王新龍 李 娜

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

MEMS 陀螺隨機誤差的建模與分析

王新龍 李 娜

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

為了更全面地了解微機電系統(tǒng)（MEMS，Micro-Electro-Mechanical Systems）陀螺儀的隨機漂移誤差隨時間變化的特性，利用動態(tài)Allan方差分析法對MEMS陀螺儀輸出信號特性進行了全面分析.首先介紹了Allan方差和動態(tài)Allan方差分析法原理，然后分別利用Allan方差分析法和動態(tài)Allan方差分析法對MEMS陀螺儀的實測數(shù)據(jù)進行了特性研究與性能分析.研究結(jié)果表明:速率斜坡、量化噪聲和速率隨機游走是MEMS陀螺的主要隨機噪聲，并且MEMS陀螺的隨機漂移具有隨時間變化的不穩(wěn)定性.動態(tài)Allan方差不僅可以分離和辨識出MEMS陀螺的主要隨機誤差源，而且可以跟蹤和描述信號隨時間變化的穩(wěn)定性，因此動態(tài)Allan方差較經(jīng)典Allan方差分析法能夠更全面地表征MEMS陀螺儀的性能.

MEMS陀螺;漂移誤差;Allan方差;動態(tài)Allan方差

與傳統(tǒng)陀螺儀相比，微機電系統(tǒng)（MEMS，Micro-Electro-Mechanical Systems）陀螺儀具有體積小、重量輕、成本低、抗沖擊、可靠性高等優(yōu)點，在低成本導航系統(tǒng)中獲得了越來越廣泛的應(yīng)用.但MEMS陀螺儀的精度相對較低，這極大地限制了其應(yīng)用范圍.因此，如何補償MEMS陀螺儀的漂移誤差以提高陀螺儀的測量精度，已成為MEMS陀螺儀研究工作的重點之一.

陀螺儀漂移一般分為確定性漂移和隨機漂移兩部分，確定性漂移通過陀螺測試和標定試驗加以補償.隨機漂移是無規(guī)律且隨時間變化的，一般方法是通過建立陀螺的時間序列隨機漂移模型，然后利用濾波器對建模后的殘差進行濾波，以降低隨機漂移誤差對陀螺精度的影響.

目前絕大多數(shù)文獻都是采用Allan方差法對MEMS陀螺儀隨機噪聲特性進行分析.Allan方差分析是在時域上對頻率穩(wěn)定性進行分析的一種通用方法［1］.然而 Allan方差也有不足之處，經(jīng)典Allan方差一般用來分析信號的穩(wěn)定性，它對理想的時變信號是有效的，而實際的誤差信號，即使在極短的時間間隔內(nèi)，信號也表現(xiàn)出不穩(wěn)定性，況且在長時間內(nèi)，被測信號受到溫度、濕度和其他器件物理性能的改變而變化.動態(tài)Allan方差是用來測量原子鐘時變穩(wěn)定性的工具，它可以揭示受濕度變化、溫度變化、輻射干擾、突然故障、老化等各種因素影響的原子鐘平穩(wěn)性的變化［2］.目前，動態(tài)Allan方差已被成功應(yīng)用于伽利略實驗衛(wèi)星GIOVE的時鐘監(jiān)控［3］，同時也被用來監(jiān)測 GPS（Global Positioning System）時鐘的穩(wěn)定性［4］.

本文應(yīng)用動態(tài)Allan方差分析法對MEMS陀螺儀輸出隨機誤差信號特性進行了建模與分析，結(jié)果表明動態(tài)Allan方差分析法不僅能確定MEMS陀螺儀各種隨機漂移的系數(shù)，而且還可以跟蹤和描述信號隨時間變化的穩(wěn)定性.

1 時間序列分析建模方法

采集到陀螺儀實測信號后，首先通過速率試驗法對陀螺儀確定性誤差分量進行標定.確定性漂移誤差標定后，通常再利用時間序列分析法確定隨機漂移誤差的特性.MEMS陀螺儀隨機誤差時間序列分析法建模與補償流程見圖1，其建模步驟［5］可歸納為:首先對測得的數(shù)據(jù)樣本進行預處理，包括奇點的剔除、趨勢項的去除和周期項的去除;其次對預處理后的數(shù)據(jù)序列進行統(tǒng)計檢驗，包括平穩(wěn)性檢驗、周期性檢驗和正態(tài)性檢驗.

圖1 利用時間序列分析法的陀螺儀誤差建模流程圖

若經(jīng)過上述預處理后的殘差序列是平穩(wěn)時間序列，則可利用平穩(wěn)時間法建立其誤差模型，首先確定所要擬合模型的類別和階次;其次估計模型參數(shù)并進行適用性檢驗;最后對所建立的模型進行變換，使之成為連續(xù)微分方程，便得到可利用Kalman濾波器處理的系統(tǒng)狀態(tài)模型和量測模型.

2 Allan方差和動態(tài)Allan方差原理

2.1 Allan 方差原理

Allan方差是一種在時域上對頻域穩(wěn)定性進行分析的方法.Allan方差的特點是它不僅能夠確定產(chǎn)生數(shù)據(jù)噪聲的基本隨機過程的特性，而且能夠識別給定噪聲項的來源［6］.

在進行Allan方差的分析時，由于陀螺儀類型和數(shù)據(jù)測試環(huán)境等的不同，陀螺儀輸出數(shù)據(jù)中可能存在各種成分的隨機噪聲.如果各噪聲源統(tǒng)計獨立，則計算的Allan方差是各類型誤差的平方和［7］，即

式中，τ為相關(guān)時間，s.

式（1）中包含角隨機游走（ARW，Angle Random Walk）（系數(shù)用N表示）、偏差不穩(wěn)定性（BI，Bias Instability）（系數(shù)用 B表示）、速率隨機游走（RRW，Rate Random Walk）（系數(shù)用 Kr表示）、速率斜坡（RR，Rate Ramp）（系數(shù)用 R表示）、量化噪聲（QN，Quantization Noise）（系數(shù)用Q表示）、指數(shù)相關(guān)噪聲（MN，Markov Noise）、正弦噪聲（SN，Sinusoidal Noise）.

式（1）中各主要誤差項都可表示成正比于τ的－2～+2次冪的系數(shù)表達式，因此式（1）可簡化為

其中，An分別對應(yīng)與 QN，ARW，BI，RRW，RR 各噪聲相關(guān)的擬合多項式系數(shù)，n=－2，－1，0，+1，+2.

根據(jù)不同的τ對應(yīng)的Allan方差，對式（2）進行最小二乘擬合，可以求得擬合多項式系數(shù)，進而求得各噪聲源系數(shù).

2.2 動態(tài)Allan方差原理

動態(tài)Allan方差是經(jīng)典Allan方差的擴展，它是以一種非常直觀的方式定義的:如果認為一個代表相位或頻率誤差（或任何其他物理量）的隨機信號 （x t）具有時變特性，那么可以在不同的時間段內(nèi)重復估計信號的Allan方差，例如在時間點t，以長度為N的矩形窗截斷隨機信號 （x t），估計此截斷信號的Allan方差.在每個時間點t做同樣的分析，然后綜合每個時間間隔內(nèi)獲得的方差值，即可得到隨機信號的動態(tài) Allan方差［8－9］.

評估信號穩(wěn)定性的標準是Allan方差［10］:

這里〈〉表示求時間段內(nèi)的總體平均.

如果

則式（3）可以寫成如下形式:

對于離散信號

Allan方差是在給定觀測間隔τ的情況下，以二維圖的形式描述信號的誤差特性，而動態(tài)Allan方差是在給定時間t和觀測間隔τ的情況下，以三維圖的形式來描述隨機信號的穩(wěn)定性信息.

當存在外界干擾時，信號穩(wěn)定性會隨著時間而變化，可以用動態(tài)Allan方差描述這種變化:

由于動態(tài)Allan方差描述的是信號隨著時間變化的平穩(wěn)性信息，因此，利用動態(tài)Allan方差分析非平穩(wěn)隨機過程，既可以得到陀螺儀隨機漂移的各噪聲項系數(shù)，又可以分析隨機誤差隨時間變化的穩(wěn)定性.

3 MEMS陀螺實測數(shù)據(jù)分析

本文在實驗室標準三軸轉(zhuǎn)臺上對MEMS陀螺儀進行速率實驗，分別記錄輸入不同角速率時陀螺儀的輸出數(shù)據(jù).陀螺1隨機誤差輸出如圖2所示，其Allan方差分析和動態(tài)Allan方差（選取N=100）分析曲線如圖3和圖4所示.

圖2 陀螺1隨機誤差輸出曲線

圖3 陀螺1隨機誤差Allan標準差相關(guān)時間曲線

圖4 陀螺1隨機誤差的動態(tài)Allan方差曲線圖

由圖3可以看出:在τ=1～7 s內(nèi)，曲線斜率近似為－1/2，主要表現(xiàn)為角隨機游走噪聲，說明陀螺受外界干擾影響較大，在τ=7～8 s內(nèi)，曲線斜率趨近－1，主要表現(xiàn)為量化噪聲，在τ=8～10 s內(nèi)，曲線斜率近似為0，主要表現(xiàn)為零偏不穩(wěn)定性噪聲.在τ=10～30 s內(nèi)，曲線斜率近似為－1/2，角隨機游走在發(fā)揮作用，隨后Allan標準差表現(xiàn)為速率隨機游走、角度隨機游走和速率斜坡交替出現(xiàn)，并與各種噪聲疊加，而在曲線后段出現(xiàn)正弦狀震蕩，可以理解為信號中含有低頻的正弦噪聲并伴有一定的速率隨機游走噪聲.同時，也可看出MEMS陀螺隨機誤差的多樣性.

通過以上分析可以得到:MEMS陀螺儀的角隨機游走噪聲分布在高頻部分，量化噪聲分布在略低頻段，零偏不穩(wěn)定性頻率更低，而速率隨機游走和速率斜坡頻率最低.另外，由圖4可以進一步看出:隨著時間的變化，MEMS陀螺儀輸出數(shù)據(jù)的動態(tài)Allan方差起伏較大，說明陀螺具有隨時間變化的不穩(wěn)定性.

為了進一步驗證動態(tài)Allan方差在分析陀螺儀輸出隨機噪聲信號特性方面的有效性，選取陀螺2的實測數(shù)據(jù)進行Allan方差和動態(tài)Allan方差分析，其結(jié)果如圖5～圖7所示.從圖中可以看出:動態(tài) Allan方差示意圖 τ-σ（t，τ）坐標軸的投影即為經(jīng)典Allan方差，動態(tài)Allan方差在時間軸上反映了噪聲的突變，而經(jīng)典Allan方差不包含此信息.

圖5 陀螺2隨機誤差輸出曲線

圖6 陀螺2隨機誤差Allan標準差-相關(guān)時間曲線

圖7 陀螺2隨機誤差的動態(tài)Allan方差曲線圖

2組陀螺儀輸出數(shù)據(jù)的Allan方差法擬合噪聲項系數(shù)如表1所示.

表1 Allan方差擬合的陀螺噪聲項系數(shù)

由表1可以看出，對于陀螺1而言，速率斜坡、速率隨機游走和量化噪聲的系數(shù)較大，因此它們是主要誤差源.而陀螺2的主要噪聲為速率斜坡、速率隨機游走和偏差不穩(wěn)定性.

比較2組MEMS陀螺儀輸出噪聲項系數(shù)可以得出:

1）陀螺2的量化噪聲系數(shù)較小，說明其數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是比較理想的，而陀螺1量化噪聲較大，可以通過提高采樣系統(tǒng)的精度和縮短初始采樣時間來減小此誤差;

2）陀螺1的偏差不穩(wěn)定性較陀螺2大很多，說明陀螺2電路部分存在較大誤差，需要采取相應(yīng)的濾波方法抑制此噪聲;

3）陀螺2的速率隨機游走較小，說明其漂移相對較小.隨機游走噪聲反映了MEMS陀螺儀的制造水平，因此，陀螺2的制造水平要高一些;速率隨機游走占了誤差較大部分，說明系統(tǒng)的馬爾科夫過程是比較明顯的，可用軟件補償?shù)姆椒ㄌ岣咂渚?

4）可能由于外界環(huán)境影響陀螺溫度的變化導致陀螺1的速率斜坡噪聲較大.

利用動態(tài)Allan方差方法計算陀螺1的隨機誤差在不同時刻的噪聲項系數(shù)如表2所示.

表2 動態(tài)Allan方差計算陀螺1噪聲項系數(shù)

由表2可以得到，當t=100 s時，速率斜坡、速率隨機游走和偏差不穩(wěn)定性的噪聲項系數(shù)較大，因此，它們是主要誤差源.當t=600 s時，速率斜坡、速率隨機游走和量化噪聲是主要誤差項.這說明了在不同的時刻，由于溫度、濕度、干擾或器件物理性能等條件的變化，起主要作用的噪聲項也在不斷變化.

利用Allan方差以及動態(tài)Allan方差2種分析方法對MEMS陀螺儀輸出的隨機誤差進行對比分析，可以看出:動態(tài)Allan方差在時間軸上反映了信號的瞬時穩(wěn)定性，信號有突然變化時可以顯示出來，而經(jīng)典Allan方差卻隱藏了這種變化.

4 結(jié)論

本文利用動態(tài)Allan方差法對MEMS陀螺儀實測數(shù)據(jù)進行了分析，結(jié)果表明:動態(tài)Allan方差法不僅可以分析陀螺儀的主要隨機誤差源，而且能夠分析陀螺儀信號噪聲的統(tǒng)計特性隨時間的變化趨勢.與傳統(tǒng)的Allan方差分析法相比，它是一種更為有效的分析陀螺儀隨機誤差特性的方法.

將動態(tài)Allan方差應(yīng)用于陀螺漂移誤差信號的分析上，不僅可以分析信號頻率的穩(wěn)定性，還可以跟蹤和描述信號隨時間變化的穩(wěn)定性.可見，動態(tài)Allan方差分析方法，不僅可用于MEMS慣性器件誤差的建模與補償，而且可用于對器件內(nèi)部結(jié)構(gòu)的改進和完善，另外在慣導獨立導航以及與其他導航設(shè)備組合導航等應(yīng)用方面都具有重要的推廣應(yīng)用價值.

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Error modeling and analysis for random drift of MEMS gyroscopes

Wang Xinlong Li Na
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

In order to comprehensively understand the characteristics of random drift error of micro-electro-mechanical systems（MEMS）gyroscope varying with time，the dynamic Allan variance was utilized to analyze the property of output signal of MEMS gyroscopes.Firstly，the theory of Allan variance and dynamic Allan variance were introduced.Then，the Allan variance and the dynamic Allan variance were utilized to analyze the characteristic and performance of the practical testing date of MEMS gyroscopes respectively.The study results show that the main random noise of MEMS gyroscope are the rate ramp，quantization noise and the rate random walk，and they are unstability varying with time.The dynamic Allan variance was utilized to not only extract and confirm some main noises of MEMS gyroscope，but also track and describe the stability of MEME gyroscope's signal varying with time.Consequently，compared with Allan variance，the dynamic Allan variance can represent the characterization of stochastic errors in MEMS gyroscope more comprehensively.

micro-electro-mechanical systems（MEMS）gyroscopes;drift error;Allan variance;dynamic Allan variance

V 241.5

A

1001-5965（2012）02-0170-05

2010-10-25;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間:

時間:2012-02-21 11:46;

CNKI:11-2625/V.20120221.1146.018

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1146.018.html

國家自然科學基金資助項目（61074157）

王新龍（1969－），男，陜西渭南人，教授，xlwon@163.com.

（編 輯:趙海容）