張?jiān)?，曲坤，王麗?/p>

(1.大連理工大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，遼寧 大連116024;2.大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引言

在保險(xiǎn)市場(chǎng)中，保險(xiǎn)公司通常把所有的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目看做一個(gè)整體，根據(jù)不同的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目在整個(gè)投資組合中所占的比例對(duì)被保險(xiǎn)人收取合理的保費(fèi)，根據(jù)收取保費(fèi)的大小以達(dá)到安全運(yùn)營(yíng)的目的.然而在保險(xiǎn)和金融市場(chǎng)中，風(fēng)險(xiǎn)無(wú)處不在，保費(fèi)的制定自然離不開對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的合理度量，風(fēng)險(xiǎn)表示損失的不確定性及其發(fā)生的概率.目前關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)度量的方法有很多種，如:方差原理［1］、破產(chǎn)概率［1］、VAR 方法［2］、一致性風(fēng)險(xiǎn)度量方法［3］等.不同的度量方法取決于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同認(rèn)識(shí)，結(jié)果往往也不同.常見的方差原理［1］中，方差依賴于隨機(jī)變量取值的大小，它表示收益的各種可能值與期望收益的偏離程度，因此只能計(jì)算出關(guān)于損失變量的二階矩，并且方差作為不確定性的度量只適用于損失分布是正態(tài)分布(即對(duì)稱分布)的情況，對(duì)于其他的偏斜分布(尖峰、厚尾等)，方差無(wú)法正確反映出風(fēng)險(xiǎn)的大小，因此在實(shí)際應(yīng)用中這種度量方法存在著不足.而熵代表不確定性程度的度量，它根據(jù)隨機(jī)變量可能取到的概率進(jìn)行計(jì)算，不依賴于隨機(jī)變量本身取值的大小，它表示的是概率密度偏離均勻分布的程度，是把風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)看做一個(gè)整體進(jìn)行度量.在保險(xiǎn)研究中，人們最關(guān)心的是極端事件發(fā)生時(shí)風(fēng)險(xiǎn)的大小，即文獻(xiàn)［1］中所講的破產(chǎn)概率，這時(shí)損失的概率分布是非對(duì)稱的，僅用方差來(lái)度量的風(fēng)險(xiǎn)大小顯然不夠，還應(yīng)包括損失的高階矩信息，而熵代表高階矩，因此可以用熵作為方差度量風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)有效補(bǔ)償.文獻(xiàn)［1］通過(guò)將破產(chǎn)概率中的安全系數(shù)轉(zhuǎn)化為方差，用方差度量風(fēng)險(xiǎn).基于以上對(duì)方差和熵的對(duì)比分析，本文用熵來(lái)作為方差度量保險(xiǎn)投資組合中風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)充，提出一種度量風(fēng)險(xiǎn)的新模型:均值－方差－熵模型，以便使風(fēng)險(xiǎn)的度量更加有效.

1 預(yù)備知識(shí)

在信息論中，熵代表無(wú)知程度的度量，它的值越大，意味著我們對(duì)所解決的問(wèn)題知道的信息越少.金融和保險(xiǎn)市場(chǎng)的信息是不完全的，也就是存在一定的不確定性即風(fēng)險(xiǎn)，隨著不確定性的減小也就是熵的減小，我們才能更加有效地將風(fēng)險(xiǎn)控制住，本文基于熵作為風(fēng)險(xiǎn)的度量，以文獻(xiàn)［1］中的聚合風(fēng)險(xiǎn)模型為基本假設(shè)，將保險(xiǎn)投資組合中各風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目所占的比例(即損失變量的概率分布)轉(zhuǎn)變成對(duì)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目所收取的保費(fèi)的表達(dá)式，得到了關(guān)于保費(fèi)的優(yōu)化模型，在給出具體的優(yōu)化模型之前，我們先來(lái)介紹一下該模型的理論依據(jù):

1.1 最大熵原理及其數(shù)學(xué)表達(dá)［4］

所謂的最大熵原理就是在根據(jù)部分信息進(jìn)行推理時(shí)，我們應(yīng)使用的概率分布，必須是在服從所有已知觀測(cè)數(shù)據(jù)的前提下使熵函數(shù)取最大值的那個(gè)概率分布.熵最大，表明我們除了具有統(tǒng)計(jì)矩的信息外，對(duì)待求的概率分布一無(wú)所知.這是我們能做出的僅有的無(wú)偏分配，因此最大熵原理可表達(dá)為下述數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題:

其中，p=(p1，p2，…，pn)為待估的概率分布，gj(j=1，2，…，m)表示各階統(tǒng)計(jì)矩函數(shù)，E(·)是由實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的各階統(tǒng)計(jì)矩的期望值.

1.2 聚合風(fēng)險(xiǎn)模型基本假設(shè)［1］

2 均值－方差－熵優(yōu)化模型

保險(xiǎn)業(yè)的存在是由于人們?cè)敢庵Ц陡哂谒麄兊钠谕髻r額的保費(fèi)以尋求保險(xiǎn)保障，而保險(xiǎn)公司的收益等于他們收取的保費(fèi)減去其索賠額(其中不考慮其他運(yùn)營(yíng)成本).因此如何定價(jià)一個(gè)合理的保費(fèi)才是保險(xiǎn)公司決定一個(gè)有效的保險(xiǎn)投資組合的關(guān)鍵.

假設(shè)保險(xiǎn)市場(chǎng)有k個(gè)不同的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目ψ1，ψ2，…，ψk，每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目 ψj包含 Nj種不同風(fēng)險(xiǎn)索賠Sj，其中Sj服從泊松參數(shù)為λj的復(fù)合泊松分布.對(duì)于ψj中的任一風(fēng)險(xiǎn)，保費(fèi)為xj=λjE［X］+lj，其中xj代表保費(fèi);lj代表風(fēng)險(xiǎn)負(fù)載.

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目ψj在保險(xiǎn)投資組合中所占的比例為nj，其大小取決于所收取的保費(fèi) xj，且，因此保險(xiǎn)投資組合的收益為:

為保費(fèi) x=(x1，x2，…，xk)的函數(shù).

式(2)的矩母函數(shù)為［1］

則累積矩母函數(shù)為

因此均值－方差－熵優(yōu)化模型為:

由式(*)可得保險(xiǎn)投資組合的期望收益和方差分別為累積矩母函數(shù)的一、二階矩在μ=0處的值，即

由于E［X2］的大小與優(yōu)化問(wèn)題并沒有太大的關(guān)系，因此為方便起見令E［X2］=1.

ηj代表風(fēng)險(xiǎn)厭惡指數(shù).

將(4)，(5)，(7)代入(3)得

將式(9)，(10)，(11)代入上面優(yōu)化模型整理得:

可見該模型將投資比例nj轉(zhuǎn)化為了關(guān)于保費(fèi)xj的表達(dá)式，它不同于一般的均值－方差優(yōu)化模型，其約束條件是關(guān)于保費(fèi)xj的二次函數(shù)，其中包含一次項(xiàng)并且不包含混合項(xiàng)，通過(guò)調(diào)節(jié)加權(quán)系數(shù)β的大小可以求解該凸規(guī)劃問(wèn)題.該問(wèn)題為凸規(guī)劃問(wèn)題，一定有唯一最優(yōu)解，即我們可以計(jì)算出保費(fèi)xj.當(dāng)β很小時(shí)，求得的保費(fèi)xj結(jié)果主要是方差起作用而熵函數(shù)不起作用，而隨著β的增加，熵函數(shù)起的作用逐漸增加，這樣求得的保費(fèi)xj主要是熵函數(shù)在起作用.

3 結(jié)論

通過(guò)分析保險(xiǎn)投資組合中風(fēng)險(xiǎn)的不確定性的本質(zhì)，以文獻(xiàn)［1］中的聚合風(fēng)險(xiǎn)模型為基礎(chǔ)，論述了熵可以作為風(fēng)險(xiǎn)度量的一種方法，得到了關(guān)于保費(fèi)的保險(xiǎn)投資組合優(yōu)化模型.與文獻(xiàn)［1］中的方差模型相比，該模型從風(fēng)險(xiǎn)作為一個(gè)整體系統(tǒng)及風(fēng)險(xiǎn)距離期望的波動(dòng)情況兩個(gè)方面一起來(lái)反映風(fēng)險(xiǎn)，是一個(gè)比較合理的風(fēng)險(xiǎn)度量模型.

［1］FRANCO MORICONI.A pricing model in a sensitive insurance market［J］.Astin Bulletin，1980(11):52-60.

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