何國(guó)亮， 楊本朝

(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系 河南 鄭州 450001; 2.信息工程大學(xué) 信息工程學(xué)院 河南 鄭州 450002)

0 引言

近年來, 非線性偏微分方程在物理學(xué)、動(dòng)力學(xué)、生物學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用, 尤其是物理和工程中的許多現(xiàn)象都可以用非線性微分方程來刻畫. 因此, 如何求得這些方程的精確解或者近似解便成為一個(gè)重要的研究課題[1]. 目前, 可以借助于多種方法來構(gòu)造非線性偏微分方程的顯式解, 例如Hirota雙線性方法[2]、代數(shù)幾何方法[3]、齊次平衡法和半逆法[4-5]以及Darboux變換方法[6-7]等, 其中Darboux變換法是求解非線性偏微分方程最有效的途徑之一.

本文從具有兩個(gè)位勢(shì)的4×4矩陣譜問題出發(fā), 利用規(guī)范變換, 得到了擾動(dòng)Korteweg-de Vries (KdV)方程[8]

ut=-uxxx+6uux;vt=-vxxx+6(uv)x

(1)

的Darboux變換, 并由此構(gòu)造出擾動(dòng)KdV方程的一些顯式解.

1 擾動(dòng)KdV方程的Darboux變換

構(gòu)造擾動(dòng)KdV方程的Darboux變換. 首先, 考慮矩陣譜問題[9]

χ

(2)

和輔助譜問題

χt=V(s,λ)χ=(Vij)4×4χ,

(3)

其中，

V11=V33=-ux，V12=V34=2u+4λ，V21=V43=-uxx+2u2+2uλ-4λ2，
V22=V44=ux，V13=V14=V23=V24=0，
V41=-vxx+4uv+2vλ，V42=vx，V32=2v，V31=-vx,

而u,v是兩個(gè)位勢(shì),λ是常值譜參數(shù),χ=(χ1,χ2,χ3,χ4)T，s=(u,v). 由相容性條件χxt=χtx，可得零曲率方程Ut-Vx+[U,V]=0，即擾動(dòng)KdV方程(1).

(4)

T11=T33=a+λ,T12=T34=d,T21=T43=ax+du-dλ,T22=T44=dx+a+λ,T31=b,T32=c,T41=bx+uc+dv-cλ,T42=cx+b,T13=T14=T24=T23=0,

直接計(jì)算得

detT=[λ2+(2a+dx+d2)λ+adx+a2-dax-ud2]2,

(5)

其中a,b,c,d為待定函數(shù).假設(shè)λ1,λ2滿足detT=(λ-λ1)2(λ-λ2)2=0,顯然當(dāng)λ=λj(j=1,2)時(shí),Φ的列向量線性相關(guān), 由此可得線性代數(shù)系統(tǒng)

(6)

(7)

考慮線性變換

(8)

(9)

(10)

(11)

2 擾動(dòng)KdV方程的顯式解

(12)

Ⅰ)選取擾動(dòng)KdV方程(1)的一組平凡解u=0,v=0, 則(2)和(3)式約化為

(13)

基解矩陣為

(14)

再由(7)式可得

由Darboux變換(11), 可得擾動(dòng)KdV方程(1)的一組顯式解

(15)

Ⅱ)選取擾動(dòng)KdV方程(1)的平凡解u=1,v=0，則(2)和(3)式約化為

(16)

可選取基解矩陣為

(17)

再由(7)式可得

由Darboux變換(11)，可得擾動(dòng)KdV方程(1)的一組顯式解為

(18)

Ⅲ)選取擾動(dòng)KdV方程(1)的一組平凡解u=1,v=1，則(2)和(3)式約化為

(19)

基解矩陣取為

(20)

再由(7)式可得

由Darboux變換(11)，可得擾動(dòng)KdV方程(1)的一組顯式解

(21)

參考文獻(xiàn)：

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[9] Ma Wenxiu，Geng Xianguo．New completely integrable Neumann systems related to the perturbation KdV hierarchy[J]． Phys Lett B，2000，475(1/2)：56-62．