項立銀，陳 楊

(中國船舶重工集團公司第七二四研究所，南京 210003)

0 引言

網(wǎng)格劃分是有限元計算的基礎(chǔ)，高質(zhì)量的網(wǎng)格對有限元計算的結(jié)果至關(guān)重要。數(shù)值計算中采用的網(wǎng)格通常可以分為兩類，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格與非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格［1］。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格是指網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的節(jié)點都具有相同數(shù)目的毗鄰單元，具有所需單元數(shù)量少、計算速度快、計算精度高等優(yōu)點，但適應(yīng)性差，適用于形狀規(guī)則的幾何體;非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格是指網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的內(nèi)部點不具有相同的毗鄰單元，即與網(wǎng)格剖分區(qū)域內(nèi)的不同內(nèi)點相連的網(wǎng)格數(shù)目不同。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格消除了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中節(jié)點的結(jié)構(gòu)性限制，節(jié)點和單元的分布可控性好，因而能較好地處理邊界。適用于模擬真實復(fù)雜外型，但收斂特性較差，計算精度低。

為了兼顧有限元計算對精度和效率的要求，本文將結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分技術(shù)融合起來。對于大型的三維模型，其相對規(guī)則部分用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，不規(guī)則部分用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。通過網(wǎng)格拓?fù)滢D(zhuǎn)化技術(shù)將交界面處的四面體網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成三角形網(wǎng)格來滿足拓?fù)湟恢?，實現(xiàn)網(wǎng)格連接，生成高質(zhì)量的有限元計算網(wǎng)格。

1 方法原理

工程或物理學(xué)中的許多問題通常是以未知函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)u 應(yīng)滿足微分方程組［2-3］:

同時，未知函數(shù)u 還應(yīng)滿足邊界條件:

其中，Ω為域，Γ為域Ω的邊界。

假如邊界條件(2）同時滿足邊界上的每一點，則等效積分方程

在求解域Ω中，若場函數(shù)u 是精確解，則在域Ω中任一點都滿足微分方程(1），同時在邊界Γ 上任一點都滿足邊界條件(2），此時等效積分形式(3）必然得到嚴(yán)格滿足。但是，對于復(fù)雜的實際問題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此需要找到具有一定精度的近似解。

假設(shè)u 可以采用近似函數(shù)來表示，一般形式為

其中，ai是待定參數(shù)，Ni為已知形函數(shù)。

對于三維力學(xué)問題，可取近似解:

顯然，在通常n 取有限項數(shù)的情況下近似解是不能精確滿足(1）和(2）的，形函數(shù)Ni的項數(shù)n 越多，近似解的精度將越高。對于三維力學(xué)問題，四面體的形函數(shù)n=4，六面體的形函數(shù)n=6，顯然在相同條件下六面體的計算精度要高于四面體。

有限元計算的精度和效率一直是一對矛盾體。采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格可以自動化分，但計算精度低，有時為了得到較精確結(jié)果而細(xì)化網(wǎng)格，計算量又太大甚至導(dǎo)致現(xiàn)有計算機無法計算。采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格計算精度高，但現(xiàn)有軟件通常不能自動劃分，需要用戶手動參與，對幾何體進(jìn)行分割等操作［4］。對于一些特別復(fù)雜的模型，即便人工參與劃分網(wǎng)格，要將三維模型切割成幾十甚至上百塊，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格難以實現(xiàn)。

為了取長補短，充分利用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的各自優(yōu)勢，在網(wǎng)格劃分的時候把幾何拓?fù)湎鄬σ?guī)則的部分化成六面體網(wǎng)格，而把相對復(fù)雜的部分化成四面體網(wǎng)格，但六面體網(wǎng)格無法向四面體網(wǎng)格自由過渡。本文采用網(wǎng)格拓?fù)滢D(zhuǎn)換實現(xiàn)網(wǎng)格連接，將六面體網(wǎng)格的交界面四邊形網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成三角形網(wǎng)格來滿足連接拓?fù)湟恢?，通過將轉(zhuǎn)化而來的三角形網(wǎng)格作為網(wǎng)格邊界實現(xiàn)連接面的節(jié)點匹配，最終生成期望的高質(zhì)量網(wǎng)格。

2 算例

2.1 網(wǎng)格劃分方法

以一簡單例子說明本文的網(wǎng)格劃分方法。如圖1所示，將模型分為兩個區(qū)域(六面體網(wǎng)格區(qū)域和四面體網(wǎng)格區(qū)域），首先進(jìn)行六面體網(wǎng)格區(qū)域的網(wǎng)格劃分，并將圖示交界面區(qū)域的四邊形網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成三角形網(wǎng)格，以轉(zhuǎn)化的三角形網(wǎng)格作為四面體網(wǎng)格劃分的邊界條件，進(jìn)行四面體網(wǎng)格劃分［5］。從最終的網(wǎng)格模型可以看出，在交界處這兩類的網(wǎng)格匹配得相當(dāng)好。

圖1 網(wǎng)格劃分方法示意

2.2 模型介紹

為了驗證上述方法的可行性與有效性，選取某通用機柜對其進(jìn)行模態(tài)分析。如圖2所示，該機柜總體尺寸較大，高度達(dá)到了1510 mm，而兩側(cè)壁較薄，僅為4 mm。但兩側(cè)壁幾何相對規(guī)則，而頂部和底部幾何形狀復(fù)雜，小特征較多。

圖2 通用機柜三維模型

2.3 有限元模型

分析機柜的結(jié)構(gòu)特點可以看出，機柜主體中間兩側(cè)壁部分形狀較為規(guī)則，頂部和底部幾何形狀復(fù)雜。若全部采用非結(jié)構(gòu)化四面體網(wǎng)格劃分，能較好地處理頂部和底部復(fù)雜的邊界，但單元數(shù)較多，達(dá)到了47204個單元，15778個節(jié)點;若全部采用結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格劃分，單元數(shù)較少，兩側(cè)壁較容易實現(xiàn)但頂部和底部幾何過于復(fù)雜，難以實現(xiàn)。因此，本文提出結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化相融合的網(wǎng)格對其進(jìn)行網(wǎng)格剖分。首先，對兩側(cè)壁進(jìn)行六面體網(wǎng)格劃分，并將交界面區(qū)域的四邊形網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成三角形網(wǎng)格，以轉(zhuǎn)化的三角形網(wǎng)格作為頂部和底部網(wǎng)格劃分的邊界條件，進(jìn)行四面體網(wǎng)格劃分。圖3左側(cè)為純四面體網(wǎng)格模型，右側(cè)為融合網(wǎng)格模型，共劃分了28037個單元，18086個節(jié)點。

圖3 機柜兩種網(wǎng)格劃分對比

2.4 仿真結(jié)果

仿真計算的約束條件與試驗安裝狀態(tài)一致，約束機柜底部3個方向的平動自由度與轉(zhuǎn)動自由度，對四面體網(wǎng)格模型和融合網(wǎng)格模型進(jìn)行模態(tài)分析，四面體網(wǎng)格模型的一階模態(tài)為37.13 Hz，振型如圖4所示。融合網(wǎng)格模型的一階模態(tài)為24.87 Hz，振型如圖5所示。

圖4 四面體網(wǎng)格機柜一階模態(tài)振型

圖5 融合網(wǎng)格機柜一階模態(tài)振型

2.5 仿真與實驗結(jié)果對比

在振動試驗平臺上固定機柜底部對該機柜進(jìn)行振動實驗。由于該實驗平臺測量范圍的限制，故只采集了一階模態(tài)，為28 Hz，結(jié)果見圖6。四面體網(wǎng)格模型和融合網(wǎng)格模型一階模態(tài)仿真結(jié)果與實驗結(jié)果對比見表1。

圖6 機柜一階模態(tài)試驗結(jié)果

表1 機柜一階模態(tài)仿真與實驗結(jié)果對比

從結(jié)果中可以看出，兩種網(wǎng)格劃分的機柜的一階模態(tài)振型一致，與實驗結(jié)果都存在一定的偏差，但四面體網(wǎng)格的結(jié)果誤差較大且偏大，這是由于四面體網(wǎng)格偏剛性所致;混合網(wǎng)格的結(jié)果誤差較小，與實驗結(jié)果吻合較好。

3 結(jié)束語

本文中所述結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化相結(jié)合的融合網(wǎng)格，所需單元數(shù)量少、計算速度快，采用網(wǎng)格拓?fù)滢D(zhuǎn)換實現(xiàn)網(wǎng)格連接，適用于形狀不規(guī)則的幾何體，與實驗結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)計算精度較高，完全滿足工程仿真的需求。

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［2］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003:14-20.

［3］朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用(第3 版）［M］.北京:中國水利水電出版社，2009:127-128.

［4］劉聲，盛選禹.基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格自動劃分的汽車發(fā)動機強度分析［J］.計算機工程與設(shè)計，2010，31(10）:2316-2319.

［5］向華平.基于邊界拓?fù)滢D(zhuǎn)化的四面體與六面體網(wǎng)格動態(tài)連接技術(shù)［J］.安徽大學(xué)學(xué)報，2011，35(2）:43-46.