陳艾榮，常 成

（同濟大學(xué) 橋梁工程系，上海 200092）

傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化關(guān)注施工設(shè)計階段的尺寸優(yōu)化，此時結(jié)構(gòu)的改進空間已十分有限［1］.結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化（也稱廣義的形狀優(yōu)化）尋求一個連續(xù)空間內(nèi)實體部分的最優(yōu)分布［2－5］.由于在拓?fù)鋬?yōu)化過程中，結(jié)構(gòu)的初始條件限定較少，既沒有構(gòu)件的數(shù)量和連接方式，也沒有構(gòu)件的形狀尺寸，因此可用于橋梁概念設(shè)計階段中的找型研究，以在橋梁設(shè)計之初得出最有可能實現(xiàn)結(jié)構(gòu)材料最優(yōu)分布的橋型方案.

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的研究是從桁架結(jié)構(gòu)開始的.1854年Maxwell首次進行了應(yīng)力約束下最小重量桁架的基本拓?fù)浞治?1904年Michell［6］采用最小重量優(yōu)化準(zhǔn)則用解析的方法研究了應(yīng)力約束、單個荷載作用下的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并得出了最優(yōu)桁架所應(yīng)滿足的條件，稱為 Michell準(zhǔn)則.之后，Cox，Hemp，Rozvany等人對Michell桁架理論進行了發(fā)展和修正.Michell桁架有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，是驗證其他優(yōu)化方法的可靠標(biāo)準(zhǔn)之一.

1964年 Dorn，Gomory，Greenberg等［7］提出了基結(jié)構(gòu)方法.該方法將數(shù)值理論引入拓?fù)鋬?yōu)化，從而將拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，克服了Michell桁架理論的不適應(yīng)性.基結(jié)構(gòu)是一個由眾多構(gòu)件聯(lián)結(jié)而成的包括所有載荷作用點、支承點在內(nèi)的結(jié)構(gòu)，可以采用理論基礎(chǔ)扎實且算法相對完善的尺寸優(yōu)化.傳力貢獻不大的桿件經(jīng)優(yōu)化后截面會變得很小，再將截面很小或為零的桿件刪除即可實現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化.

相對于基結(jié)構(gòu)的桿系模型，連續(xù)體介質(zhì)模型更能反映實際結(jié)構(gòu).1988年Bendsoe和Kikuchi建立了均勻化的方法（homogenization method）［8］，將復(fù)合材料的多孔介質(zhì)概念引入拓?fù)鋬?yōu)化中，通過在結(jié)構(gòu)材料中引入帶方形空洞（胞元）的微結(jié)構(gòu)模型，同樣將困難的拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)換為相對簡單的尺寸優(yōu)化問題.均勻化理論中的復(fù)合材料模型通常可看作微結(jié)構(gòu)胞元在優(yōu)化空間內(nèi)的周期性分布，每個胞元由3個幾何參數(shù)來描述，然后采用均勻化方法求解不同微結(jié)構(gòu)構(gòu)成下的結(jié)構(gòu)宏觀材料特性，從而得到材料宏觀特性與微結(jié)構(gòu)胞元3個幾何參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，通過對微觀胞元3個幾何參數(shù)的尺寸優(yōu)化即可實現(xiàn)宏觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化.由于具有3個參數(shù)，因此可以描述非均勻各向異性材料甚至復(fù)合材料.

作為均勻化方法的平行研究，Bendsoe等［4，9］之后又提出了變密度法（variable density method）.該方法將微結(jié)構(gòu)中的3個幾何參數(shù)簡化為一個0～1的相對材料密度參數(shù)，從而使問題得到簡化.材料密度參數(shù)與材料彈性模量之間通過材料插值模型建立聯(lián)系，通常采用各向同性實材料懲罰密度模型（solid isotropic microstructures with penalization for intermediate densities，SIMP）.由于只有1個參數(shù)，所以變密度法只能用來描述各向同性材料.

20世紀(jì)90年代，Xie等［10］提出了基于生物進化理論的漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（ESO）.該方法在每次迭代中刪除傳力效率低的單元，而保留傳力效率高的單元，通過不斷迭代使結(jié)構(gòu)的某項性能指標(biāo)趨于最優(yōu).漸進法雖然基于普遍認(rèn)同的生物進化理論，但常常因為單元誤刪后無法恢復(fù)而落入局部最優(yōu)解［11－13］.為使刪除的單元得以重新生成，Xie等［14－16］之后又提出了雙向漸進法（BESO）.雙向漸進法作為傳統(tǒng)的漸進法的改進和發(fā)展，每步迭代中在刪除低效率單元的同時使?jié)M足準(zhǔn)則的非結(jié)構(gòu)單元再生.由于增加了單元的再生機制，優(yōu)化過程得以在多種拓?fù)湫问介g轉(zhuǎn)換，避免計算落入局部最優(yōu)解.漸進法模型可以視為均勻化方法的簡化模型，將連續(xù)的材料密度參數(shù)轉(zhuǎn)化為離散的零和1變量.由于其原理易于理解和便于編程而被廣泛采用［17］.

本文采用含人工單元的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，基于ANSYS平臺編寫可求解二維平面和三維空間結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的命令流程序，并將該程序應(yīng)用于橋梁找型研究中.

1 雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論

雙向漸進法通過引入人工單元為已刪除的單元提供了再生機制，從根本上改善了漸進法的收斂性.該優(yōu)化問題可以由下述數(shù)學(xué)模型表達：

式中：V為結(jié)構(gòu)的總體積；N為單元數(shù)目；xi為第i個單元的體積；σi為第i個單元的應(yīng)力；σmax為應(yīng)力最大單元的應(yīng)力；RR為人為設(shè)定的進化率.

人工單元是介于結(jié)構(gòu)材料區(qū)域與無材料區(qū)域之間的單元組，如圖1所示的深色單元.人工單元附著在結(jié)構(gòu)單元表面，與結(jié)構(gòu)單元間至少有1個公共面.人工單元是結(jié)構(gòu)單元和已刪除單元的過渡區(qū)域，在一次迭代過程中，滿足進化準(zhǔn)則的人工單元將變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)單元，而不滿足的將被刪除.

圖1 人工單元示意Fig.1 Schematic for artificial elements

為了降低附加人工單元對結(jié)構(gòu)整體受力的影響，人工單元材料將被設(shè)置為一種假想的中間材料，其彈性模量需要人為設(shè)定

式中：Em為人工材料的彈性模量；E為結(jié)構(gòu)材料的彈性模量；rw為當(dāng)前結(jié)構(gòu)保留材料的重量與整個網(wǎng)格區(qū)域滿材料時重量之比，rw≤1.人工材料的彈性模量與結(jié)構(gòu)材料的彈性模量相差至少4個數(shù)量級，因此可以保證人工材料單元在結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的影響非常小.

由于采用準(zhǔn)則優(yōu)化法，每個迭代步驟中都要刪除一定數(shù)量的低效材料，因此，需要設(shè)置一個性能指標(biāo)以對結(jié)構(gòu)中各單元的有效性進行評價.本文采用Von Mises應(yīng)力準(zhǔn)則作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)，將某一單元的Von Mises應(yīng)力與結(jié)構(gòu)中的最大Von Mises應(yīng)力之比作為該單元的性能指標(biāo).在優(yōu)化過程中，還需要設(shè)置一個不斷增長的進化率RP，將單元的性能指標(biāo)與進化率進行比較以判定是否刪除該單元.

式中：RR，i為每個迭代過程的進化率；ER為進化率增長率.RR，0和ER控制優(yōu)化進程的速度.若RR，0和ER值較大則優(yōu)化的收斂速度快，但有可能因誤刪單元而落入局部極值，甚至得不到可行的結(jié)構(gòu)拓?fù)浞桨福蝗鬜R，0和ER值較小則比較容易得到理想的結(jié)果，但優(yōu)化的收斂速度變得很慢.RR，0和ER的取值需要根據(jù)具體問題進行適當(dāng)調(diào)整，以在優(yōu)化質(zhì)量和計算成本間取得平衡.

對于結(jié)構(gòu)單元的性能評價可以直接取其應(yīng)力與最大應(yīng)力之比，并將其與進化率進行比較

式中：σe，vm和σmax，vm分別為第e個單元和應(yīng)力最大單元的Von Mises應(yīng)力.在每一輪迭代中，優(yōu)化區(qū)域內(nèi)滿足式（4）的結(jié)構(gòu)單元即被刪除.

但對于人工單元，由于其彈性模量小，應(yīng)力水平低，顯然不能采用同樣的準(zhǔn)則，所以將人工單元的應(yīng)力乘以一個系數(shù)γ使人工單元應(yīng)力的數(shù)量級與結(jié)構(gòu)單元一致.

本文中人工單元和結(jié)構(gòu)單元采用相同的進化率，即人工單元的生長率與結(jié)構(gòu)單元的刪除率相同.

在一次迭代過程中，對于滿足式（6）的人工單元即作為傳力性能良好的單元而轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)材料添加到下一輪迭代的結(jié)構(gòu)中.

2 雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程

在一定邊界條件下進行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是一個反復(fù)迭代的過程，基于有限元軟件ANSYS可以用APDL語言編寫命令流實現(xiàn)迭代循環(huán)控制.在每次迭代過程中，不斷將低效結(jié)構(gòu)單元殺死，同時將高效人工單元激活，以使結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫问奖平肿顑?yōu)解.拓?fù)鋬?yōu)化過程可按如下步驟進行：

（1）創(chuàng)建結(jié)構(gòu)所占的優(yōu)化區(qū)域，并根據(jù)計算機的運算能力將這一區(qū)域劃分為盡可能細的有限元網(wǎng)格，同時定義單元材料特性和邊界條件.

（2）定義初始進化率RR，0、終止進化率RR，n、遞增進化率ER.這些值的設(shè)定將直接影響迭代的速度和結(jié)果，有時需要多次調(diào)整.

（3）定義程序中所要用到的各個變量和數(shù)組，建立人工單元的單元組，并定義人工單元的材料特性.

（4）選擇所有激活狀態(tài)的單元，保存計算模型，進行結(jié)構(gòu)分析計算.

（5）記錄本次計算的結(jié)果，包括結(jié)構(gòu)單元數(shù)量、最大應(yīng)力、最小應(yīng)力、平均應(yīng)力以及各個單元的性能指標(biāo).

（6）將滿足式（4）的低效率單元殺死.在將單元殺死前需對單元數(shù)量進行判斷，若殺死單元后結(jié)構(gòu)單元的數(shù)量低于設(shè)定的最大刪除率則終止程序.

（7）將滿足式（6）的高效率單元激活.激活一定數(shù)量的人工單元后，需要將激活的單元數(shù)量與殺死的單元數(shù)量進行比較，若激活單元數(shù)量大于殺死單元數(shù)量，說明此時的進化率較低，所以應(yīng)增大進化率，如式（3）所示.

（8）將與結(jié)構(gòu)單元有公共面的非結(jié)構(gòu)單元定義為新結(jié)構(gòu)的人工單元組.

（9）重復(fù)步驟（4）～（8）直至進化率達到設(shè)定值或單元數(shù)量達到最大刪除率.

3 橋梁結(jié)構(gòu)二維平面找型

在ANSYS中求解平面拓?fù)鋬?yōu)化問題時采用了二維實體結(jié)構(gòu)單元（plane42），求解時采用靜力分析方式，不考慮材料和幾何非線性.

3.1 上承式拱橋找型

采用應(yīng)力準(zhǔn)則的漸進法進行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果會趨近于全應(yīng)力（fully stressed design）結(jié)構(gòu).橋梁結(jié)構(gòu)中拱橋最接近全應(yīng)力結(jié)構(gòu)，因此通常在拱橋形式的邊界條件下優(yōu)化效果較好.

優(yōu)化上承式拱橋時，優(yōu)化前需要設(shè)定橋面單元為不可刪除的單元，并要在拱腳設(shè)置x，y向約束.邊界條件固定后，優(yōu)化結(jié)果中主拱圈的矢跨比基本固定.矢跨比是影響拱橋受力性能最重要的參數(shù)之一，為了尋找在不同矢跨比下最合理的橋型，需要建立不同矢跨比的模型分別優(yōu)化比較.分別對矢跨比1／10.0，1／5.0，1／3.3，1／2.5的拱橋進行拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如圖2所示.

優(yōu)化結(jié)果與實際建造的上承式拱橋有所不同，拱上立柱不是豎直的而是傾斜的，且立柱數(shù)量較少，頂部與橋面結(jié)合位置通過分叉相連.這一現(xiàn)象表明，在漸進法結(jié)構(gòu)優(yōu)化的過程中，結(jié)構(gòu)會向傳力路徑最短的方向進化，且力流有合并的趨勢.

綜合比較不同矢跨比的優(yōu)化結(jié)果可以看出，只有矢跨比在1／10.0到1／2.5之間通過拓?fù)鋬?yōu)化才有可能得到近似為上承式拱橋的結(jié)果，這與實際工程中拱橋所常用的矢跨比范圍吻合.當(dāng)矢跨比過大或過小時都將難以形成合理的拱軸線，拱橋?qū)⒉皇亲顑?yōu)的結(jié)構(gòu)形式.

在矢跨比為1／10.0時，優(yōu)化過程中共經(jīng)歷了桁架結(jié)構(gòu)、斜腿剛構(gòu)、上承式拱橋3種主要的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螒B(tài)，如圖3所示.正是由于采用了雙向結(jié)構(gòu)漸進法，優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)得以在不同的拓?fù)湫问介g轉(zhuǎn)換.否則，在該矢跨比條件下，優(yōu)化將在第1種桁架拓?fù)湫螒B(tài)破壞后終止，而無法形成上承式拱橋.

雖然這3種結(jié)構(gòu)形態(tài)的進化率不同，但作為優(yōu)化過程的中間結(jié)果都可以認(rèn)為是受力相對合理的結(jié)構(gòu)形式.尤其是在概念設(shè)計階段的找型應(yīng)用，不論是中間結(jié)果還是最終結(jié)果都可以作為設(shè)計的比選方案.至于最終采用哪種橋梁形式，還需要綜合考慮凈空要求、可施工性、美觀等因素后決定.

3.2 下承式拱橋找型

若仍采用矢跨比1／5.0的設(shè)計區(qū)域，將支撐位置設(shè)置為與橋面相同高度處，橋面位于優(yōu)化區(qū)域的下方，則經(jīng)拓?fù)鋬?yōu)化后可得到下承式拱橋的形式，如圖4所示.由于采用的是Von Mises應(yīng)力準(zhǔn)則，優(yōu)化過程中不會區(qū)分單元的拉壓性質(zhì)，因此將下承式拱橋的優(yōu)化區(qū)域和邊界條件以橋面對稱后，優(yōu)化結(jié)果與下承式拱橋相對于橋面對稱，如圖5所示.這種拓?fù)湫问脚c上承式懸?guī)虻慕Y(jié)構(gòu)形式相似，該橋型與下承式拱橋的受力特點相反，懸?guī)б允芾瓰橹鞫鴳規(guī)系牧⒅鶆t主要受壓.

上述結(jié)構(gòu)優(yōu)化區(qū)域內(nèi)都采用了單一材料，但由于各個部件拉壓受力明確，所以在實際應(yīng)用中根據(jù)受力性質(zhì)的不同而采用不同的材料.下承式拱橋的主拱圈和懸?guī)虻牧⒅允軌簽橹?，通常采用混凝土或型鋼材料；下承式拱橋吊桿和懸?guī)虻膽規(guī)б允芾瓰橹?，通常采用平行鋼絲索或鋼絞線.不同材料的容許應(yīng)力各不相同，而采用Von Mises應(yīng)力作為優(yōu)化準(zhǔn)則得到的結(jié)果中單元應(yīng)力相近，也就是說高強度材料的性能沒能充分發(fā)揮.如果僅是進行概念設(shè)計中的結(jié)構(gòu)找型那么該結(jié)果是有意義的，但若在此優(yōu)化結(jié)果上進行詳細設(shè)計則還需要依據(jù)不同材料的性能進行尺寸優(yōu)化.

3.3 懸索橋主纜找型

在懸索橋的優(yōu)化過程中人們最關(guān)心的是主纜的形狀，因此，下文只對主纜的線形進行優(yōu)化.假定采用豎直吊桿，將吊桿所在列的所有單元均設(shè)置為不可刪除的單元，吊桿下端設(shè)置豎向的集中力.不考慮橋塔和橋面，只在主纜的兩端設(shè)置固定約束，如圖6a所示，圖中F為節(jié)點荷載.

由于主纜材料只能受拉，因此優(yōu)化過程中需要對優(yōu)化準(zhǔn)則略作修改.優(yōu)化過程中用第一主應(yīng)力替代Von Mises應(yīng)力作為評價材料有效性的指標(biāo).優(yōu)化過程中首先需要將結(jié)構(gòu)中受壓的單元逐步刪除，再提高進化率刪除拉應(yīng)力小的單元，最終保留下來的單元將是承受較大拉應(yīng)力的高效單元.

優(yōu)化結(jié)果與常見的懸索橋主纜線形相近（圖6b）.但由于單元劃分較粗，所設(shè)置的吊桿較為稀疏，不能模擬實際懸索橋的吊桿分布，所以優(yōu)化結(jié)果與實際的懸索橋的線形略有不同.若網(wǎng)格劃分得足夠密，則可以按實際懸索橋的吊桿布置來施加荷載，得到的結(jié)果是靜力荷載作用下最優(yōu)的主纜線形.

3.4 斜拉橋橋塔找型

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法不僅可用于橋梁整體結(jié)構(gòu)的找型，還可以用于橋梁部件的找型.斜拉橋中主塔是最能體現(xiàn)全橋設(shè)計理念的重要部件.纜索承重橋橋面板上荷載經(jīng)纜索傳至主塔，再由主塔傳至基礎(chǔ)，橋塔的順橋向力一般相互平衡，橋塔主要承受豎直方向的力.由于不考慮橋塔縱橋向受力，因此可只對橋塔橫橋向的結(jié)構(gòu)形式進行拓?fù)鋬?yōu)化.

為減小運算量，只取1／2結(jié)構(gòu)進行分析，初始模型如圖7a所示.考慮橋塔中間有橋面通過的情況，在橋塔中部應(yīng)留有孔洞，于是在優(yōu)化前先將橋塔中間行車道通過的部分設(shè)置為不參與優(yōu)化的非結(jié)構(gòu)單元（圖7a中深色部分）.在橋塔頂部設(shè)置一個豎向集中力，模擬纜索傳遞至橋塔的荷載.橋塔基礎(chǔ)的約束設(shè)置在優(yōu)化區(qū)域底部中間的位置.

橋塔拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果為鉆石型橋塔，如圖7b所示.這種形式橋塔不僅造型美觀而且傳力路徑最短，來自主纜的豎向荷載繞過主梁后直接傳至基礎(chǔ)，許多已建成的斜拉橋的主塔都采用了該種形式.

4 橋梁結(jié)構(gòu)三維空間找型

二維平面模型無法表達單元的厚度，因此優(yōu)化結(jié)果中不能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)各部分在橫橋向的稀疏程度.為能更加準(zhǔn)確地表達結(jié)構(gòu)、獲得空間內(nèi)材料的最優(yōu)分布，需要將拓?fù)鋬?yōu)化方法推廣至三維空間.三維拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可以展示出橋梁各個維度的形狀，從而給設(shè)計人員更具啟發(fā)性和指導(dǎo)性的概念設(shè)計方案.

由于所編制的命令流程序采用雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，二維平面與三維空間問題都采用相似的力學(xué)模型和優(yōu)化準(zhǔn)則，具有很強的通用性，所以從二維平面拓展到三維空間應(yīng)用的過程中并不需要對程序進行過多修改.下文結(jié)合一座跨徑200m、橋面寬36m的峽谷橋概念設(shè)計實例來說明如何將三維空間內(nèi)的拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)應(yīng)用于橋梁的找型設(shè)計中.

為提高計算效率，計算時采用1／4模型來模擬全橋.建模時采用三維結(jié)構(gòu)實體單元（solid65），初始模型尺寸為100m×20m×18m，單元都為邊長1m的立方體，共36 000個單元.優(yōu)化區(qū)域最上面一層單元為行車道板，將其設(shè)置為不進行優(yōu)化的單元，同時施加1×105MPa的均布荷載.最后在底面角點處3 m×3m的區(qū)域內(nèi)設(shè)置固定約束以模擬支座.

優(yōu)化結(jié)果如圖8所示，其立面圖與二維矢跨比1／10.0拱橋優(yōu)化過程的中間形態(tài)相近.從角視圖可以看出，2片桁架彼此分離并向內(nèi)傾斜，由于荷載中未考慮橫向受力，所以優(yōu)化結(jié)果中橫向連接的構(gòu)件較少，橫向傳力主要由橋面板承擔(dān).中間桁架跨度較大，兩邊各有2根斜桿將橋面荷載傳至下弦桿.下弦桿是全橋的重要受力構(gòu)件，雖然只有1層結(jié)構(gòu)單元，但相比于其他桿件較寬.從中間向兩邊桁架高度隨彎矩的減小而降低.如果優(yōu)化區(qū)域足夠大，中間的桁架會形成類似彎矩圖的拋物線形狀.根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果所得的最終設(shè)計方案如圖9.

5 結(jié)語

以Von Mises應(yīng)力作為優(yōu)化準(zhǔn)則的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法可以應(yīng)用于橋梁設(shè)計階段的找型研究.采用該方法得出的結(jié)構(gòu)形式接近全應(yīng)力結(jié)構(gòu)，傳力路徑簡潔流暢且有相互合并的趨勢.雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法較傳統(tǒng)漸進法收斂性有顯著改善，優(yōu)化過程中拓?fù)湫问娇稍诙鄠€局部最優(yōu)解間轉(zhuǎn)化.雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法可以根據(jù)材料的特性對優(yōu)化準(zhǔn)則進行適當(dāng)調(diào)整，以得出適合不同材料的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问?

二維平面模型中假定結(jié)構(gòu)在另一維度是等厚度的，所以二維優(yōu)化的結(jié)果雖然能反映合理結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫问?，但不能?zhǔn)確描述實際中空間結(jié)構(gòu)的最優(yōu)材料分布.雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法原理簡單直觀，通用性強，可以直接拓展到三維空間，從而展示結(jié)構(gòu)材料在空間各個維度內(nèi)的最優(yōu)分布形式.三維拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果合理而富有啟發(fā)性，基于該拓?fù)湫问娇梢栽O(shè)計出美觀而實用的橋梁方案.

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