許冬保

(江西省九江市第一中學(xué),江西 九江 332000)

2011年“高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測(cè)試”(英文名稱是Advanced Assessment for Admission,簡稱“AAA測(cè)試”),是由清華大學(xué)、中國人民大學(xué)、上海交通大學(xué)、西安交通大學(xué)、南京大學(xué)、浙江大學(xué)、中國科技大學(xué)組成的七校聯(lián)盟,共同發(fā)起且委托專業(yè)考試機(jī)構(gòu)組織的高中畢業(yè)生學(xué)業(yè)能力測(cè)試,俗稱“華約”自主招生考試.自主招生考試的命題指導(dǎo)思想是:“不以超出中學(xué)大綱為考查目的,但也可能有少量試題會(huì)超出中學(xué)教學(xué)要求”.旨在通過自主招生考試,對(duì)那些具有極大發(fā)展?jié)撃艿目忌鐒e選拔出來.［1］下面對(duì)通用基礎(chǔ)測(cè)試—自然科學(xué)中的物理部分試題第15題進(jìn)行分析,以饗讀者.

1 試題

圖1

如圖1所示,質(zhì)量分別為m和3m的物塊A、B用一根輕彈簧相連,置于光滑水平面上,物塊A剛好與墻接觸.現(xiàn)用外力緩慢向左推物塊B使彈簧壓縮,然后撤去外力,此過程中外力做功為W.求:

(1)從撤去外力到物塊A離開墻壁的過程中,墻壁對(duì)物塊A的沖量;

(2)在物塊A離開墻壁后的運(yùn)動(dòng)過程中,物塊A、B速度的最小值.

2 常規(guī)解法—能量與動(dòng)量的觀點(diǎn)分析

(1)外力對(duì)物塊B做功,使彈簧的彈性勢(shì)能增加.撤去外力,壓縮的彈簧將物塊A壓在墻壁處不動(dòng),彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊B的動(dòng)能.當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí),設(shè)物塊B的速度為v,由動(dòng)能定理,有

從撤去外力到物塊A離開墻壁的過程中,墻壁給物塊A以沖量,由動(dòng)量定理,有

(2)物塊A離開墻壁之后,在物塊A、B通過彈簧相互作用的過程中,設(shè)某一時(shí)刻,物塊A、B的速度分別為vA、vB,彈簧的彈性勢(shì)能記為ΔEp.取物塊B初始速度v的方向?yàn)槭噶康恼较?由動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律,有

彈簧達(dá)自然長度時(shí),物塊的速度有最值,因此彈簧的彈性勢(shì)能ΔEp＝0.

聯(lián)立解得

因此,在物塊A離開墻壁后的運(yùn)動(dòng)過程中,物塊A的最小速度為0,物塊B的最小速度為

3 另類解法1—質(zhì)心參考系中分析

對(duì)第(2)問,由動(dòng)量守恒定律,可求得質(zhì)心的速度vC.

圖2

在質(zhì)心參考系中,物塊A、B均作簡諧運(yùn)動(dòng).如圖2所示,選擇質(zhì)心的速度方向?yàn)槭噶康恼较?物塊A離開墻壁的時(shí)刻記為t＝0,兩物塊A、B的速度vA′、vB′與時(shí)間t的關(guān)系為

質(zhì)心C兩側(cè)彈簧勁度系數(shù)分別記為kA、kB,則上式中

kA、kB與彈簧勁度系數(shù)k之間的關(guān)系滿足

在質(zhì)心參考系中,某時(shí)刻兩物塊的坐標(biāo)滿足

物塊A、B相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的過程中,某時(shí)刻有

聯(lián)立解得

因此,在地面參考系中,兩物塊A、B的速度表達(dá)式分別為(取ωA＝ωB＝ω)

可見,vA與vB表達(dá)式中有一個(gè)共同的常數(shù)項(xiàng)3v/4,這正是質(zhì)心的速度,即系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)速度.vA與vB表達(dá)式中還有一個(gè)方向相反的余弦項(xiàng),它表示滑塊A與B相對(duì)于質(zhì)心各作簡諧運(yùn)動(dòng),其相位正好相反.由于因此,兩物塊的速度方向均向右,不可能向左.

4 另類解法2—非慣性參考系中分析

4.1 相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)［2］［3］

圖3

如圖3所示,設(shè)O為慣性系中固定點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)m1、m2相對(duì)O的位置矢量分別為r1、r2(黑斜體字母表示矢量,下同).假設(shè)質(zhì)點(diǎn)2施于質(zhì)點(diǎn)1的作用力記為F12,質(zhì)點(diǎn)1施于質(zhì)點(diǎn)2的作用力記為F21,F12、F21遵循牛頓第三定律,即F12＝－F21.

由牛頓第二定律,分別列出質(zhì)點(diǎn)1、質(zhì)點(diǎn)2的動(dòng)力學(xué)方程

兩質(zhì)點(diǎn)均在運(yùn)動(dòng).如果取質(zhì)點(diǎn)2為平動(dòng)的參考系,研究質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)2的運(yùn)動(dòng),相對(duì)徑矢為r＝r1－r2.計(jì)入慣性力則質(zhì)點(diǎn)1的動(dòng)力學(xué)方程為

對(duì)該式變換,即

4.2 相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程分析

圖4

對(duì)第(2)問,用相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程求解.題中兩物塊系統(tǒng)雖不孤立,但在豎直方向合外力為零,對(duì)物塊運(yùn)動(dòng)沒有影響,與孤立情況無異.因此可視為孤立兩體問題用相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程求解［4］.

選擇地面為參考系,取物塊B初始運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)閤軸,向右為正,如圖4所示.某時(shí)刻t,物塊A和B的坐標(biāo)分別記為xA和xB.

研究質(zhì)心x0的運(yùn)動(dòng),質(zhì)心坐標(biāo)為

系統(tǒng)所受合外力為0,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律知質(zhì)心速度不變.上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得質(zhì)心速度為

以物塊A為參考系,研究物塊B相對(duì)于物塊A的運(yùn)動(dòng).在此參考系中,將坐標(biāo)原點(diǎn)取在彈簧既不伸長也不縮短時(shí)物塊B所在的位置,如圖5所示.某時(shí)刻t,設(shè)物塊B的坐標(biāo)為xB′,滑塊B所受的合外力為彈簧的彈性力F＝－kxB′.由相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程得式中,約化質(zhì)量為

圖5

于是相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程改寫為

這是典型的諧振動(dòng)微分方程,其解為

于是滑塊B相對(duì)于滑塊A的運(yùn)動(dòng)位移

對(duì)上式求導(dǎo),即得滑塊B相對(duì)于滑塊A的運(yùn)動(dòng)速度

回到地面參考系,并利用質(zhì)心速度表達(dá)式可得

解得

以下討論同另類解法1.

說明:應(yīng)用相對(duì)動(dòng)力學(xué)求解時(shí),還可以類比水平彈簧振子模型進(jìn)行簡化處理,過程如下:

在物塊A離開墻壁后的運(yùn)動(dòng)過程中,以A為參考系,類比水平彈簧振子模型,B相對(duì)A作簡諧運(yùn)動(dòng),則B相對(duì)A的速度與時(shí)間t的關(guān)系為

對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒定律,有

解得

所得結(jié)果同上.

5 進(jìn)一步探究的問題

試題還可以增加以下探究問題:

(1)在物塊A離開墻壁后的運(yùn)動(dòng)過程中,試畫出兩物塊A、B的速度圖像.

由兩物塊A、B的速度表達(dá)式,可畫出速度圖像,如圖6所示.由圖像可以發(fā)現(xiàn):物塊A與B交替地拉推.每逢的奇數(shù)倍時(shí),彈簧處于最長或最短狀態(tài),且兩物塊的速度相等;每逢的偶數(shù)倍時(shí),彈簧處于自然長度,且兩物塊的速度取最值.由圖像還可求得A、B兩物塊的最大速度分別為

圖6

(2)在物塊A離開墻壁后的運(yùn)動(dòng)過程中,已知彈簧的勁度系數(shù)為k,則撤去外力后彈簧的最大伸長量x＝？

設(shè)彈簧達(dá)最大伸長時(shí)兩物塊速度為v′,由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律,有

初態(tài)時(shí),外力做功,彈簧的彈性勢(shì)能增加,彈簧壓縮量為x0,則由功能關(guān)系,有

彈簧達(dá)最大伸長量時(shí),由動(dòng)量守恒定律,有

解得

(3)在物塊A離開墻壁后的運(yùn)動(dòng)過程中,探究A、B兩物塊的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系.

對(duì)兩物塊的速度對(duì)時(shí)間積分,有

綜合以上分析,試題考查的是力學(xué)中的一類典型問題.通過定性分析知道彈簧在自然長度狀態(tài)時(shí)物塊出現(xiàn)速度的最小值,可以從能量及動(dòng)量的角度求解.在另類解法中,分別從質(zhì)心參考系及非慣性參考系出發(fā)研究兩物塊的運(yùn)動(dòng),深入問題的本質(zhì),揭示兩物塊運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,從更高的視角來審視兩物塊的運(yùn)動(dòng).這有利于學(xué)生分析問題和解決問題能力的提高.

1 于永建.大學(xué)自主招生物理命題特點(diǎn)與備考策略.中學(xué)物理教學(xué)參考,2011(10):2

2 鄭永令.二體問題與折合質(zhì)量.物理教學(xué),2011(1):5－8

3 蔡伯濂.力學(xué).湖南:湖南教育出版社,1985:196－197

4 梁昆淼.力學(xué)(上冊(cè) 第四版).北京:高等教育出版社,2010:181－188