李 康，周錦標(biāo)，趙乾宏

（中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部 江蘇 江陰 214431）

無抽樣Contourlet變換不僅具備多尺度、多方向和各向異性特征，還具備平移不變性，因而是一種優(yōu)良的圖像處理工具。文中在無抽樣Contourlet變換域構(gòu)造了一種有效的非線性映射函數(shù)，給出了一種基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強(qiáng)方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，和無抽樣小波變換相比，無抽樣Contourlet變換可以更好地增強(qiáng)圖像的細(xì)節(jié)信息。

1 無抽樣Contourelet變換

Contourlet變換[1]在進(jìn)行分解和重構(gòu)過程中，有大量的下采樣和上采樣操作，使得Contourlet變換缺乏平移不變特性，而變換的平移不變特性在信號(hào)處理中發(fā)揮著重要的作用。為此，Cunha等Contourlet變換的基礎(chǔ)上，提出了無抽樣Contourlet變換 （NSCT），它是Contourlet變換的平移不變版本，并且已經(jīng)應(yīng)用于圖像去噪和圖像增強(qiáng)等領(lǐng)域中。

與Contourlet變換類似，NSCT也是將尺度分解與方向?yàn)V波分開進(jìn)行：首先采用無抽樣的塔式濾波器（Nonsubsampled Pyramid Filter Bank，NSPFB）獲得信號(hào)的多尺度分解，然后用無抽樣方向?yàn)V波器組 （Nonsubsampled Directional Filter Banks，NSDFB）對(duì)得到的各尺度子帶信號(hào)進(jìn)行方向分解，從而得到不同尺度、方向的子帶。與Contourlet變換不同的是，NSCT在信號(hào)的分解和重構(gòu)過程中，取消了下采樣和上采樣操作，使得NSCT不僅具備多尺度、良好的時(shí)頻聚集性、高度的方向性和各向異性，而且具有平移不變特性以及各子帶之間具有相同尺寸大小等特性。

NSCT采用的NSPFB為二通道無抽樣濾波器組，如圖1（a）所示。 其中，分解濾波器{H0（z），H1（z）}和合成濾波器{G0（z），G1（z）}滿足 Bezout恒等式，如式（1）所示，從而保證了NSPFB滿足完全重構(gòu)（Perfect Reconstruction，PR）條件。與一維“à trous”小波[2]算法相似，NSPFB的每一級(jí)濾波器需要對(duì)上一級(jí)中采用的濾波器按采樣矩陣D=2I（其中I為2階單位矩陣）進(jìn)行上采樣。對(duì)于多層NSPFB，j尺度下低通濾波器的理想頻率域支撐區(qū)間為 [-（π/2j），（π/2j）]×[-（π/2j），（π/2j）]，而相應(yīng)的帶通濾波器的理想頻率域支撐區(qū)間為從頻率區(qū)間[-（π/2j-1），（π/2j-1）]×[-（π/2j-1），（π/2j-1）]中去除頻率支撐區(qū)間 [-（π/2j），（π/2j）]×[-（π/2j），（π/2j）]后的部分。因?yàn)榉纸夂蟮牡屯ㄐ盘?hào)和各尺度下的子帶信號(hào)與原信號(hào)大小尺寸相同，所以NSPFB的冗余度為J+1（J為NSPFB分解的級(jí)數(shù)）。

NSCT采用的NSDFB也是一組二通道非下采樣濾波器組，如圖 1（b）所示。 其中，分解濾波器{U0（z），U1（z）}和合成濾波器{V0（z），V1（z）}也滿足 Bezout恒等式，如式（2）所示，從而也保證了NSDFB滿足完全重構(gòu)條件。采用理想頻率支撐區(qū)間為扇形的濾波器U0（z）和U1（z）可以實(shí)現(xiàn)二通道方向分解。在此基礎(chǔ)上，對(duì)濾波器 U0（z）和 U1（z）采用不同的采樣矩陣進(jìn)行上采樣，并對(duì)上一級(jí)方向分解后的子帶信號(hào)進(jìn)行濾波，可以實(shí)現(xiàn)頻域中更為精細(xì)的方向分解。例如，可以對(duì)濾波器U0（z）和 U1（z）分別按采樣矩陣進(jìn)行上采樣得到濾波器 U0（zQ）和 U1（zQ），然后再對(duì)第一級(jí)二通道方向分解后得到的子帶進(jìn)行濾波，可以實(shí)現(xiàn)四通道方向分解。對(duì)于更多方向的分解，需要采用更為復(fù)雜的采樣矩陣對(duì)濾波器進(jìn)行上采樣。如果對(duì)某尺度下的子帶進(jìn)行1級(jí)方向分解，可得到21個(gè)與源信號(hào)尺寸大小相同的方向子帶。

圖1 NSCT中的二通道無抽樣濾波器組Fig.1 Nonsubsampled filter banks in NSCT

將NSPFB與NSDFB相結(jié)合，就可以實(shí)現(xiàn)NSCT。源信號(hào)經(jīng)NSPFB分解后得到的高頻帶通信號(hào)再輸入到NSDFB中以獲得帶通方向子帶，該過程在NSPFB輸出的近似分量上迭代進(jìn)行，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)源信號(hào)的多尺度、多方向分解。由NSPFB和NSDFB的冗余特性，可以得到NSCT的冗余度為，其中J為分解尺度數(shù)，lj為j尺度下的NSDFB分解級(jí)數(shù)。

2 圖像增強(qiáng)方法描述

基于多尺度變換的細(xì)節(jié)信息增強(qiáng)方法的基本思想是用映射函數(shù)來修改原始信號(hào)的變換系數(shù)，然后用修改后的變換系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)[3-5]。為了有效抑制噪聲系數(shù)、增強(qiáng)細(xì)節(jié)信息系數(shù)，通常使用的是非線性映射函數(shù)且該函數(shù)應(yīng)具備以下條件[6]：1）強(qiáng)邊緣不應(yīng)變模糊；2）細(xì)節(jié)信息應(yīng)當(dāng)比強(qiáng)邊緣得到更高的增強(qiáng)；3）具有單調(diào)性；4）具有反對(duì)稱性。我們?cè)贜SCT域構(gòu)造了一種簡(jiǎn)單而有效的非線性映射函數(shù)：

其中，角標(biāo) j、k 和（m，n）分別代表尺度、方向和位置；C（j，k，m，n）表示 原 始 信 號(hào) 的 NSCT 系數(shù) ，C^（j，k，m，n）表示 修 改 后 的 NSCT 系數(shù)；M（j，k）表示子帶內(nèi)系數(shù)幅值的最大值；T（j，k）是門限閾值，用于抑制隨機(jī)噪聲，這里我們選用K-sigma閾值；p是一個(gè)常數(shù)，用于控制映射函數(shù)的形狀和增強(qiáng)的程度，圖2給出了p值不同時(shí)，修改后的NSCT系數(shù)和原始信號(hào)的NSCT系數(shù)之間的關(guān)系?？梢钥吹剑簽榱嗽鰪?qiáng)細(xì)節(jié)信息，參數(shù)p應(yīng)當(dāng)滿足0＜p≤1；而且增強(qiáng)的程度隨著參數(shù)p的減小而增大。在增強(qiáng)區(qū)間[T（j，k），M（j，k）]和[-M（j，k），-T（j，k）]內(nèi)，映射函數(shù)的斜率大小隨 著系數(shù)幅值 的增大而減小，從而，和強(qiáng)邊緣相比，對(duì)應(yīng)于較小幅值系數(shù)的細(xì)節(jié)信息會(huì)得到更大的增強(qiáng)；小于和略大于門限 T（j，k）的小幅值系數(shù)對(duì)應(yīng)于噪聲和擾動(dòng)，這些系數(shù)可被有效地抑制；此外，該非線性映射函數(shù)顯然滿足單調(diào)性和反對(duì)稱性。

圖2 修改后NSCT系數(shù)和原始系數(shù)之間的關(guān)系Fig.2 Enhanced coefficients versus original coefficients

基于無抽樣Contourlet變換的細(xì)節(jié)信息增強(qiáng)的方法可總結(jié)如下：

1）對(duì)輸入的二維信號(hào)進(jìn)行NSCT變換，從而得到NSCT系數(shù)。

2）用式（3）的非線性映射函數(shù)修改系數(shù) C（j，k，m，n），從而得到修改后的系數(shù)C^（j，k，m，n）。

3）用C^（j，k，m，n）進(jìn)行 NSCT 重構(gòu)，得到增強(qiáng)后的信號(hào)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

我們選擇 512×512大 小 的標(biāo)準(zhǔn) 圖 像 Barbara、Lena、Peppers進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，采用3尺度NSPFB變換，從最細(xì)尺度到最粗尺度，每個(gè)尺度下的方向數(shù)目依次取8、4、4，取0.7。表給出了使用不同方法降噪后圖像的細(xì)節(jié)方差 （DV）和背景方差（BV），可以看到，基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強(qiáng)方法可以更好地增強(qiáng)圖像的微弱信息。

表1 不同增強(qiáng)方法的增強(qiáng)效果比較Tab.1 Enhancement results with different m ethod

4 結(jié) 論

文中研究了基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強(qiáng)方法，在無抽樣Contourlet變換域構(gòu)造了一種簡(jiǎn)單有效的非線性映射函數(shù)，利用無抽樣Contourlet變換的多尺度、高度方向性和各向異性以及平移不變特性實(shí)現(xiàn)圖像細(xì)節(jié)的增強(qiáng)，并用測(cè)試圖像算例驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性。

[1]Do M N，Vetterli M.The contourlet transform:an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Transactions on Image Processing，2005，14（12）:2091-2106.

[2]Mallat S.A wavelet tour of sinal processing[M].2nd ed.New York:Academic，1999.

[3]Lu J，Jr.Healy D M.Contrast enhancement of medical images using multiscale edge representation[J].Optical Engineering，1994，33（7）:2151-2161.

[4]Laine A，F(xiàn)an J，Yang W.Wavelets for contrast enhancement of digital mammography[J].IEEE Engineering in Medicine and Biology Magazine，1995，11（5）:536-551.

[5]ZONG Xu-li， Andrew F L， Edward A G， et al.De-noising and contrast enhancement via wavelet shrinkage and nonlinear adaptive gain[J].Wavelet Applications，Proceedings of SPIE，1996，2762:566-574.

[6]Sakellaropoulos P，Costaridou L，Panayiotakis G.A waveletbased spatially adaptive method for mammographic contrast enhancement[J].Physics in Medicine and Biology，2003，48（6）:787-803.