郭 昌

(安徽大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，安徽 合肥 230601)

由Crouse等提出的小波域隱Markov模型，又稱為隱Markov樹(HMT)模型，將圖像的小波系數(shù)建模為隱馬爾可夫樹模型，該模型考慮了小波系數(shù)間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性及非高斯性,抓住了小波系數(shù)的本質(zhì)特性和小波系數(shù)間的主要關(guān)系，在圖像去噪、壓縮、邊緣檢測(cè)和識(shí)別等圖像處理領(lǐng)域中取得了很好的效果[1]。

本文研究了一種基于小波變換與隱馬爾可夫模型相結(jié)合的圖像插值方法。小波域HMT模型采用混合高斯模型刻畫各子帶系數(shù)的概率分布[2]，并通過小波系數(shù)隱狀態(tài)在多個(gè)尺度之間的Markov依賴性來刻畫原始圖像小波系數(shù)隨尺度減小而指數(shù)衰減的特性。由于小波域 HMT 模型準(zhǔn)確刻畫了原始圖像小波變換的統(tǒng)計(jì)特性，本文算法以此作為原始圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑢D像插值問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束優(yōu)化問題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于小波域HMT模型的圖像插值算法改善了傳統(tǒng)插值算法引起的鋸齒效應(yīng)和平滑效應(yīng)，插值后的圖像中細(xì)節(jié)豐富,無明顯的畸變。

1 小波域隱馬爾可夫樹模型

HMT模型與小波系數(shù)的持續(xù)性相匹配，通過把小波系數(shù)的邊緣概率密度函數(shù)建模成具有隱狀態(tài)的混合高斯分布來捕獲相鄰尺度間的小波系數(shù)的相關(guān)性。這個(gè)隱狀態(tài)決定該系數(shù)是大或是小，并由概率樹來描述狀態(tài)之間的馬爾可夫依賴性。 該樹狀結(jié)構(gòu)將每個(gè)小波系數(shù)的狀態(tài)變量同它的下一層的四個(gè)子節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量相連，它和DWT的小波系數(shù)一樣具有相同的四叉樹拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。如圖1所示，其中實(shí)心黑點(diǎn)表示小波系數(shù)，空心白點(diǎn)表示小波系數(shù)所處的狀態(tài)。小波分解的每個(gè)通道都用它自己的四叉樹來描述，各通道之間相互獨(dú)立。從圖中可以看出,HMT的Markov結(jié)構(gòu)是建立在小波系數(shù)ω1的狀態(tài)上的，而不是建立在小波系數(shù)上[1,3]。

圖1 小波系數(shù)及其狀態(tài)的四叉樹模型

HMT模型還描述了小波系數(shù)間的相關(guān)性。小波系數(shù)的延續(xù)表明沿著尺度方向的小波系數(shù)(父子系數(shù)間) 具有較強(qiáng)的相關(guān)性，對(duì)每一個(gè)通道，用父系數(shù)的狀態(tài)變量和其子節(jié)點(diǎn)系數(shù)的狀態(tài)變量相連的概率樹來描述其相關(guān)性，和小波系數(shù)一樣，每通道得到一個(gè)四叉樹。具體說，父狀態(tài)到子狀態(tài)的連接關(guān)系用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A表示[4-5]：

(1)

1)獨(dú)立混合高斯分布。如果已知第i個(gè)結(jié)點(diǎn)小波系數(shù)狀態(tài)的概率，則小波系數(shù)ωi的概率密度與其他小波系數(shù)及狀態(tài)無關(guān)。即

(2)

上述有關(guān)參數(shù)加上根結(jié)點(diǎn)的狀態(tài)概率psi(m)構(gòu)成了HMT模型參數(shù),記為θ。模型參數(shù)θ可以由EM算法得到。如果已知小波系數(shù)W和模型參數(shù)θ,我們還可以通過Upward-Downward 算法。計(jì)算小波系數(shù)的后驗(yàn)狀態(tài)概率p(Si=m|W,θ)。

3)小波系數(shù)的聯(lián)合概率分布。假定圖像小波變換的三個(gè)通道相互獨(dú)立,則小波系數(shù)的聯(lián)合分布。

(3)

其中，W表示小波系數(shù)全體，N為小波系數(shù)個(gè)數(shù)[3]。

(i)選擇初始模型參數(shù)θ0，置計(jì)數(shù)器l=0；

(ii)E步：計(jì)算隱狀態(tài)變量的聯(lián)合概率p(S|W,θ)；

(iii)M步：更新模型參數(shù)

(iv)θl=θl+1,若滿足收斂條件則停止,否則轉(zhuǎn)(ii)。

理論證明EM算法通過E步、M步的交替迭代最終收斂于不完全似然函數(shù)f(W|θ)的一個(gè)局部極大值[6-8]。

EM算法是由不完全學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)(因?yàn)殡[狀態(tài)未知)估計(jì)模型參數(shù)的有效且常用的方法，其每一迭代步的計(jì)算復(fù)雜度為O(n)(n=N×N)，但算法的收斂是耗時(shí)的，如果能從合適的模型參數(shù)開始學(xué)習(xí)，則學(xué)習(xí)時(shí)間會(huì)大大縮短。通過分析發(fā)現(xiàn)可以找到比較合適的參數(shù)初值。

首先小波系數(shù)隨著尺度的增加(分辨率增加)具有指數(shù)衰減性，由于HMT將小波系數(shù)建模為具有隱狀態(tài)的混合高斯分布，混合方差的值也反映了小波系數(shù)的值，因此小波系數(shù)的指數(shù)衰減性表明方差在尺度間也具有指數(shù)衰減性，在初始化時(shí)應(yīng)將此反映出來。

2 基于小波域 HMT模型的圖像插值

由于HMT模型結(jié)合了小波變換和多尺度Markov模型，能很好地刻畫小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，目前在圖像去噪應(yīng)用中已經(jīng)取得了很好的效果，因此本文將其應(yīng)用在了圖像插值中，提出了一種基于小波域 HMT模型的圖像插值方法，其算法流程圖如圖2所示。

因此小波域 HMT插值過程是首先對(duì)原始低分辨率圖像進(jìn)行小波分解，然后利用小波域HMT模型對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行重新估算，再進(jìn)行小波逆變換得到經(jīng)過插值的高分辨率圖像。

通常，對(duì)于圖像插值問題的求解是構(gòu)造一個(gè)前向關(guān)系模型[9]，如果不考慮非線性因素的影響，低分辨率圖像和高分辨率圖像的關(guān)系可以由下述數(shù)學(xué)模型描述：

gk=MHjNj,kfj+ξj， 1≤j,k≤n

(4)

(4)式中：j、k為圖像序列的幀數(shù)，fj為待求的第j幀高分辨率圖像，gk為第k幀觀察到的低分辨率圖像，ξj為采樣過程中Gibbs現(xiàn)象產(chǎn)生的噪聲。矩陣M為下采樣過程，Hj為模糊矩陣，Nj,k為第j幀和第k幀之間運(yùn)動(dòng)矢量所構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)矩陣。

如果設(shè)D=MHjNj,k，且忽略噪聲的影響，則式(4)即可以簡(jiǎn)化為

gk=Dfj1≤j,k≤n

(5)

因此只要能夠求解出矩陣D然后進(jìn)行逆變換即可得到經(jīng)過插值的高分辨率圖像。

首先對(duì)低分辨率圖像gk進(jìn)行小波分解，由此將分解得到的小波系數(shù)與HMT匹配，以得到小波系數(shù)的HMT模型，再將這一模型看成先驗(yàn)信號(hào)分布。為了將得到的小波系數(shù)與HMT匹配，采用EM算法。

在完成HMT參數(shù)估計(jì)后，可直接估算插值圖像的參數(shù)，由此得到插值圖像fj的小波系數(shù)狀態(tài)后，通過小波逆變換就可以得到插值放大的圖像。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過上述算法得到圖像中，我們發(fā)現(xiàn)插值圖像后很容易現(xiàn)諸如Gibbs現(xiàn)象之類的情況，主要表現(xiàn)為振鈴和鋸齒，即在圖像的某個(gè)區(qū)域出現(xiàn)類似水波一樣的皺紋，產(chǎn)生這種現(xiàn)象是由于小波變換不具有平移不變性造成的。由于小波變換的局部化特征，其振蕩幅度與奇異點(diǎn)的位置有很大的關(guān)系。在奇異點(diǎn)的鄰域內(nèi)，經(jīng)過正交小波變換分解后的圖像會(huì)表現(xiàn)出Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，其經(jīng)過小波重構(gòu)回來的插值圖像在奇異點(diǎn)附近交替出現(xiàn)較大的上、下峰值，這些峰值并不是原始信號(hào)本身包含的，而是在插值過程中產(chǎn)生的人為干擾[10]。這種現(xiàn)象類似于基于Fourier去噪產(chǎn)生的Gibbs現(xiàn)象。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文提出的插值方法的效果，我們對(duì)傳統(tǒng)插值方法和本文所提出的基于小波變換的圖像插值方法進(jìn)行試驗(yàn)。為驗(yàn)證本文算法的先進(jìn)性與正確性，采用峰值信噪比來評(píng)價(jià)效果的好壞。其方法就是先把一幅512×512的圖像與式(6)的3×3矩陣作卷積[3]，然后隔點(diǎn)取樣得到一幅256×256的原始圖像，然后通過對(duì)這幅256×256的圖像進(jìn)行插值處理，得到放大4倍插值后的圖像，再定量分析放大圖像與原始圖像之間的差別。

(6)

值得注意的是，采用不同的方法對(duì)圖像進(jìn)行縮小對(duì)結(jié)果也是有影響的：一是要考慮邊緣效應(yīng)問題，二是有些方法會(huì)使縮放前后的圖像在中心點(diǎn)上不能嚴(yán)格對(duì)齊。

由于圖像插值的目的不同，對(duì)插值方法的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也不同。但是，圖像插值目的主要有兩個(gè)：①恢復(fù)圖像的真實(shí)面貌，保持圖像的紋理、邊緣等細(xì)節(jié)信息。②改善圖像的視覺效果，便于人眼更好的觀察與分析圖像Limb通過研究發(fā)現(xiàn)，在各種客觀質(zhì)量評(píng)價(jià)形式中，峰值信噪比是一種比較接近人眼視覺效果的一種客觀評(píng)價(jià)。為此，我們采用峰值信噪比作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

實(shí)驗(yàn)采用的圖像為兩幅遙感圖像，人物Barbara，采用的方法為常見的三種插值方法：最近鄰插值、雙線性插值和雙三次插值與本文提出的方法做對(duì)比試驗(yàn)。測(cè)得數(shù)據(jù)如表1、表2所示。

表1 峰值信噪比

表2 插值所用時(shí)間

由試驗(yàn)結(jié)果分析。從主觀上，本文算法插值圖像的視覺效果良好，如圖3、圖4、圖5所示，能夠清晰的分辨出圖像中的細(xì)節(jié)，沒有出現(xiàn)傳統(tǒng)算法的鋸齒效應(yīng)和平滑效應(yīng)；從客觀上，測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表1中顯示峰值信噪比得到了明顯的提高。結(jié)合表2數(shù)據(jù)分析隨著算法的復(fù)雜性提高，本文算法在耗時(shí)上略微增加，但在可以接受的范圍內(nèi)。本文算法在遙感圖像、人物圖像上具有通用性。

4 結(jié) 論

本文提出的圖像插值算法以小波域HMT模型描述自然圖像小波變換的統(tǒng)計(jì)特性，并以此作為原始圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，把圖像插值問題表述為一個(gè)約束優(yōu)化問題。該方法能夠較好的保持原圖像中豐富的高頻信息,經(jīng)插值處理并小波重建后的圖像主觀上具有很好的視覺效果,客觀上具有較高的峰值信噪比,并且圖像中細(xì)節(jié)豐富,無明顯的畸變,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法是超分辨率圖像處理的一種行之有效的途徑。但算法的效率需要在以后的研究工作中進(jìn)行改進(jìn)。在遙感圖像、人物圖像上插值的對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明了新方法的有效性與廣泛的應(yīng)用性。

圖3 遙感圖像1

圖4 遙感圖像2

圖5 Barbara圖像

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