樓曉明，朱克宏，朱亞娟

（1.同濟大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2.中鐵二十四局集團有限公司，上海 200070；3.上海港灣軟地基處理有限公司，上海 200092）

用理論公式計算地基承載力的方法有兩大類，一類稱為界限荷載公式，另一類稱為極限荷載公式.

通過限制塑性區(qū)范圍的界限荷載公式，自前蘇聯(lián)20世紀(jì)50年代的地基規(guī)范采用以后我國的地基規(guī)范至今一直采用.我國建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范一直推薦條形荷載下地基承載力的理論公式p1／4（臨界荷載）、pcr（臨塑荷載）作為地基承載力的特征值或容許值［1－2］，臨塑荷載與臨界荷載統(tǒng)稱界限荷載或界限承載力.

在實際工程中，矩形、圓形的獨立基礎(chǔ)更為常見，靜載試驗也通常采用方形、圓形的載荷板.將平面應(yīng)變條件下推導(dǎo)的p1／4，pcr用于矩形或圓形的獨立基礎(chǔ)雖然是偏安全的，但當(dāng)這種差異較大時，也就意味著地基承載力還有較大的潛力，不可忽視.

根據(jù)剛塑性力學(xué)推導(dǎo)的極限荷載公式，Terzaghi，Meyerhof，Hansen，Vesic通過形狀修正系數(shù)將條形基礎(chǔ)極限荷載公式各組成部分進(jìn)行逐項修正，可用于矩形、圓形基礎(chǔ)的承載力計算［3］.上海地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范1999年、2010年版均推薦了用Hansen極限承載力公式計算地基承載力設(shè)計值的方法，粘聚力和內(nèi)摩擦分別除以不同的分項系數(shù)作為安全儲備，采納了其基礎(chǔ)形狀修正系數(shù)［4］.修正方法對于圓形基礎(chǔ)在假定剛塑性的前提下有復(fù)雜的軸對稱解［5］；對于矩形基礎(chǔ)，由于在數(shù)學(xué)上求解困難很大，多是根據(jù)各種形狀基礎(chǔ)所做的對比載荷試驗得到的［3，6］.周中等假定主動朗金區(qū)、過度區(qū)、被動朗金區(qū)為圓錐或環(huán)錐面，推導(dǎo)了圓形地基與粘聚力、基礎(chǔ)埋深相關(guān)的極限承載力理論解，經(jīng)多種土性指標(biāo)驗算，結(jié)果與Vesic半經(jīng)驗解接近；與基礎(chǔ)寬度或土體重度相關(guān)的極限承載力項直接采用Vesic半經(jīng)驗解［7］.應(yīng)永法等用非線性有限元分析了圓形板幾何尺寸、剛度、埋深、邊界條件對基礎(chǔ)沉降、塑性區(qū)、極限承載力的影響，未討論圓形基礎(chǔ)的形狀影響［8］.

我國長期采用基于界限荷載的條形基礎(chǔ)承載力公式，總體上還缺乏采用地基極限承載力及安全系數(shù)取值的經(jīng)驗.對于界限荷載公式，則沒有考慮基礎(chǔ)形狀方面的理論與經(jīng)驗：界限荷載中是否應(yīng)考慮基礎(chǔ)形狀系數(shù)？如要考慮，與極限承載力公式中的基礎(chǔ)形狀系數(shù)是否相同？

本文根據(jù)平面應(yīng)變條件下推導(dǎo)p1／4，pcr的相同思路建立圓形基礎(chǔ)的界限荷載公式及基礎(chǔ)形狀系數(shù)，并與極限荷載公式中的形狀系數(shù)比較，為確定圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)提供依據(jù).這雖然是一個經(jīng)典土力學(xué)問題，鑒于我國現(xiàn)在、將來需要大量修建各種油罐、筒倉，完善圓形基礎(chǔ)的承載力理論及更好地了解圓形基礎(chǔ)的承載機理具有重要現(xiàn)實意義.

1 圓形基礎(chǔ)的界限荷載與形狀系數(shù)

1.1 圓形荷載作用下地基任意點的附加應(yīng)力

根據(jù)彈性力學(xué)空間軸對稱問題的基本解法可知，在半徑為R的圓形均布垂直荷載q作用下，彈性半空間體內(nèi)距離圓心水平距離為r、深度為z處的4個應(yīng)力分量表達(dá)式如下［9］：

本文根據(jù)公式（1）采用 MATLAB軟件編程計算出圓形荷載下地基中任意點的附加應(yīng)力數(shù)值解.

1.2 圓形基礎(chǔ)下地基中塑性區(qū)的計算

考慮基礎(chǔ)埋深D和地基土的自重應(yīng)力，圓形均布垂直荷載q作用下，地基中任意點的總應(yīng)力為

式中：γ0為基底以上土體重度；γ為基底以下土體重度；K為地基土靜止側(cè)壓力系數(shù)，為了與條形荷載比較，本文計算時假定K＝1，μ＝0.5.

求得主應(yīng)力σ1，σ2，σ3后，根據(jù) Mohr－Coulomb極限平衡理論可判斷土體的某點是否滿足極限平衡狀態(tài).當(dāng)某點正好達(dá)到該狀態(tài)時，大小主應(yīng)力滿足

式中，c，φ分別為土的粘聚力和內(nèi)摩擦角.令

由土體中一點達(dá)到極限平衡狀態(tài)時的摩爾圓可知，當(dāng)土體中一點正好達(dá)到極限平衡時β＝1；當(dāng)β＞1時，土體已經(jīng)處于塑性破壞狀態(tài)；當(dāng)β＜1時，土體正好處于彈性狀態(tài).連接地基內(nèi)所有β＝1的點，即可得到地基的塑性區(qū)開展情況.

1.3 圓形基礎(chǔ)界限荷載與形狀系數(shù)的表達(dá)

根據(jù)塑性區(qū)的容許深度可得地基土的容許承載力.為了便于與條形基礎(chǔ)的界限荷載比較，本文仍按照塑性區(qū)開展深度zmax＝d／4求圓形基礎(chǔ)地基相應(yīng)的臨界荷載p1／4，其中d為圓形荷載直徑.條形基礎(chǔ)的臨界荷載p1／4和臨塑荷載pcr采用式（5）計算：

式中：B為條形基礎(chǔ)寬度；Nγ，Nq，Nc為條形荷載的承載力系數(shù)，是φ的函數(shù).圓形基礎(chǔ)的臨界荷載p1／4和臨塑荷載pcr采用相似的計算公式.

式中：N′γ，N′q，N′c為圓形基礎(chǔ)的界限承載力系數(shù).

在地基極限承載力理論中，圓形基礎(chǔ)的承載力通常通過修正條形基礎(chǔ)承載力形狀系數(shù)后得到.

令sγ＝N′γ／Nγ，sc＝N′c／Nc，sq＝N′q／Nq，sγ，sc，sq即為圓形基礎(chǔ)界限荷載系數(shù)Nγ，Nc，Nq的形狀系數(shù).圓形基礎(chǔ)p1／4和pcr計 算公式相應(yīng)改寫為

2 圓形基礎(chǔ)界限荷載的形狀系數(shù)計算

2.1 Nγ項的圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sr

假定地基土K＝1，μ＝0.5，式（6）中D＝0，c＝0，此時圓形荷載的界限荷載p1／4＝γ（2R）N′γ.假定一基礎(chǔ)直徑，改變計算荷載，塑性區(qū)最大深度為d／4時的荷載是p1／4，根據(jù)上述公式可以算出這一基礎(chǔ)的N′γ；改變荷載半徑和土重度等參數(shù)重新進(jìn)行計算，發(fā)現(xiàn)N′γ不隨這些參數(shù)變化而變化.

假定條形荷載寬度與圓形荷載直徑相等，圖1列出了條形荷載及圓形荷載的承載力系數(shù)隨內(nèi)摩擦角的變化情況.根據(jù)圖1可以算出圓形荷載的形狀系數(shù)sγ＝N′r／Nγ，如圖2a所示.通過曲線擬合，可以得到形狀系數(shù)的表達(dá)式

圖1 條形、圓形基礎(chǔ)臨界荷載系數(shù)NγFig.1 Factors Nγof critical load of circular and strip foundation

由圖1可見，當(dāng)土的內(nèi)摩擦角增大時，N′γ隨之增大，說明地基的承載力提高.同時從圖2a可以看出，當(dāng)摩擦角小于21°時，形狀系數(shù)隨土的內(nèi)摩擦角增大而不斷增大；當(dāng)超過21°時，形狀系數(shù)開始下降，這主要是由于此時圓形荷載的計算承載力系數(shù)隨內(nèi)摩擦角的增長趨勢變得平緩一些了.

2.2 Nc項的圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sc

令γ＝0，D＝0（不考慮土重），可類似進(jìn)行Nc與N′c的比較.圖2b反應(yīng)了圓形和條形基礎(chǔ)承載力系數(shù)比N′c／Nc，即sc的變化趨勢.通過圖2b對圓形基礎(chǔ)的形狀系數(shù)進(jìn)行擬合，可得如下表達(dá)式：

由式（9）可見，當(dāng)土的內(nèi)摩擦角增大時，sc隨之增大，說明地基的承載力不斷提高.改變c值進(jìn)行計算，可以發(fā)現(xiàn)sc不隨c值變化而變化；改變R值進(jìn)行計算，sc也不隨R值變化而變化.

2.3 Nq項的圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sq

令c＝0，N′γ為已知，改變其他參數(shù)分析N′q的變化.圖2c為圓形荷載與條形荷載承載力系數(shù)比N′q／Nq即sq的計算與擬合對比曲線，可知

從圖2c可以看出，當(dāng)土的內(nèi)摩擦角增大時，圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)不斷增大.改變D值，土體重度γ及荷載半徑無明顯變化.

3 圓形基礎(chǔ)界限與極限荷載的形狀系數(shù)比較

在地基極限承載力的各種理論公式中，有不少公式涉及了基礎(chǔ)形狀系數(shù)［3］，對于圓形基礎(chǔ)，相關(guān)系數(shù)的取值方法統(tǒng)一列于表1，其中Kp為被動土壓力系數(shù).鑒于界限承載力與極限承載力的區(qū)別主要體現(xiàn)在承載力系數(shù)Nγ，Nq，Nc中，在此將本文的基礎(chǔ)形狀系數(shù)與各極限承載力的基礎(chǔ)形狀系數(shù)進(jìn)行比較，周中等的理論解［7］與Vesic半經(jīng)驗解接近，不再進(jìn)行單獨比較.

由圖3a為各公式形狀系數(shù)sc隨內(nèi)摩擦角變化的情況，可知，本文形狀系數(shù)的變化趨勢與Meyerhof，Hansen，Vesic的相同，但總體數(shù)值偏低一些.

表1 圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)Tab.1 Shape factors of circular foundations

圖3b為各公式形狀系數(shù)sq隨內(nèi)摩擦角變化的情況，可知，內(nèi)摩擦角較小時本文形狀系數(shù)的變化趨勢與Hansen，Vesic的接近，但總體數(shù)值偏低一些；內(nèi)摩擦角較大時本文形狀系數(shù)的變化趨勢與Meyerhof，Vesic的接近.

由圖3c為本文公式與Meyerhof形狀系數(shù)sr隨內(nèi)摩擦角變化的情況，可知，內(nèi)摩擦角在10°～30°范圍時sγ隨內(nèi)摩擦角變化差別較大.同時根據(jù)表1，只有本文公式與Meyerhof形狀系數(shù)sr大于1，其他均小于1.Terzaghi公式的形狀系數(shù)相對其他公式均較小.

綜合以上比較結(jié)果，本文根據(jù)理論計算得到的圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sc，sq與已有成果較為接近，sγ則相差較大，建議實際使用取偏小的Meyerhof形狀系數(shù)sγ.由于極限承載力中的形狀系數(shù)都是根據(jù)各種形狀基礎(chǔ)所作的載荷模型對比試驗得到，這也某種程度上證明了本文計算方法的合理性.

4 算例分析

為了確保計算界限承載力的準(zhǔn)確性，先將計算得到的圓形荷載下地基的應(yīng)力等值線的對稱性條件、豎向應(yīng)力與文獻(xiàn)［10］中已有的結(jié)果進(jìn)行檢驗.

某工程為粉質(zhì)粘土地基，已知土的重度為18.8 kN·m－3，粘聚力c＝16kPa，摩擦角φ＝14°，基礎(chǔ)埋深1.2m，靜載試驗的荷載－沉降（p－s）曲線見圖4，根據(jù)s／b＝0.010～0.015的相對變形指標(biāo)承載力特征值為124～150kPa，其中b為荷載板寬度.

根據(jù)條形基礎(chǔ)公式，臨界荷載為126.5kPa，如表2所示，與條形基礎(chǔ)Prandle極限荷載比較，安全系數(shù)為2.21.根據(jù)圓形基礎(chǔ)公式，臨界荷載為154.4 kPa，如表2所示，與圓形基礎(chǔ)極限荷載比較，安全系數(shù)為2.24～2.49.可見，本文得到的圓形基礎(chǔ)臨界荷載相對于極限承載力的安全系數(shù)與條形基礎(chǔ)臨界荷載相對于極限承載力的安全系數(shù)大致是匹配的.

圖4 載荷板靜載試驗的p－s曲線Fig.4 p－s curve of plate-bearing test

5 結(jié)論與討論

根據(jù)理論計算得到的圓形基礎(chǔ)臨界荷載形狀系數(shù)sc，sq與極限承載力的有關(guān)成果較為接近，sγ則相差較大，為安全起見，建議實際使用取偏小的Meyerhof形狀系數(shù)sγ.由于極限承載力中的形狀系數(shù)根據(jù)各種形狀基礎(chǔ)所作的載荷模型對比試驗得到，這也某種程度上證明了本文計算方法的合理性.

表2 條形基礎(chǔ)與圓形基礎(chǔ)臨界荷載的安全系數(shù)Tab.2 Safety factors of critical bearing capacity of strip and circular foundations

圓形基礎(chǔ)臨界荷載相對于極限承載力的安全系數(shù)與條形基礎(chǔ)界限承載力相對于極限承載力的安全系數(shù)大致匹配，這說明對于圓形基礎(chǔ)采用臨界荷載作為設(shè)計使用荷載安全度是有保證的.

圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sc，sq，sγ均隨內(nèi)摩擦角的增大而增大，因此，對于土性較好的圓形基礎(chǔ)，如果采用圓形基礎(chǔ)承載力公式設(shè)計而不是條形基礎(chǔ)，可更多地利用地基承載力，節(jié)省工程造價.

本文得到的圓形基礎(chǔ)臨界荷載公式（7）可以考慮以基底標(biāo)高為界的簡單雙層地基情況.對于基底以下的多層地基，實用上可采用Hansen加權(quán)平均法［11］，將最深塑性區(qū)d／4內(nèi)不同土層的重度、粘聚力和內(nèi)摩擦角按厚度加權(quán)平均，然后將這些平均值代入公式計算.這表明該公式只能反映最深塑性區(qū)以內(nèi)土層的作用.

若最深塑性區(qū)以下（z＞d／4）有軟弱下臥層，軟弱下臥層會改變上層土的應(yīng)力分布，軟弱層也可能是塑性區(qū)，臨界荷載計算時應(yīng)予以考慮.令基底與軟弱下臥層頂面間的持力層厚度為h，最新的上海地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范規(guī)定：當(dāng)0.25≤h／d≤0.70時，粘聚力和內(nèi)摩擦角按2層土的平均值計算；只有當(dāng)h／d＞0.70時，可不考慮軟弱下臥層的影響［4］.

采用多層彈性體系的有關(guān)解答，按照相似的思路也可以得到相應(yīng)的臨界荷載數(shù)值；但由于變量增加很多，要得到簡潔的計算公式、計算系數(shù)表達(dá)形式困難會非常大.

本文在推導(dǎo)圓形基礎(chǔ)臨界荷載公式時，為了方便與條形基礎(chǔ)比較，采用了相同的理想化假定模式，例如：地基土K＝1，出現(xiàn)塑性區(qū)后仍然用彈性力學(xué)計算土中應(yīng)力.由此帶來的局限性《土力學(xué)》教科書中均有論述，本文不再復(fù)述.

［1］ 中華人民共和國建設(shè)部.GB50007—2002建筑地基基礎(chǔ)規(guī)范［S］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2002.

Ministry of Construction of the People’s Republic of China.GB 50007—2002 National standard of the peoples republic of china ［S］.Beijing： China Architecture and Building Press，2002.

［2］ 上海市城鄉(xiāng)建設(shè)交通委員會.DBJ08-11—1989地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范［S］.上海：［s.n.］，1989.

Shanghai Municipal Commission of City Development and Transport DBJ08-11—1989Shanghai engineering code：foundation design code［S］.Shanghai：［s.n.］，1989.

［3］ Manjriker Gunaratne.The foundation engineering handbook［M］.Boca Raton：CRC Press，2006.

［4］ 上海市城鄉(xiāng)建設(shè)交通委員會.DGJ08-11—2010地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范［S］.上海：［s.n.］，2010.

Shanghai Municipal Commission of City Development and Transport.DGJ08-11—2010Foundation design code［S］.Shanghai：［s.n.］，2010.

［5］ 溫特科恩，方曉陽.基礎(chǔ)工程手冊［M］.錢鴻縉，葉書麟，譯.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1983.

Winterkorn H F，F(xiàn)ang Asaiyang.The foundation engineering handbook［M］.Translated by QIAN Hongjin，YE Shulin.Beijing：China Architecture and Building Press，1983.

［6］ 黃紹銘，高大釗.軟土地基與地下工程［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2005.

HUANG Shaoming， GAO Dazhao. Foundation and underground engineering in soft ground［M］.Beijing：China Architecture and Building Press，2005.

［7］ 周中，傅鶴林，李亮.圓形淺基礎(chǔ)地基承載力的理論解［J］.長沙鐵道學(xué)院學(xué)報，2002，20（3）：12.

ZHOU Zhong，F(xiàn)U Helin，LI Liang.Theoretical solution of bearing capacity of shallow circular foundation［J］.Journal of Changsha Railway University，2002，20（3）：12.

［8］ 應(yīng)永法、泮威風(fēng).圓形基礎(chǔ)板下地基強度與變形非線性性狀研究［J］.巖土力學(xué)，2002，23（2）：250.

YING Yongfa，PAN Weifeng. Nonlinear finite element analysis of strength and settlement of soft soil foundation unfer circular plank［J］.Rock and Soil Mechanics，2002，23（2）：250.

［9］ 頓志林，高家美.彈性力學(xué)及其在巖土工程中的應(yīng)用［M］.北京：煤炭工業(yè)出版社，2003.

DUN Zhilin，GAO Jiamei.Elasticity and its application in geotechnical engineering ［M］. Beijing：Coal Industry Press，2003.

［10］ 高大釗.土力學(xué)與基礎(chǔ)工程［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1998.

GAO Dazhao.Soil mechanics and foundation engineering［M］.Beijing：China Architecture and Building Press，1998.

［11］ 袁凡凡，閆澍旺，孫萬禾.關(guān)于成層土地基極限承載力的計算方法［J］.水利學(xué)報，2001，32（3）：41.

YUAN Fanfan，YAN Shuwang，SUN Wanhe.Methods for estimating the ultimate bearing capacity of layered foundations［J］.Journal of Hydraulic Engineering.2001，32（3）：41.