金 偉

(蘇州吳中區(qū)木瀆實驗中學(xué),江蘇 蘇州 215101)

用托盤天平測量物體的質(zhì)量時,按規(guī)定程序進行正常操作,最后即可讀數(shù):右盤中砝碼的總質(zhì)量與標(biāo)尺示數(shù)值之和,即等于所測物體的質(zhì)量.但是對于其中深藏的奧秘,即使在學(xué)過杠桿的平衡條件之后,絕大部分的學(xué)生是只知其然,而不知其所以然.因此,有必要分析一下產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因,進而闡明托盤天平示數(shù)的機理,徹底解決如何對托盤天平正確讀數(shù)的問題.

1 出自教學(xué)目標(biāo)要求外的追問

不知道托盤天平示數(shù)基理的原因很明顯,因為這個問題超越了課程標(biāo)準(zhǔn)及現(xiàn)行教材的教學(xué)目標(biāo)要求.出于論述的需要,擬將課程標(biāo)準(zhǔn)和教材中有關(guān)托盤天平的背景材料摘錄于下:

(1)義務(wù)教育物理課程標(biāo)準(zhǔn)的字里行間雖然沒有出現(xiàn)“托盤天平”四字,但是在第三部的科學(xué)內(nèi)容主題1中出現(xiàn)“會測量固體和液體的質(zhì)量”,主題2中出現(xiàn)“學(xué)會使用簡單機械改變力的大小和方向”,兩項知識技能目標(biāo)的用詞實際上肯定了眾多簡單機械中身份特殊的托盤天平的地位和作用,而它承擔(dān)了測量物體質(zhì)量的重任,其教學(xué)目標(biāo)定格在“會用”.

(2)《蘇科版·物理》8年級下冊第6章第1節(jié)闡述了托盤天平的結(jié)構(gòu)和使用方法.

實驗室里常用托盤天平測量物體的質(zhì)量.

托盤天平使用說明.

結(jié)構(gòu)(圖1):

圖1

使用:

①使用天平時,應(yīng)將天平放在水平工作臺上.

②調(diào)節(jié)平衡時,應(yīng)將游碼移至標(biāo)尺左端的“0”刻度線處,再調(diào)節(jié)橫梁上的平衡螺母,使指針對準(zhǔn)分度盤中央的刻度線.

③測量物體質(zhì)量時,應(yīng)將物體放在天平的左盤;用鑷子向右盤加減砝碼;在標(biāo)尺上移動游碼,使指針對準(zhǔn)分度盤中央的刻度線.此時,右盤中砝碼的總質(zhì)量與標(biāo)尺示數(shù)值之和,即等于所測物體的質(zhì)量.

注意事項(本文略).

(3)《蘇科版·物理》9年級上冊第11章第1節(jié)暗示了托盤天平的原理和實質(zhì).

應(yīng)用杠桿原理分析前面撬圖針的例子可知,由于動力臂大于阻力臂,因此動力小于阻力,這類杠桿是省力杠桿.如果動力臂小于阻力臂,要使杠桿平衡,動力就必須大于阻力,這類杠桿就是費力杠桿.還有一類杠桿的動力臂等于阻力臂,這類杠桿就是等臂杠桿(后面“知識梳理”欄加3“杠桿平衡時,動力等于阻力”).

圖11－6中(指教材中圖11－6,例舉a托盤天平,b手推車,c筷子,d笤帚,e船槳)是一些常見器具,請對它們應(yīng)用的杠桿進行分類,并說出分類的原則.

不難看出,教材關(guān)于質(zhì)量的測量工具的教學(xué)目標(biāo),重在了解托盤天平的結(jié)構(gòu),并能辨別托盤天平使用過程中的錯誤.通過閱讀托盤天平的使用說明書,學(xué)會正確使用托盤天平測量固體或液體的質(zhì)量.根據(jù)漸進性學(xué)習(xí)原則,該階段教學(xué)目標(biāo)只要考慮這三個方面,而重點鎖定在托盤天平的用法,無需上升到應(yīng)用托盤天平測量物體質(zhì)量所依據(jù)的原理.而學(xué)生進入9年級上學(xué)期,關(guān)于杠桿原理及杠桿的應(yīng)用的教學(xué)目標(biāo)來看,似乎教材只要求運用杠桿原理能對杠桿進行分類,并了解分類原則.對托盤天平來說,只要求知道它是等臂杠桿,動力等于阻力.教者能把握住這一要求,從降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度來看,也可認(rèn)為實現(xiàn)了托盤天平測量原理的教學(xué),彌補了初二階段留下的空白.

然而,教學(xué)過程中,也發(fā)現(xiàn)一些“見異思遷”、“敢于質(zhì)疑”的學(xué)生.在討論和交流時,提出了令教者刮目相看、頗為費解的問題:“既然托盤天平是等臂杠桿,天平平衡時,動力等于阻力,那么為什么使用天平測量物體質(zhì)量時,最后的結(jié)果是右盤中砝碼的總質(zhì)量與標(biāo)尺示數(shù)值之和才等于所測物體的質(zhì)量,這個結(jié)果是怎樣得出的？”,“兩者之間怎樣才能溝通？”.對于善于發(fā)現(xiàn)問題,敢于提出問題的學(xué)生,教師首先要加以肯定他們的鉆研精神和洞察能力,然后教師再排除思維定勢,和學(xué)生攜手合作探討.不僅如此,作為教者更應(yīng)深思,學(xué)生已經(jīng)提出挑戰(zhàn),我們的認(rèn)知不能停留在原來的初級階段,需作進一步的解讀.

2 關(guān)鍵突破點在于導(dǎo)出天平游碼質(zhì)量的表達式.

解讀擬分以下三步展開:

(1)運用杠桿原理,得出待測物體質(zhì)量的表達式.

觀察托盤天平結(jié)構(gòu),特別留意下列的解讀有關(guān)的部件:天平左、右兩臂的臂長,設(shè)為L;天平橫梁標(biāo)尺上從“0”刻度線到最大刻度線之間的距離,設(shè)為L0;天平橫梁標(biāo)尺上的最大刻度值為m0.

細讀托盤天平的用法,突出下列幾點:①開始游碼移至標(biāo)尺左端的“0”刻度線,調(diào)節(jié)天平橫梁平衡.②被稱物體放在天平左盤,對物體質(zhì)量估測后,在右盤中由大及小加減砝碼,當(dāng)加到最小一個砝碼時,發(fā)現(xiàn)指針偏至中央刻度線右側(cè),則應(yīng)拿去這個砝碼,改為在標(biāo)尺上移動游碼,使指針兩次對準(zhǔn)分度盤中央的刻度線,即天平第二次達到平衡.③設(shè)被稱物體的質(zhì)量為m,右盤中砝碼的質(zhì)量為m砝,游碼的質(zhì)量為m游,天平第二次平衡時,游碼所在位置離橫梁“0”刻度線的距離為Lx.

正確運用杠桿原理推導(dǎo).由于稱量前,調(diào)節(jié)天平處于平衡狀態(tài),此前天平的受力情況在下面的推導(dǎo)中可均不考慮,只要著眼稱量過程中,特別是第二次平衡時,其狀態(tài)的轉(zhuǎn)化時的力和力臂的乘積.

當(dāng)被稱物體放在左盤時,天平所受逆時針方向的力和力臂的乘積(相當(dāng)阻力和阻力臂的乘積)為mgL.

右盤砝碼的重力使天平受到順時針方向的力和力臂的乘積為m砝gL.

游碼重力使天平受到順時針方向的力和力臂的乘積為m游gLx,后兩項均為順時針方向力和力臂的乘積,它們之和相當(dāng)動力和動力臂的乘積.

根據(jù)杠桿原理,可得到:mgL＝m砝gL＋m游gLx,變形得:

現(xiàn)在的問題是(1)式右邊的第二項怎樣和“標(biāo)尺示數(shù)值”相對應(yīng).

(2)再運用杠桿原理,得出游碼質(zhì)量的表達式.

游碼的質(zhì)量m游跟前面提到托盤天平三部件L、L0、m0的量值有關(guān),換句話說,只要讀出m0的數(shù)值,再用刻度尺量出L、L0的數(shù)值,即可測算出游碼的質(zhì)量值.

我們可以假想,對于一架已經(jīng)調(diào)節(jié)平衡的天平來說,假如在天平的左盤放一個很小的物體,這個物體的質(zhì)量就是天平橫梁上的最大刻度值m0.由于它的重力,對天平產(chǎn)生逆時針方向的力和力臂的乘積:m0gL.

為了恢復(fù)天平的平衡,可以將游碼移至標(biāo)尺的最大刻度線的位置,游碼的重力將對天平產(chǎn)生順時針方向的力和力臂的乘積:m游gL0.

根據(jù)杠桿的原理可得到:m0gL＝m游gL0.游碼的質(zhì)量:

將(2)式代入(1)式,再作變形,可得物體質(zhì)量的第二個表達式為

注意(m0/L0)表示橫梁標(biāo)尺上單位長度所代表的質(zhì)量值,它與游碼在橫梁標(biāo)尺上移動距離Lx的乘積,就是標(biāo)尺的示數(shù)值.相當(dāng)于在天平右盤放一個質(zhì)量為(Lx/L0)m0的砝碼.由于Lx≤L0,所以(Lx/L0)m0≤m0,亦即這個示數(shù)值比最小砝碼的質(zhì)量m0為小,將游碼移至最大刻度值位置(Lx＝L0)除外.

3 解讀受阻的根源及其整合梳理

解讀托盤天平示數(shù)基理有一種常見的低級錯誤.造成這種錯誤的根源在于未顧及天平的特殊結(jié)構(gòu),特別疏忽了天平第一步調(diào)節(jié)的特點,沒有正確應(yīng)用平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)化過程中的杠桿平衡條件.

(1)錯誤方法的思考順序如下:

開始調(diào)節(jié)天平平衡(按規(guī)定游碼置于標(biāo)尺左端的“0”刻度線處),將被測物體放在左盤時,天平右盤所加砝碼為m砝,游碼移至距標(biāo)尺“0”刻度線的距離為Lx,并設(shè)Lx＜L0/2,此時天平橫梁平衡.

以標(biāo)尺中央刻度線即天平的刀口為支點,則有

動力×動力臂＝m砝gL.

阻力×阻力臂＝mgL＋m游g(L0/2－Lx).由動力×動力臂＝阻力×阻力臂變形,得到

如果Lx＜L0/2,則

如果Lx＝L0/2,游碼位于天平轉(zhuǎn)軸中心,游碼重力的力臂為0,這樣有

如果Lx＞L0/2,游碼的重力作用使天平順時針轉(zhuǎn)動為動力×動力臂的組成部分,就有

極易發(fā)現(xiàn),上述(3)、(4)、(5)三個結(jié)果都是錯的.因為從(3)式可得m＜m砝,(4)式直接給出m＝m砝,(5)式可得到m＞m砝.這三個式子相互矛盾的.實際上,只要游碼移離“0”刻度線,總可得到m＞m砝的半定量判斷.之所以會出現(xiàn)如此差錯,歸根到底是推導(dǎo)過程“參照物”不一致.開始調(diào)節(jié)天平平衡時,游碼是置于標(biāo)尺“0”刻度線位置,這是前提條件.而后運用杠桿平衡條件判斷列式時,游碼的重力與其力臂乘積(力矩)產(chǎn)生的效果,是相對標(biāo)尺中央刻度線(天平刀口)定位的,這是后置標(biāo)準(zhǔn).前提條件和后置標(biāo)準(zhǔn)相悖.但是前提條件在先,是決定因素,后置標(biāo)準(zhǔn)忽視了前提條件是致錯原因所在.不僅如此,按照這種推導(dǎo)思路,亦不可能正確求出游碼質(zhì)量的表達式.因為亦無法得出被測物體質(zhì)量的最終表達m＝m砝＋(Lx/L0)m0,致使解答受阻.但是,若將前提條件和后置標(biāo)準(zhǔn)有機整合和有序梳理,注意杠桿平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)換過程中的等量關(guān)系,就可另辟解讀途徑.

(2)正確方法(糾正后)的思考順序如下:

如圖2(a)所示調(diào)好的天平,天平刀口作為支點.

圖2

如在稱量的過程中,將天平調(diào)至如圖2(b)所示,游碼在支點左邊.天平左邊力與力臂的乘積與圖2(a)相比,力與力臂的乘積變化為:mgL－m游gLx.右邊力與力臂的乘積增加為:m砝gL.由于天平再次平衡,有杠桿原理得mgL－m游gLx＝m砝gL.即m＝m砝＋m游Lx/L.

如在稱量的過程中,將天平調(diào)至如圖2(c)所示,游碼在支點右邊.天平左邊力與力臂的乘積與圖2(a)相比,力與力臂的乘積變化為:mgL－m游gL1.右邊力與力臂的乘積增加為:m砝gL＋m游gL2.由于天平再次平衡,有杠桿原理得:mgL－m游gL1＝m砝gL＋m游gL2.即m＝m砝＋m游(L1＋L2)/L＝m砝＋m游Lx/L.

上述可見,無論游碼位置在刀口(杠桿支點)左側(cè)還是右側(cè),物體質(zhì)量的數(shù)學(xué)表達式不變,即m＝m砝＋m游Lx/L.

同樣利用本方法,可以得出游碼質(zhì)量的表達式.

如圖2(d)所示,與圖2(a)相比,同理可得:m0gL－m游gL1＝m游gL2.即m游(L1＋L2)＝m0L.整理得:m游＝m0L/(L1＋L2)＝m0L/L0.

最終得m＝m砝＋(Lx/L0)m0.

綜上可見,只要顧及天平的特殊結(jié)構(gòu)及天平的調(diào)節(jié)順序,正確地將杠桿的平衡條件用之天平原理的分析,不同的方法,最終殊途同歸.

4 托盤天平實為一等效等臂杠桿

從解讀托盤天平稱量示數(shù)的基理引發(fā)了筆者對托盤天平是否是等臂杠桿的思考.筆者認(rèn)為托盤天平嚴(yán)格地來說不是等臂杠桿,基于如下幾點:

(1)從結(jié)構(gòu)上來看.它是由兩大系列組成.一是兩個托盤和橫梁;二是游碼和標(biāo)尺.這兩大系列是形成復(fù)合杠桿,要說等臂杠桿只能是前者.

(2)從原理上來看.當(dāng)天平平衡時,依據(jù)杠桿平衡條件列出的計算式,mgL＝m砝gL＋m游gLx來看,該式不是等臂杠桿的列式.

(3)從稱量示數(shù)上來看.通常情況,待測物體的質(zhì)量(左盤)不等于右盤中的砝碼總質(zhì)量,亦即待測物體的重力(阻力)不等于右盤中砝碼的重力(動力),除非標(biāo)尺示數(shù)為0.

但是筆者認(rèn)為托盤天平可看作等效等臂杠桿.可以回眸前兩個表達式:mgL＝m砝gL＋m游gLx及m游＝m0L/L0,將它們合為一式:mgL＝(m砝g＋m0gL/L0)L,左盤中為質(zhì)量m的待測物體,右盤中是質(zhì)量為m砝＋m0L/L0的砝碼.左、右盤的臂長相等,用L表示,這是等臂杠桿平衡時的表達式,表明托盤天平確可當(dāng)作等臂杠桿處理.