有哪個(gè)公式能夠稍稍改變變幻莫測(cè)的股市風(fēng)云,也沒(méi)有哪個(gè)公式能夠比運(yùn)用公式的人更好。但是,這一理論使每一位老太太都能夠請(qǐng)專家估計(jì)她持有證券的風(fēng)險(xiǎn),并在適當(dāng)時(shí)候回避風(fēng)險(xiǎn)。”當(dāng)年這位82歲的經(jīng)濟(jì)學(xué)家一方面全面地估價(jià)這個(gè)被他稱之為“完美、天才的公式”,另一方面也肯定了這個(gè)公式確已經(jīng)受了20多年國(guó)際金融市場(chǎng)的考驗(yàn),是當(dāng)今期權(quán)交易的投資者衡量盈虧和風(fēng)險(xiǎn)的主要計(jì)算工具。

期權(quán)是期貨合約的買(mǎi)賣(mài)權(quán)或買(mǎi)賣(mài)選擇權(quán),是期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者擁有的一種權(quán)利,并非一種義務(wù)。在期貨交易中無(wú)論是遠(yuǎn)期交易的購(gòu)買(mǎi)方,還是在期貨交易中購(gòu)得和約的持有者,到期時(shí)都必須按和約的規(guī)定履行成交手續(xù),否則就要承擔(dān)違約的懲罰。期權(quán)則不同,期權(quán)的購(gòu)買(mǎi)者在支付一定的權(quán)利金購(gòu)得某項(xiàng)期權(quán)后,如果他認(rèn)為現(xiàn)行的市場(chǎng)價(jià)格比原來(lái)協(xié)議中的執(zhí)行價(jià)格更有利,他便可以放棄對(duì)期權(quán)的執(zhí)行。

以房產(chǎn)買(mǎi)賣(mài)業(yè)務(wù)為例,假定買(mǎi)方A和賣(mài)方B達(dá)成協(xié)議,買(mǎi)方A愿意支付300萬(wàn)元給賣(mài)方B,贏得一種權(quán)利,即在三個(gè)月后,A有權(quán)以1.2億元購(gòu)買(mǎi)B的一幢住宅樓,三個(gè)月后,無(wú)論該大樓的價(jià)格升至多高,A都有權(quán)以1.2億元購(gòu)買(mǎi)。如果住宅樓價(jià)升至1.3億元,A就從期權(quán)交易中獲利700萬(wàn)元;而如果住宅樓價(jià)跌至1.2億元以下,A可以放棄購(gòu)買(mǎi)權(quán),只損失300萬(wàn)元的權(quán)利金。其實(shí)這300萬(wàn)元也未必真“損失”,如果A當(dāng)時(shí)準(zhǔn)備以1.2億元立即購(gòu)買(mǎi)成交,他當(dāng)時(shí)就要支付1.2億元現(xiàn)金。他以300萬(wàn)元的代價(jià)購(gòu)買(mǎi)了期權(quán),便可以贏得三個(gè)月繼續(xù)占有1.2億元資金的權(quán)利。這筆資金三個(gè)月內(nèi)可以為他贏得其他利潤(rùn)。如存入銀行獲得利息,只要年利率為8%以上,便可把300萬(wàn)元賺回來(lái)。當(dāng)然A購(gòu)買(mǎi)這種權(quán)利是由于他估計(jì)房?jī)r(jià)會(huì)上漲,以少量的“權(quán)利金”去換取未來(lái)可能大量的“價(jià)差利潤(rùn)”。這種期權(quán)稱為“看漲期權(quán)”或“買(mǎi)入期權(quán)”。無(wú)論未來(lái)的房?jī)r(jià)是漲還是跌,剛才的分析表明持有這種期權(quán)的A是旱澇保收的。

相反如果未來(lái)房?jī)r(jià)的趨勢(shì)是下跌,住宅樓的所有者B可能會(huì)購(gòu)買(mǎi)“看跌期權(quán)”或“賣(mài)出期權(quán)”,即付給A一定的權(quán)利金,獲得三個(gè)月后以1.2億元的價(jià)格賣(mài)給A的權(quán)利,那么三個(gè)月后,無(wú)論房?jī)r(jià)跌到什么程度,A必須以1億元購(gòu)買(mǎi)該住宅樓,而如果三個(gè)月后房?jī)r(jià)不跌反漲,則B有權(quán)不以1.2億元賣(mài)給A,他可以尋找其他買(mǎi)主以更高的價(jià)格出售。期權(quán)交易后,主動(dòng)權(quán)掌握在付出了權(quán)利金的購(gòu)買(mǎi)者手里。

2、市場(chǎng)的簡(jiǎn)單描述

2.1 債券的模型

設(shè)X0(t)為債券在時(shí)刻t的價(jià)格，設(shè)h>0，則X0(t+h)-X0(t)是時(shí)間區(qū)間[t，t+h]上的回報(bào)，因此，=r■=r(1)

為時(shí)間區(qū)間[t，t+h]上的單位時(shí)間里的相對(duì)回報(bào)率，稱為利率。例如，設(shè)t為年初，t+1為年末，債券價(jià)格年初為X0(t)=P(本金)，年末價(jià)格為X0(t+1)=A(本金加利息)，則式(1)變?yōu)?/p>

■=r

它是一個(gè)(線性)常微分方程,其解為

X0(t)=X0(0)eπ

式(1)亦可寫(xiě)成

X0(t+h)-X0(t)=rX0(t)h>0

可見(jiàn)X0(t+h)總比X0(t)來(lái)得大，即債券價(jià)格(市場(chǎng)價(jià)值)總隨時(shí)間推移而增長(zhǎng)，因此，我們說(shuō)，債券是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。

2.2 股票的模型

股票的模型與債券有很大的差別，設(shè)X(t)為某種股票在時(shí)刻 t 的價(jià)格,類似于債券的討論方式，考慮時(shí)間區(qū)間[t,t+h]。此時(shí)，相應(yīng)于式(5)的式子呈如下形式:

X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+ση(t,h)]

此處，b稱為平均回報(bào)率，σ稱為價(jià)格波動(dòng)性(volatility)，而η(t，h)是一個(gè)規(guī)一化的噪聲。它可正可負(fù)，由此可見(jiàn)，不能保證X(t+h)總大于X(t)。因此，股票是有風(fēng)險(xiǎn)的。η(t，h)通常是大量投資者相互獨(dú)立的投資行為造成的。所以，人們認(rèn)為η(t，h)是服從正態(tài)分布N(0,h)的隨機(jī)變量(均值為0，均方差為h)。

若記W(t)為到時(shí)刻t為止的累積噪聲，則它恰好是所謂的布朗運(yùn)動(dòng),采用此記號(hào)，可寫(xiě)成:

X0(t+h)-X(t)=X(t){bh+σ[W(t+h)-W(t)]}

令 h→0，可得

dX(t)=bX(t)dt+σX(t)dW(t)，

t∈[0，T]

這稱為一個(gè)隨機(jī)微分方程，它的解為

X(t)=xebt+σW(t)，t∈[0，T]

2.3 一般情形

假設(shè)有n+1種資產(chǎn)在市場(chǎng)中連續(xù)地交易著，將它們從0到n 編號(hào)。設(shè)第0種是債券，后n種為股票。設(shè)第i種資產(chǎn)在時(shí)刻t的價(jià)格(過(guò)程)為Xi(·)。類似于上述的討論，有:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdXi（t）-bi（t）Xi（t）dt+Xi（0）-Xi，0≤t≤nXi（t）■σij（t） dWj（t）

2.3 一般情形

假設(shè)有n+1種資產(chǎn)在市場(chǎng)中連續(xù)地交易著，將它們從0到n 編號(hào)。設(shè)第0種是債券，后n種為股票。設(shè)第i種資產(chǎn)在時(shí)刻t的價(jià)格(過(guò)程)為Xi(·)。類似于上述的討論，有:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdXi（t）-bi（t）Xi（t）dt+Xi（0）-Xi，0≤t≤nXi（t）■σij（t） dWj（t）

3、期權(quán)定價(jià)

考慮一個(gè)市場(chǎng)，僅有一種債券和一種股票上市，它們的價(jià)格滿足下述方程:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdX（t）=X（t）b（t）dt+X（t）σ（t）dW（t）

這里,X0(t),X(t),r(t),b(t)和σ(t)分別為債券價(jià)格、股票價(jià)格、利率、股票的回報(bào)率和價(jià)格波動(dòng)性?，F(xiàn)在，我們來(lái)考慮所謂的歐式買(mǎi)入期權(quán)。這是一個(gè)合同，憑此可以在事先設(shè)定好的時(shí)刻T，以事先設(shè)定好的價(jià)格q前來(lái)購(gòu)買(mǎi)1股給定的股票。分別稱T和q為執(zhí)行時(shí)刻和執(zhí)行價(jià)格。例如，在1998年9月1日簽約，于1998年12 月31日前以10元/股的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)復(fù)華實(shí)業(yè)股票1股，這就是一個(gè)買(mǎi)入期權(quán)。容易知道，到時(shí)刻T，將會(huì)有兩種可能:

(1)若在t=T,X(T)>q，則擁有期權(quán)的人將前來(lái)實(shí)施其權(quán)益，即以價(jià)格q前來(lái)購(gòu)買(mǎi)股票，然后立即以價(jià)格X(T)在市場(chǎng)上拋出，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn) X(T)- q。

(2)若X(T)

（X（T）·q）+≡max｛X（T）·q，0｝

X（T）-q，X（T）＞q0，X（T）≤q

假設(shè)在t=0時(shí)刻該期權(quán)的價(jià)格為y，由于期權(quán)的出售者在t=T時(shí)刻的損失為(X(T)-q)+，不得不將出售期權(quán)所得的y在市場(chǎng)上投資以獲取足夠的回報(bào)來(lái)彌補(bǔ)損失。當(dāng)在t=0時(shí)刻投資y于市場(chǎng)后，總資產(chǎn)將隨時(shí)間推移而變化，記為Y(t)。因此，Y(0)=y，希望在時(shí)刻T達(dá)到以下目的:

Y(T)≥(P(T)-q)+

假如他在時(shí)刻t將Y(t)分成兩部分：π（t）Y（t）-π（t）

易知,當(dāng)π(·)給定時(shí)，總資產(chǎn)在債券和股票中的份額完全確定，我們稱π(·)是一個(gè)證券組合。通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得Y(·)滿足的方程如下:dY（t）=（r（t）Y（t）+（b（t）-r（t）））Y（0）=y

此處，已設(shè)σ(t)≠0并定義

Z(t)=σ(t)π(t)

當(dāng) y越大，相同投資方式下Y(T)也越大。從而,公平的價(jià)格y將使得下述關(guān):

Y(T)=(P(T)-q)+

于是，得到下面的隨機(jī)微分方程:

dX(t)=X(t)b(t)dt+X(t)σ(t)dW

(t)dY(t)={r(t)Y(t)+[b(t)-r(t)]σ(t)-1

X(0)=x,Y(T)=(X(T)-q)+

找到滿足上式的適應(yīng)過(guò)程(X(·)，Y(·)，Z(·))即可。

我們希望找到滿足式(14)的適應(yīng)過(guò)程(X(·)，Y(·),Z(·))。然后,期權(quán)的公平價(jià)格為y=Y(0)。

我們注意到式(14)中關(guān)于X(·)的方程是一個(gè)初值問(wèn)題，故是前向的。而關(guān)于Y(·)的方程是終值問(wèn)題，故是倒向的。由于這個(gè)原因，我們稱式(14)為一個(gè)正倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)稱FBSDE)。不過(guò)，式(14)是一個(gè)解耦的FBSDE。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王獻(xiàn)東.Brown運(yùn)動(dòng)首達(dá)時(shí)在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 常州工學(xué)院學(xué)報(bào).

[2] 孫國(guó)紅.數(shù)學(xué)金融學(xué)中的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題[J]. 天津商學(xué)院學(xué)報(bào). 2003(03)

[3] 嚴(yán)加安.金融數(shù)學(xué):歷史與現(xiàn)狀[J]. 中國(guó)青年科技. 2001(03)

[4] 雍炯敏.數(shù)學(xué)金融學(xué)研討會(huì)在滬舉行[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì). 1999(01)