王星皓 馬紀(jì)明 曾聲奎 趙雪梅

(北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191)

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(MDO，Multidisciplinary Design Optimization)是工程領(lǐng)域一種新的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，其主要思想是通過充分利用各個(gè)學(xué)科之間相互作用的協(xié)同效應(yīng)，獲得系統(tǒng)整體的最優(yōu)解［1］.目前，MDO已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于航空航天、機(jī)械制造等領(lǐng)域.其中，協(xié)同優(yōu)化方法(CO，Collaborative Optimization)是 Kroo［2］等人在一致性約束優(yōu)化算法基礎(chǔ)上提出的一種多級(jí)MDO算法，由于其結(jié)構(gòu)簡單且算法收斂性比較可靠，因此得到了較廣泛的重視和應(yīng)用.在MDO中，當(dāng)輸入變量發(fā)生波動(dòng)，仿真模型產(chǎn)生不確定性時(shí)，系統(tǒng)的輸出和學(xué)科間的耦合也就成為了隨機(jī)變量，就產(chǎn)生了如何取得MDO可行解的問題，解決這樣的問題稱之為基于可靠性的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(RBMDO，Reliability-based Multidisciplinary Design Optimization).

國內(nèi)外眾多學(xué)者對RBMDO中高效的可靠性分析方法和協(xié)調(diào)方法進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)［3］提出了用系統(tǒng)輸出的響應(yīng)面模型代替高計(jì)算成本的約束函數(shù)，基于響應(yīng)面約束來進(jìn)行最可能點(diǎn)(MPP，Most Probable Point)的搜索;文獻(xiàn)［4］使用 ATC(Analytical Target Cascading)算法將RBMDO分解為多個(gè)基于可靠性的設(shè)計(jì)優(yōu)化(RBDO，Reliability-based Design Optimization)問題，對每個(gè)RBDO問題采用順序優(yōu)化與可靠性分析(SORA，Sequential Optimization and Reliability Assessment)方法來解決;文獻(xiàn)［5］提出了采用并行子空間方法的RBMDO方法，利用并行子空間來進(jìn)行MPP的搜索和整個(gè)問題的優(yōu)化;文獻(xiàn)［6］等提出了一種MDO框架下的SORA方法，實(shí)現(xiàn)了可靠性分析與多學(xué)科優(yōu)化的解耦;文獻(xiàn)［7］提出了一種基于改進(jìn)一次二階矩方法的并行子空間優(yōu)化方法，該方法由于不在優(yōu)化過程中執(zhí)行MPP的計(jì)算，因此效率更高.文獻(xiàn)［8］等提出了可靠性分析的分層混合策略，在MDO的頂層和底層采用不同的可靠性分析方法，從而提高可靠性分析的效率.

針對不確定性MDO中計(jì)算成本高的問題，本文將協(xié)同優(yōu)化方法與兩種在計(jì)算精度和成本上各有優(yōu)勢的可靠性分析方法相結(jié)合，提出一種基于混合可靠性分析的協(xié)同優(yōu)化方法.該方法在傳統(tǒng)嵌套循環(huán)算法的基礎(chǔ)上，通過估算優(yōu)化迭代點(diǎn)與約束邊界的距離，選擇精度不同的可靠性分析方法，僅對靠近約束邊界的點(diǎn)進(jìn)行基于一次可靠性方法(FORM，F(xiàn)irst Order Reliability Method)的可靠性分析，其余點(diǎn)僅采用均值法粗略計(jì)算其可靠度.從而在保證分析精度的前提下，避免了在優(yōu)化初期高成本的可靠性分析，有效地降低了計(jì)算成本，提高了計(jì)算效率.

1 現(xiàn)有可靠性分析方法

1.1 均 值 法

均值法［9］是在機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性研究初期提出的一種方法，其基本思想是首先將非線性狀態(tài)函數(shù)在隨機(jī)變量的均值點(diǎn)處作泰勒級(jí)數(shù)展開并保留至一次項(xiàng)，近似計(jì)算狀態(tài)函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

假設(shè)狀態(tài)函數(shù)g(X)是光滑的并且在均值處可以泰勒展開，在均值點(diǎn)處的狀態(tài)函數(shù)可以表示為

式中，GMV代表一次項(xiàng)之和;H(X)代表高階項(xiàng)系數(shù)ai通過數(shù)值微分或者最小平方法來計(jì)算，用數(shù)值微分方法估算Z函數(shù)，最少次數(shù)為n+1次.

只保留一次項(xiàng)，假設(shè)都為獨(dú)立隨機(jī)變量，Z的均值和方差可以近似為

可靠性指標(biāo)可以表示為

從計(jì)算可靠性指標(biāo)所需的系統(tǒng)分析次數(shù)來看，該方法是約束可靠性分析中效率最高的.但對于非線性的狀態(tài)函數(shù)，均值法計(jì)算結(jié)果不夠精確.

1.2FORM 法

1974年 Hasofer和 Lind［9］更加科學(xué)地對可靠性指標(biāo)進(jìn)行了定義，并引入了驗(yàn)算點(diǎn)的概念，提出了改進(jìn)的FORM方法.該算法使用當(dāng)量正態(tài)法將狀態(tài)函數(shù)g(X)變換為g'(u).此時(shí)，設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)u*到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面(g(u)=0)的最短距離β，定義該值為可靠性指標(biāo).驗(yàn)算點(diǎn)法算法步驟為:

1)假定初始驗(yàn)算點(diǎn).

2)根據(jù)設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，計(jì)算非正態(tài)隨機(jī)變量的等效正態(tài)分布參數(shù).

3)計(jì)算可靠性指標(biāo).

4)計(jì)算重要度系數(shù).

5)計(jì)算新的驗(yàn)算點(diǎn).

FORM法能對可靠性指標(biāo)進(jìn)行精度較高的計(jì)算，是一種應(yīng)用較為廣泛的可靠性分析方法，但其計(jì)算成本較高.

2 基于混合可靠性分析的協(xié)同優(yōu)化

本文提出的基于混合可靠性分析的協(xié)同優(yōu)化方法是在標(biāo)準(zhǔn)的協(xié)同方法上提出的，仍具有協(xié)同優(yōu)化各個(gè)學(xué)科自治性較高的優(yōu)點(diǎn)，并針對每個(gè)子學(xué)科進(jìn)行基于可靠性的設(shè)計(jì)優(yōu)化過程進(jìn)行了改進(jìn).

基于混合可靠性分析的協(xié)同優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)模型可描述如下:

系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問題:

式中，f(Z)是整個(gè)系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù);Ji是第i個(gè)一致性等式約束，也是第i個(gè)子系統(tǒng)的目標(biāo)，系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量包括學(xué)科之間的共享設(shè)計(jì)變量{}和學(xué)科間的耦合狀態(tài)變量{}.

子系統(tǒng)的優(yōu)化模型為:

式中，gk表示第p個(gè)可靠性約束條件;Rk為該可靠性約束的可靠度要求，子系統(tǒng)級(jí)的設(shè)計(jì)變量包括該子系統(tǒng)的局部設(shè)計(jì)變量{}、共享設(shè)計(jì)變量{}和耦合狀態(tài)變量{}.

考慮到優(yōu)化過程是一個(gè)從初始點(diǎn)逐步迭代，收斂到約束邊界的過程，通過每次分析得到的可靠性值來判斷該設(shè)計(jì)點(diǎn)與約束邊界的距離，并以此為依據(jù)在下一迭代點(diǎn)的可靠性分析中選擇合適的算法.通過在遠(yuǎn)離邊界時(shí)選用效率較高的均值法，在邊界附近選用精度較高的FORM法，在不影響最終優(yōu)化結(jié)果可靠性精度的前提下，提高了效率.基于混合可靠性分析方法的系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化與標(biāo)準(zhǔn)的協(xié)同優(yōu)化過程基本相同，其子系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化的流程如圖1所示.

1)在初始點(diǎn)處使用均值法進(jìn)行粗略的可靠性分析，得可靠度R0;

2)初始點(diǎn)一般無法滿足收斂條件，優(yōu)化迭代產(chǎn)生新的設(shè)計(jì)點(diǎn);

3)在對新的設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行可靠性分析之前，通過判斷上次可靠性分析的結(jié)果來選擇本次可靠性分析的方法.若滿足|Rn－1－Rreq|＜ε 且Rn－1≠1，則轉(zhuǎn)步驟4)，否則轉(zhuǎn)步驟5).其中Rreq為該可靠性約束的可靠度要求，ε為均值法分析可能產(chǎn)生的最大誤差，實(shí)際工程中可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取值;

圖1 子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化流程

4)采用FORM法進(jìn)行可靠性分析，計(jì)算可靠性指標(biāo)

式中，Xi為經(jīng)多次迭代得到的MPP點(diǎn)，轉(zhuǎn)步驟6);

5)采用均值法進(jìn)行可靠性分析，計(jì)算可靠性指標(biāo)為

式中，μz和σz為用近似方法得到的均值和方差，轉(zhuǎn)步驟6);

6)計(jì)算可靠度

式中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù);

7)判斷本次優(yōu)化是否滿足收斂條件及可靠性約束，若滿足就結(jié)束子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化，否則優(yōu)化迭代產(chǎn)生新的設(shè)計(jì)點(diǎn)，轉(zhuǎn)步驟3)，繼續(xù)優(yōu)化和可靠性分析，直至滿足收斂條件為止.

3 算例試驗(yàn)

減速器優(yōu)化算例是 NASA(National Aeronautics and Space Administration)評(píng)估多學(xué)科設(shè)計(jì)方法性能的10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例之一［10］.減速器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的目標(biāo)是在滿足減速器中轉(zhuǎn)軸和齒輪大量約束的同時(shí)，使得減速器體積最小(即質(zhì)量最輕).該優(yōu)化問題有7個(gè)設(shè)計(jì)變量，其中x1為齒面寬度，x2為齒輪模數(shù)，x3為小齒輪齒數(shù)，x4，x5為軸承間距，x6，x7為大小齒輪軸的直徑.

數(shù)學(xué)模型為

其中，g1為輪齒的最大彎曲應(yīng)力;g2為輪齒最大接觸應(yīng)力;g3和g4為軸的橫向最大撓度;g5和g6為軸內(nèi)最大應(yīng)力;g7，g8和g9為尺寸和空間限制;g10和g11為軸尺寸計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式.為了驗(yàn)算本文提出的算法，將x1－x2，x4－x7作為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，將g1－g4作為可靠性約束，取可靠度要求為95%，建立基于可靠性的協(xié)同優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，分別采用均值法、FORM法以及混合可靠性分析方法來進(jìn)行可靠性分析.

系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型為

子系統(tǒng)1優(yōu)化模型為

子系統(tǒng)2優(yōu)化模型為

子系統(tǒng)3優(yōu)化模型為

在優(yōu)化過程中，系統(tǒng)級(jí)變量設(shè)為確定性變量，子系統(tǒng)級(jí)為服從實(shí)際分布規(guī)律的隨機(jī)變量，分別以各設(shè)計(jì)量的上下限的中值點(diǎn)作為初始點(diǎn)，分別采用不同的可靠性分析方法進(jìn)行優(yōu)化，其計(jì)算成本和優(yōu)化結(jié)果如表1和表2所示，并對約束的可靠性采用Monte-Carlo方法進(jìn)行了分析，各個(gè)約束可靠性分析結(jié)果如表3所示.

表1 循環(huán)次數(shù)對比

表2 優(yōu)化結(jié)果對比

表3 約束的可靠性分析

可以看到采用均值法的CO方法雖然計(jì)算成本較低，但部分約束(如本例中g(shù)1)不滿足可靠性要求.基于混合可靠性分析的CO與采用FORM方法的CO得到的優(yōu)化結(jié)果都滿足要求，但基于混合可靠性分析的CO計(jì)算成本更低.

4 結(jié)論

1)將協(xié)同優(yōu)化與兩種基本可靠性分析方法相結(jié)合，提出了基于混合可靠性分析的協(xié)同優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算流程，并通過算例驗(yàn)證其可行性.

2)基于混合可靠性的協(xié)同優(yōu)化方法在保證可靠性精度的同時(shí)，有效減少了計(jì)算成本，有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.

References)

［1］Sobieszczanski-Sobieski，J，Haftka R T.Multidisciplinary aerospace design optimization:survey of recent developments［J］.Structural Optimization，1997，14(1):1－23

［2］Kroo I M，Manning Valerie.Collaborative optimization:status and directions［C］//Proc ofthe 8th AIAA/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization.Long Beach:AIAA，2000

［3］Sue R H，Oakley D R，Rhodes G S.Multidisciplinary stochastic optimization［C］//Proc of the 10th Conference on Engineer Mechanics Part 2，Vol 2.Boulder，CO:ASME，1995:934－937

［4］Liao G，Kim H M，Ha C.Multilevel optimization considering variability in design variables of multidisciplinary system［C］//Proceedings of the 11th AIAA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization.Portsmouth，Virginia，USA:AIAA，2006

［5］Padamanabhan D，Batill S M.An iterative concurrent subspace robust design framework［C］//Proc of 8th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization.Long Beach，California:AIAA，2000:133－138

［6］Fan Hui，Li Weiji.An efficient method for reliability-based multidisciplinary design optimization ［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21(4):335－340

［7］Du Xiaoping，Guo Jia，Beeram Harish.Sequential optimization and reliability assessment for multidisciplinary systems design［J］.Struct Multidisc Optim，2008，35:117－130

［8］Li Liansheng，Jing Shikai，Liu Jihong.A hierarchical hybrid strategy for reliability analysis of multidisciplinary design optimization［C］//Proceedings of the 2010 14th International Conference on Computer Supported Cooperative Work in Design.Shanghai:IEEE，2010:525－530

［9］張建國，蘇多，劉英衛(wèi).機(jī)械產(chǎn)品可靠性分析與優(yōu)化［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2008

Zhang Jianguo，Su Duo，Liu Yingwei.Reliability analysis and optimization of mechanical products［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2008(in Chinese)

［10］Kodiyalam S.Evaluation of methods for multidisciplinary design optimization(MDO)，PhaseI［R］.NASA/CR-1998-208716，1998