趙 瑞 閻 超 于 劍

（北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191）

基于熵限制的Baldwin-Lomax湍流模型

趙 瑞 閻 超 于 劍

（北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191）

針對(duì)Baldwin-Lomax（BL）模型在模擬超聲速?gòu)?fù)雜流動(dòng)中的不足，提出一種基于熵限制的新型修正方式.分別采用原始的BL模型（BL-origin）、修正后的BL模型（BL-entropy）以及Wilcox k-ω兩方程模型對(duì)超聲速平板、超聲速二維壓縮拐角以及膨脹-壓縮拐角3個(gè)典型算例進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明BL-entropy能夠較好地獲取長(zhǎng)度尺度進(jìn)而得到均勻合理的渦粘性分布.同時(shí)，該修正方式簡(jiǎn)單高效并且適用于其他與超聲速邊界層有關(guān)的模型，具有較大的發(fā)展?jié)摿?

湍流模型;熵;超聲速流動(dòng);計(jì)算流體力學(xué)

超聲速飛行器在大多數(shù)飛行情況下都處于湍流流態(tài).由于湍流是流體微團(tuán)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，湍流運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的質(zhì)量、動(dòng)量和能量的輸運(yùn)將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分子熱運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的宏觀輸運(yùn)，同時(shí)湍流脈動(dòng)導(dǎo)致額外的能量耗散，引起氣動(dòng)加熱和摩阻增加.此外，高超聲速流動(dòng)中普遍存在激波與湍流邊界層相互作用、激波誘導(dǎo)邊界層分離與再附等非常復(fù)雜的現(xiàn)象，因此湍流計(jì)算對(duì)準(zhǔn)確預(yù)估高超聲速飛行器的氣動(dòng)性能非常重要.

目前湍流數(shù)值模擬一般有3種方法:直接數(shù)值模擬（DNS，Direct Numerical Simulation），大渦模擬（LES，Large Eddy Simulation），雷諾平均 N-S方程（RANS，Reynolds Average Navier-Stokes）.受目前計(jì)算機(jī)條件等限制，前兩種方法只限于求解一些低雷諾數(shù)的簡(jiǎn)單流動(dòng)，RANS只計(jì)算大尺度平均流動(dòng)，所有湍流脈動(dòng)對(duì)平均流動(dòng)的作用均用模型假設(shè)封閉，使計(jì)算量大為減少，其中 BL（Baldwin-Lomax）零方程湍流模型構(gòu)造最簡(jiǎn)單、魯棒性最好、精度較高，在工程界應(yīng)用最廣泛.

原始的BL模型［1］在工程計(jì)算中存在的不足主要表現(xiàn)在:強(qiáng)逆壓梯度非平衡湍流邊界層;分離區(qū)附近及內(nèi)部流動(dòng);激波/邊界層干擾;超聲速及高超聲速激波附近存在劇烈渦量變化的流動(dòng)等.為此，研究學(xué)者針對(duì)具體的流動(dòng)工況提出了不同的修正方式:文獻(xiàn)［2］針對(duì)大分離漩渦流動(dòng)提出Degani-Schiff修正;文獻(xiàn)［3］指出該修正的物理缺陷，并提出Kcut修正，但仍然存在如何確定Kcut點(diǎn)位置的問(wèn)題;文獻(xiàn)［4］針對(duì)后掠激波/邊界層干擾流動(dòng)提出Panaras修正，該方法必須人為指定分離前參考點(diǎn);與此類(lèi)似，文獻(xiàn)［5］提出的松弛模型也是通過(guò)人為指定參考點(diǎn)引入上游歷史效應(yīng)，顯然這種修正方式在實(shí)際工程運(yùn)用中受到限制.

針對(duì)超聲速?gòu)?fù)雜流動(dòng)，本文引入熵限制的概念，試圖在不增加原始BL模型復(fù)雜度的前提下，提高BL模型的預(yù)測(cè)精度，使之更好地適于工程運(yùn)用.為檢驗(yàn)該修正方式的效果，分別采用原始的BL模型（BL-origin）、修正后的BL模型（BL-entropy）及兩方程 Wilcox k-ω［6］模型對(duì)超聲速平板、超聲速壓縮拐角、超聲速膨脹-壓縮拐角進(jìn)行數(shù)值模擬，并對(duì)這種新型的修正方式做出綜合評(píng)價(jià).

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

基本控制方程為雷諾平均N-S方程，其守恒形式為

其中，τtij為雷諾應(yīng)力，對(duì)于μt?；椒ú煌?，構(gòu)造不同的渦粘性湍流模型.

采用有限體積法求解N-S方程，計(jì)算采用量熱完全氣體假設(shè)，粘性通量采用中心差分格式進(jìn)行離散，無(wú)粘通量的離散選擇Roe的FDS（Flux Difference Splitting）格式，時(shí)間推進(jìn)采用LU-SGS（Lowerk-Upper Symmeffic Gauss-Seidel）隱式方法.

1.2 湍流模型

BL模型對(duì)湍流邊界層的內(nèi)層與外層采用不同的混合長(zhǎng)假設(shè)，其渦粘性如下所示:

其中，Yc是（μt）inner=（μt）outer時(shí) Y 到壁面最小距離.

對(duì)于內(nèi)層，即Y≤Yc，有:

其中，ρ為密度;Ω為渦量;K=0.4為 Karman常數(shù);Van Driest衰減因子D如下:

其中τw為壁面摩擦力.

對(duì)于外層，即 Y＞Yc，有:

其中，k=0.0168;Ccp=1.6.

尾跡函數(shù)Fwake如下式所示:

其中 Fmax=max（YΩD）;Ymax是函數(shù) F=YΩD 達(dá)到最大值Fmax的位置;Cwk=1.0;Udiff是平均速度分布中最大值與最小值之差.

Klebanoff間歇函數(shù)Fkleb如下式所示:

其中，Ckleb=0.3;邊界層厚度 δ=Ymax/Ckleb.

大量研究表明，原始的BL模型只能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)附體流動(dòng)以及弱分離流動(dòng)，對(duì)于激波/邊界層干擾以及分離、再附等復(fù)雜流動(dòng)卻無(wú)能為力.究其根本原因，一方面BL模型中的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)Ccp=1.6，Ckleb=0.3是基于跨聲速的平衡流動(dòng)得出的，并不適用于超聲速及高超聲速的復(fù)雜流動(dòng);另一方面外層渦粘性的捕捉嚴(yán)重依賴(lài)于Fmax，Ymax的確定，原始的BL模型并未限制尋找Fmax的范圍，在復(fù)雜流動(dòng)中會(huì)導(dǎo)致長(zhǎng)度尺度 Ymax的不確定性.圖1為采用兩方程Wilcox k-ω模型對(duì)24°超聲速壓縮拐角數(shù)值計(jì)算結(jié)果，可看出即使在附體流動(dòng)（圖2站位x=－1），由于劇烈的非平衡效應(yīng)，F(xiàn)在邊界層外存在一個(gè)虛假的極大值，在分離區(qū)及激波區(qū)域（圖2 站位 x=－0.5，－0.3，0，0.3，0.5），出現(xiàn)多個(gè)極值，不同極值間相差近一個(gè)量級(jí).顯然在復(fù)雜流動(dòng)中，原始的BL模型將沿流向得到非物理或間斷的Fmax與 Ymax，從而導(dǎo)致渦粘性分布不均勻，使得BL模型的應(yīng)用受到限制.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出熵限制的概念.熵的大小表征能量的耗散程度，由于邊界層內(nèi)湍流劇烈的脈動(dòng)以及與壁面的摩擦作用，當(dāng)?shù)氐撵刂狄h(yuǎn)遠(yuǎn)大于外流，同時(shí)研究發(fā)現(xiàn)，在超聲速流動(dòng)中，無(wú)論是在流動(dòng)附體區(qū)還是激波/邊界層干擾的分離區(qū)，沿壁面法向熵值都能夠保持較好的單調(diào)性（圖3）.因此，本文以熵的大小作為函數(shù)F搜尋范圍的判斷指標(biāo)，進(jìn)而保證渦粘性的合理分布.

圖1 24°壓縮拐角等熵線(xiàn)圖，Ma=2.84

圖2 函數(shù)F沿壁面法向分布圖

搜尋過(guò)程分兩步完成:①沿壁面法向向外搜索直到S/S∞＞C停止，儲(chǔ)存停止位置;②函數(shù)F由停止位置反向搜索，確定 Fmax與 Ymax，如圖 4所示.

圖4 搜尋過(guò)程示意圖

本文中常數(shù)C比擬邊界層厚度δ:Ue/U∞=0.95，取 C=1.0/0.95.修正后模型采用文獻(xiàn)［4］針對(duì)超聲速流動(dòng)建議的Ccp=2.08.

2 計(jì)算結(jié)果及分析

本文采用 BL-origin、BL-entropy以及兩方程k-ω模型分別對(duì)超聲速平板（Ma=2.25）、超聲速壓縮拐角（Ma=2.85）、超聲速膨脹-壓縮拐角（Ma=2.9）進(jìn)行數(shù)值模擬，流動(dòng)現(xiàn)象包括簡(jiǎn)單的附體流動(dòng)到復(fù)雜的激波/邊界層干擾、分離以及再附，以期對(duì)這種新型的修正方式進(jìn)行綜合的評(píng)估.

2.1 超聲速平板算例

文獻(xiàn)［7］采用DNS方法對(duì)超聲速平板進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，試驗(yàn)條件如下:Ma∞=2.25，Re=63500 in－1（1 in=2.54 cm）.

如圖5所示，將BL-origin模型中的Ccp改為2.08，構(gòu)造 BL-origin-coe，計(jì)算結(jié)果與 BL-entropy重合，但在對(duì)數(shù)率區(qū)與BL-origin差別較大，一方面說(shuō)明對(duì)于簡(jiǎn)單的平板流動(dòng)，本文提出的熵限制修正能夠回歸到原始模型，另一方面再次印證模型參數(shù)（Ccp，Ckleb）對(duì)BL模型性能有較大的影響.鑒于超聲速可壓縮效應(yīng)的影響，4種模型計(jì)算結(jié)果與DNS數(shù)據(jù)稍有差異.

圖5 超聲速平板速度型（x=8.8 in）

圖6 平板邊界層以及等熵層

圖6為沿流向（x方向）平板邊界層厚度以及等熵線(xiàn)位置分布，可以看出等熵線(xiàn)具有類(lèi)似邊界層的性質(zhì)，文中選取C=1.0/0.95既能將邊界層包絡(luò)在內(nèi)，又能將外流分割出來(lái)，對(duì)函數(shù)F的搜尋范圍起到合理的約束作用.

2.2 超聲速壓縮拐角

文獻(xiàn)［8］在普林斯頓大學(xué)超聲速風(fēng)洞對(duì)二維壓縮拐角進(jìn)行了試驗(yàn)研究，其中24°壓縮拐角試驗(yàn)條件如表1所示.

表1 24°超聲速壓縮拐角試驗(yàn)條件

如圖7所示，超聲速氣流流至拐角前段時(shí)，在逆壓梯度的作用下，邊界層變厚，從而使主流提前產(chǎn)生一系列的壓縮波，并在離拐角一定距離處匯聚成一道分離激波，激波后邊界層往往不能承受強(qiáng)逆壓梯度而發(fā)生分離，形成一個(gè)“凸包”，超聲速氣流流經(jīng)該“凸包”后緊接著在斜面的壓縮作用下，形成新的壓縮波區(qū).

圖7 超聲速壓縮拐角流場(chǎng)示意圖

與文獻(xiàn)［9－10］結(jié)論一致，本文采用BL-origin進(jìn)行計(jì)算未能得到收斂結(jié)果.圖8為修正后的BL-entropy與Wilcox k-ω計(jì)算所得壁面壓力、摩擦力分布，可以看出，BL-entropy能夠很好地預(yù)測(cè)分離點(diǎn)的位置，其中壓力分布與試驗(yàn)值吻合一致，但再附區(qū)中渦粘性預(yù)估不足，導(dǎo)致摩擦力低于試驗(yàn)值.對(duì)比兩個(gè)模型計(jì)算所得渦粘性分布（圖9），BL-entropy能夠有效地將渦粘性均勻地限制在壁面附近，達(dá)到了熵限制的目的.

2.3 超聲速膨脹-壓縮拐角

超聲速湍流膨脹-壓縮拐角是吸氣式高超聲速飛行器燃燒室和尾噴管部分的典型流動(dòng).采用的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)流條件為［11－12］:拐角角度 α =25°，高度 h=15 mm，Ma=2.9，單位長(zhǎng)度雷諾數(shù) Re=3.8×107m－1，來(lái)流湍流邊界層厚度在膨脹拐點(diǎn)處為δ=5.08 mm.

圖10為超聲速膨脹-壓縮拐角流場(chǎng)示意圖，超聲速氣流在第一個(gè)拐角處發(fā)散出膨脹波系，在壓縮拐點(diǎn)處由于強(qiáng)逆壓梯度形成分離區(qū)，分離區(qū)前后分別為分離激波和壓縮激波，兩道激波在下游交匯.

圖8 壓縮拐角壁面壓力與摩擦力分布圖

圖9 壓縮拐角流場(chǎng)渦粘性系數(shù)分布圖

圖11、圖12分別為3個(gè)模型計(jì)算所得壓力、摩擦力以及渦粘性分布圖.

圖10 超聲速膨脹-壓縮拐角流場(chǎng)示意圖

可以看出，BL-entropy極大地改進(jìn)了 BL-origin的性能.BL-entropy與Wilcox k-ω壓力計(jì)算結(jié)果一致且與試驗(yàn)值吻合良好，在再附點(diǎn)處摩擦力計(jì)算結(jié)果偏低，其他區(qū)域與試驗(yàn)值一致.BL-origin由于在分離區(qū)無(wú)法確定合理的長(zhǎng)度尺度 Ymax，導(dǎo)致壓力與摩擦力計(jì)算結(jié)果在分離區(qū)域出現(xiàn)“震蕩”，并且由圖12可以看出，BL-origin計(jì)算所得渦粘性在整個(gè)膨脹扇區(qū)以及分離區(qū)出現(xiàn)間斷，導(dǎo)致分離區(qū)過(guò)大.BL-entropy在膨脹扇區(qū)渦粘性計(jì)算偏小，其他區(qū)域與Wilcox k-ω計(jì)算結(jié)果相近，說(shuō)明本文提出的熵限制的方法能夠克服原始模型的缺陷，更好地符合物理本質(zhì).

圖12 膨脹-壓縮拐角流場(chǎng)渦粘性系數(shù)分布圖

3 結(jié)論

BL-origin模型由于未限制長(zhǎng)度尺度的搜索范圍，使其在模擬激波/邊界層干擾、分離、再附等復(fù)雜流動(dòng)時(shí)無(wú)法獲取正確的渦粘性分布，從而導(dǎo)致計(jì)算發(fā)散或者得出錯(cuò)誤流場(chǎng).本文針對(duì)上述不足，提出一種基于熵限制的新型修正方式.熵是衡量能量耗散的指標(biāo)，超聲速流動(dòng)中壁面處的熵值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外部流動(dòng)，同時(shí)，熵值在復(fù)雜流動(dòng)區(qū)域也能夠保持較好的單調(diào)性.本文利用熵的上述特點(diǎn)，在原始的BL模型中引入熵限制，通過(guò)對(duì)超聲速平板、超聲速壓縮拐角、超聲速膨脹-壓縮拐角3種典型算例進(jìn)行計(jì)算研究，得出以下結(jié)論:

1）BL模型中的參數(shù)Ccp，Ckleb與馬赫數(shù)有關(guān)，并直接影響B(tài)L模型的性能;

2）對(duì)于激波/邊界層干擾、分離、再附區(qū)域，原始的BL模型不能正確捕捉渦粘性，會(huì)造成預(yù)測(cè)分離點(diǎn)提前，分離區(qū)過(guò)大甚至導(dǎo)致流場(chǎng)計(jì)算發(fā)散的問(wèn)題;

3）采用熵限制后的BL模型能夠獲得符合物理意義的渦粘性分布，在再附點(diǎn)區(qū)域渦粘性偏小，需要進(jìn)一步改進(jìn);

4）本文提出的新型熵限制方式保持了BL-origin模型的簡(jiǎn)單、效率高的優(yōu)勢(shì)，其思想可以推廣到其他與超聲速邊界層相關(guān)的模型當(dāng)中.

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New kind Baldwin-Lomax turbulence model under the limit of entropy

Zhao RuiYan Chao Yu Jian
（School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

A new kind correction to Baldwin-Lomax turbulence model（BL-entropy）based on the concept of entropy was proposed. The supersonic plane， two-dimensional supersonic compression corner and expansion-compression corner which were representative in the engineering area were chosen in the numerical simulation to evaluate the performance of this model.It is found that BL-entropy can conquer the essential deficiency of the original model by providing a more physically correct length scale in the supersonic complex flow.Moreover，this method is simple，computationally fast and general，making it applicable to other models related with the supersonic boundary layer.

turbulence models;entropy;supersonic flows;computational fluid dynamics

V 211.3

A

1001-5965（2012）02-0175-05

2010-11-12;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:

時(shí)間:2012-02-21 11:47;

CNKI:11-2625/V.20120221.1147.029

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1147.029.html

國(guó)家973計(jì)劃資助項(xiàng)目（2009CB724104）

趙 瑞（1987－），男，山東陽(yáng)谷人，博士生，zr8800@126.com.

（編 輯:李 晶）