谷春安 陸建軍

【摘要】對(duì)稱數(shù)是包羅萬(wàn)象且又深刻的，難能一書言盡，一書說透.本文將闡述的是關(guān)于對(duì)稱數(shù)的基本性質(zhì)、對(duì)稱數(shù)的分布圖像、對(duì)稱數(shù)研究的目標(biāo)意識(shí)等內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱數(shù)；性質(zhì)；圖像；目標(biāo)

拙作《探幽對(duì)稱數(shù)》發(fā)表于《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》第9期上，該文僅僅是我們的初步研究成果.在后續(xù)再探索中，我們又加深并拓展了對(duì)對(duì)稱數(shù)的認(rèn)識(shí)，于是以“再探對(duì)稱數(shù)”為題，進(jìn)一步闡析對(duì)稱數(shù).

一、“對(duì)稱數(shù)的基本性質(zhì)”補(bǔ)遺

在《探幽對(duì)稱數(shù)》一文中已闡述過對(duì)稱數(shù)的基本性質(zhì)，為更全面、深入地認(rèn)識(shí)對(duì)稱數(shù)，本文再補(bǔ)充一些關(guān)于對(duì)稱數(shù)基本性質(zhì)的內(nèi)容.

1.在疊減法則下，任意三檔以上對(duì)稱數(shù)都可以拆成兩個(gè)或兩個(gè)以上的對(duì)稱數(shù).

如：

2.任意兩個(gè)對(duì)稱數(shù)相乘，如果其乘法豎式里沒有相乘、相加進(jìn)位，其結(jié)果一定是對(duì)稱數(shù).

如：313×20002=6260626，1221×202202=246888642.

很顯然，能滿足“乘法豎式里沒有相乘、相加進(jìn)位”條件的，一般是兩個(gè)相乘的對(duì)稱數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都比較小.

3.如果一個(gè)對(duì)稱數(shù)各位上的數(shù)是2或3，4，5，6，7，8，9的倍數(shù)，那么這個(gè)對(duì)稱數(shù)就一定能夠被2或3，4，5，6，7，8，9整除，且商一定是對(duì)稱數(shù).

如：36963各位上的數(shù)都是3的倍數(shù)，則36963÷3=12321；8448448各位上的數(shù)都是4的倍數(shù)，則8448448÷4=2112112.

4.同檔級(jí)對(duì)稱數(shù)中，有較多的對(duì)稱數(shù)具有整除性；不同檔級(jí)對(duì)稱數(shù)中，也有一些對(duì)稱數(shù)具有整除性.

如：464÷232=2，363÷121=3，4884÷1221=4，5555÷1111=5，60006÷10001=6，777777÷111111=7，59895÷5445=11，1430341÷130031=11，4376734÷43334=101.

二、對(duì)稱數(shù)分布圖像

對(duì)稱數(shù)在多位數(shù)中的分布是極其廣泛的，那么它們的分布狀況能否說明某些數(shù)學(xué)問題呢？請(qǐng)先看下面的對(duì)稱數(shù)分布圖像.

三檔對(duì)稱數(shù)分布圖像

四檔對(duì)稱數(shù)分布圖像

五檔對(duì)稱數(shù)數(shù)量比起三、四檔對(duì)稱驟然增加了許多，很難在方寸紙上將其完整的分布圖像描繪出來，于是只顯示了其中的一小部分.

五檔對(duì)稱數(shù)分布圖像

觀察、分析如上三、四、五檔對(duì)稱數(shù)分布圖像，能夠發(fā)現(xiàn)多位數(shù)中對(duì)稱數(shù)分布的一些規(guī)律.

1.任意檔級(jí)對(duì)稱數(shù)數(shù)量都是一個(gè)常數(shù)，如三、四、五檔對(duì)稱數(shù)數(shù)量分別是90，90，900個(gè).

2.不同檔級(jí)對(duì)稱數(shù)的分布圖像猶如依序排列的9盞豎直懸掛著的日光燈那樣，一截一截的，亮白亮白的.而且每“截”上的所有對(duì)稱數(shù)的外檔都是相同的，如三檔對(duì)稱數(shù)中外檔為“6”的10個(gè)對(duì)稱數(shù)都分布在600～700這截?cái)?shù)域間；五檔對(duì)稱數(shù)中外檔為“1”的100個(gè)對(duì)稱數(shù)都出現(xiàn)在10000～20000的數(shù)域間.

3.在0～100、0～1000、0～10000……中分別都沒有三、四、五檔……對(duì)稱數(shù).

4.同一檔級(jí)對(duì)稱數(shù)在相應(yīng)數(shù)域的分布數(shù)量是均等的，如三檔對(duì)稱數(shù)在100～200中有10個(gè)，在200～300中也有10個(gè)，在300～400中還是10個(gè).換句話說，就是同一檔級(jí)對(duì)稱數(shù)中，外檔為“1，2，3，4，5，6，7，8，9”的對(duì)稱數(shù)數(shù)量都是同樣多.

5.如果像三檔、四檔對(duì)稱數(shù)分布圖像那樣把各個(gè)數(shù)域中大小順序相應(yīng)的對(duì)稱數(shù)用虛線連接起來，可以得到9條連線，且這些連線是逐步上揚(yáng)、相互平行的.

6.用“對(duì)稱數(shù)分布圖像法”去檢索多位數(shù)中的對(duì)稱數(shù)，比起“對(duì)稱數(shù)圖譜法”更直觀、簡(jiǎn)便.

三、對(duì)稱數(shù)問題研究的目標(biāo)意識(shí)

致力于對(duì)稱數(shù)問題研究，直至初步建立起對(duì)稱數(shù)理論，其目標(biāo)意識(shí)是什么呢？

1.在于發(fā)展數(shù)學(xué)科學(xué)

數(shù)學(xué)科學(xué)和世間事物一樣，都需要發(fā)展.

推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的途徑是多樣的，而探索者首選的則是為數(shù)學(xué)知識(shí)大廈增添新內(nèi)容，因?yàn)樗麄兦宄乜吹綌?shù)學(xué)知識(shí)大廈其實(shí)就是一個(gè)個(gè)微觀知識(shí)的累積，是由諸如自然數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、函數(shù)、三角形、圓錐體等局部知識(shí)共同構(gòu)建的.對(duì)稱數(shù)問題研究，是從廣袤的自然數(shù)中擇取自身特點(diǎn)明顯的對(duì)稱數(shù)作為研究對(duì)象的探索過程，其中包括對(duì)稱數(shù)相關(guān)概念、計(jì)算方法的提出，以及對(duì)稱數(shù)的特點(diǎn)、性質(zhì)的探析，直至初步建立起對(duì)稱數(shù)知識(shí)體系.很顯然，“對(duì)稱數(shù)”擴(kuò)充了數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫(kù)，這是其一.

其二，對(duì)稱數(shù)問題，開墾了一方數(shù)學(xué)地塊.這對(duì)于激發(fā)人們關(guān)注數(shù)學(xué)現(xiàn)象的主動(dòng)性、自覺性，對(duì)于增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)，對(duì)于提升數(shù)學(xué)觀察和數(shù)學(xué)思考能力都有直接的、積極的作用.提升這樣的數(shù)學(xué)科學(xué)態(tài)度，能助力數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展進(jìn)步.

其三，“九族制等差遞進(jìn)式列數(shù)方法”圖譜和用組合計(jì)算方法求不同多位數(shù)的對(duì)稱數(shù)的過程，其本身就是數(shù)學(xué)思想的擴(kuò)充與發(fā)展.人們一旦具備了這樣的數(shù)學(xué)思想，就能夠從容面對(duì)紛紜復(fù)雜的情境，進(jìn)而冷靜思考、深入研判.再者，位數(shù)較多多位數(shù)的對(duì)稱數(shù)數(shù)量問題是一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問題，可能會(huì)喚起眾多愛好者去探究.

2.讓“對(duì)稱數(shù)”走進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)課本

2005年全市小學(xué)畢業(yè)考試，我命制了“像121，454這樣的數(shù)叫作對(duì)稱數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)是五位數(shù)的對(duì)稱數(shù)（）”的填空題，結(jié)果80%以上的學(xué)生都寫出來了，這說明在小學(xué)進(jìn)行對(duì)稱數(shù)教學(xué)是可行的.同時(shí)，“對(duì)稱數(shù)”研究起源于中國(guó)大地上，理應(yīng)走進(jìn)我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課本.

可以考慮按照對(duì)稱數(shù)知識(shí)的層次性，分別在中小學(xué)數(shù)學(xué)課本里各編排一、兩個(gè)章節(jié)的“對(duì)稱數(shù)”教學(xué)內(nèi)容.小學(xué)課本宜在“比和比例”之后作安排，小學(xué)教學(xué)“對(duì)稱數(shù)”至少有如下兩個(gè)好處.

（1）有利于發(fā)展數(shù)感

對(duì)稱數(shù)是很有特色的一類數(shù)，學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)稱數(shù)時(shí)，首先是從它的數(shù)相特征去體悟的，這種由數(shù)相而認(rèn)識(shí)對(duì)稱數(shù)的過程就是數(shù)感.很顯然，學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)稱數(shù)過程中，直觀、敏捷的數(shù)感能力也會(huì)隨之發(fā)展.

（2）有利于發(fā)展數(shù)學(xué)能力

對(duì)稱數(shù)的基本性質(zhì)這一塊是極好的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容.具體教學(xué)時(shí)，教師先舉出62332616235326這一組數(shù)，讓學(xué)生以比對(duì)的方法，發(fā)現(xiàn)“對(duì)稱數(shù)去掉或添上對(duì)稱軸數(shù)，結(jié)果一定是對(duì)稱數(shù)”的規(guī)律.接著，再出示一些素材，要求學(xué)生用比對(duì)、計(jì)算的做法去探索對(duì)稱數(shù)的其他規(guī)律.在教師的引領(lǐng)和學(xué)生自己相互啟發(fā)、共同幫助下能夠得出：①對(duì)稱數(shù)去掉或添上兩個(gè)或幾組相對(duì)應(yīng)的數(shù)，結(jié)果一定是對(duì)稱數(shù)；②在不進(jìn)位加、不退位減的條件下，對(duì)稱數(shù)的兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的數(shù)加、減同一個(gè)數(shù)，或整個(gè)對(duì)稱數(shù)各位上的數(shù)同時(shí)加、減同一個(gè)數(shù)，結(jié)果一定是對(duì)稱數(shù)；③對(duì)稱數(shù)相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比或幾組相對(duì)應(yīng)的數(shù)的和的比，一定是1∶1；④同一種檔級(jí)對(duì)稱數(shù)中任意兩個(gè)對(duì)稱數(shù)相加減，在不進(jìn)位加、不退位減的條件下，結(jié)果一定是對(duì)稱數(shù).

與分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)教學(xué)相比，對(duì)稱數(shù)知識(shí)教學(xué)中不僅發(fā)現(xiàn)規(guī)律的途徑別樣，而且規(guī)律內(nèi)容的寬泛性也是前者不可比擬的，因而更能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.這些就是“對(duì)稱數(shù)”的教學(xué)意義所在.

如果在中學(xué)的“組合”后安排對(duì)稱數(shù)教學(xué)，不僅能使學(xué)生意識(shí)到對(duì)稱數(shù)其實(shí)是一種特殊組合的數(shù)，而且可以讓學(xué)生用組合的方法去求多位數(shù)中的對(duì)稱數(shù)的數(shù)量來，并由此深入到對(duì)稱數(shù)率的探索中.此外，“等差數(shù)列”一章可提出兩個(gè)公差相等或不相等的由對(duì)稱數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，讓學(xué)生去探究這些等差數(shù)列之間的關(guān)系，以拓展等差數(shù)列知識(shí)的寬度，深化對(duì)等差數(shù)列的認(rèn)識(shí).

3.張揚(yáng)均衡、和諧理念

對(duì)稱數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，既有均衡之性，又有和諧之意.

于是，人們?cè)煳铩⒘⑹露紤?yīng)秉承均衡、和諧之義.比如機(jī)器制造，哪怕是一塊鐵片的薄厚、螺孔之間的相應(yīng)位置都要講究均衡性，否則會(huì)因其受力不勻而發(fā)生炸裂的嚴(yán)重后果.又如生態(tài)系統(tǒng)，各物種之間必須相互依存，均衡發(fā)展，切不可有欺小凌弱、一花獨(dú)放的局面.再大到治山、治水、治理社會(huì)的活動(dòng)，我們更應(yīng)切實(shí)遵循均衡性、和諧性規(guī)律.

此外，探索對(duì)稱數(shù)與生產(chǎn)、生活、科學(xué)技術(shù)的相互關(guān)聯(lián)，關(guān)注對(duì)稱數(shù)的實(shí)際應(yīng)用也是對(duì)稱數(shù)研究的重要目標(biāo)之一.