周旺保，蔣麗忠,2，邵光強(qiáng)，余志武,2

(1. 中南大學(xué)土木建筑學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410075；2. 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410075)

鋼-混凝土組合梁由型鋼或焊接工字鋼通過(guò)抗剪連接件與混凝土形成整體共同承受外部荷載的作用。由于這種結(jié)構(gòu)能充分發(fā)揮鋼材受拉、混凝土抗壓， 使結(jié)構(gòu)具有承載力高、塑性和韌性好、施工方便、經(jīng)濟(jì)效果顯著的優(yōu)勢(shì)， 在大跨度橋梁和高層建筑中得到廣泛應(yīng)用。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中， 因?yàn)榛炷烈砭壈宓目箯潯⒖古偠群艽螅?同時(shí)，由于混凝土板通過(guò)栓釘與工字鋼梁上翼緣緊密地連成一體，所以，對(duì)于組合梁正彎矩區(qū)不存在側(cè)向失穩(wěn)驗(yàn)算問(wèn)題。但在組合梁的負(fù)彎矩區(qū)域，鋼梁下翼緣在承受較大的可變荷載以及不利荷載分布時(shí)，呈受壓狀態(tài)而產(chǎn)生側(cè)向失穩(wěn)，并伴隨鋼梁腹板的橫向變形，很容易出現(xiàn)畸變屈曲的現(xiàn)象。但是，在我國(guó)現(xiàn)行鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[1]中沒(méi)有組合梁穩(wěn)定設(shè)計(jì)的內(nèi)容，工程界基本沿襲非約束工字鋼梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)方法或者采用彈性地基梁上非變軸力壓桿穩(wěn)定求解方法。這些方法既不統(tǒng)一，結(jié)果也過(guò)于保守。目前，鋼-混組合梁方面的研究很多[1-10]，但涉及組合梁負(fù)彎矩區(qū)的畸變屈曲方面的研究還很少。文獻(xiàn)[5-11]等對(duì)薄壁鋼梁畸變屈曲方面進(jìn)行了理論分析與試驗(yàn)研究，但鑒于組合梁和薄壁鋼梁受力特性的差異，不能照搬鋼梁理論，因此，有必要對(duì)組合梁畸變屈曲進(jìn)行相關(guān)的理論分析和試驗(yàn)研究。文獻(xiàn)[12-16]利用能量法對(duì)工形鋼-混凝土組合梁及鋼-混凝土箱梁的畸變屈曲進(jìn)行了理論分析，但利用能量法分析時(shí)不能清晰地反映腹板對(duì)下翼緣約束作用及腹板約束對(duì)屈曲荷載的影響，從而不能將側(cè)向彎曲失穩(wěn)與側(cè)向彎扭失穩(wěn)進(jìn)行統(tǒng)一分析，物理概念不清晰。同時(shí)，文獻(xiàn)[16]與文獻(xiàn)[13-15]不同的是考慮了整個(gè)截面的圣維南扭轉(zhuǎn)，未考慮到屈曲波長(zhǎng)，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果有一定偏差。文獻(xiàn)[21]中所介紹的彈性地基梁法中沒(méi)有考慮到負(fù)彎矩區(qū)混凝土已大部分開(kāi)裂并退出工作，利用條元法求解轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度計(jì)算公式時(shí)未考慮到相鄰條元的約束作用，同時(shí)，未考慮到腹板對(duì)翼緣具有轉(zhuǎn)動(dòng)約束作用，從而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果有一定偏差。可見(jiàn)，有必要對(duì)組合梁中鋼梁腹板對(duì)下翼緣的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度、側(cè)向約束剛度及相應(yīng)的畸變屈曲荷載進(jìn)行更深入研究。為此，本文作者在合理假設(shè)基礎(chǔ)上，利用能量法[17-18]獲得工形鋼-混凝土組合梁中鋼梁下翼緣在縱向線(xiàn)性分布應(yīng)力作用下對(duì)鋼梁腹板的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度 kφ及側(cè)向約束剛度 kx的計(jì)算公式，對(duì)kφ與kx的特性進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上，利用彈性介質(zhì)中中心受壓薄壁桿件的屈曲理論[19-20]計(jì)算工形鋼-混凝土組合梁負(fù)彎矩區(qū)的側(cè)向彎曲屈曲應(yīng)力及側(cè)向彎扭屈曲應(yīng)力，并進(jìn)一步獲得相應(yīng)的屈曲彎矩。最后結(jié)合實(shí)例將本文計(jì)算方法與文獻(xiàn)[16，21]中計(jì)算方法及ANSYS有限元方法進(jìn)行比較，以驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性。

1 基本假定

鋼-混凝土組合梁基本尺寸見(jiàn)圖1，組合梁中的工字鋼梁與自由的簡(jiǎn)支鋼梁(非約束鋼梁)的側(cè)向失穩(wěn)模式不同，它的上翼緣嵌固在剛度較大的混凝土翼緣板上，側(cè)向變形和扭轉(zhuǎn)變形都受到了一定程度的約束；它的下翼緣受壓，雖然有可能產(chǎn)生側(cè)向位移和扭轉(zhuǎn)角，但是受到腹板的側(cè)向約束，因此，組合梁的側(cè)向失穩(wěn)可以定義為伴隨鋼梁腹板側(cè)向受彎變形的畸變屈曲。鋼-混凝土組合梁與普通鋼梁在負(fù)彎矩作用下屈曲特性的基本區(qū)別見(jiàn)圖2。從圖2可以看出：鋼-混凝土組合梁負(fù)彎矩區(qū)鋼梁屈曲屬于畸變屈曲。

圖1 鋼-混凝土組合梁截面尺寸及坐標(biāo)Fig.1 Cross-section dimensions of steel-concrete composite beams and axes

圖2 鋼-混凝土組合梁與普通鋼梁屈曲特性Fig.2 Buckling behavior of steel-concrete composite beams and plain steel beams

采用固定的右手坐標(biāo)系xyz，坐標(biāo)原點(diǎn)O為工字鋼下翼緣的形心。如圖1 所示單軸對(duì)稱(chēng)截面的受彎組合梁, 在其剛度較大的yz平面內(nèi)承受著彎矩Mx。為了計(jì)算方便，在分析計(jì)算鋼梁下翼緣對(duì)鋼梁腹板的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度kφ、側(cè)向約束剛度kx及相應(yīng)屈曲彎矩時(shí)， 還需要進(jìn)行如下假定：

(1) 材料是各向同性的完全彈性體；

(2) 構(gòu)件為等截面梁而且無(wú)初始缺陷；

(3) 在畸變屈曲時(shí)鋼梁下翼緣截面形狀保持不變；

(4) 鋼筋混凝土翼板的剛度很大，鋼梁上翼緣由于受到混凝土翼板的約束不能發(fā)生側(cè)向變形和扭轉(zhuǎn)變形；

(5) 在負(fù)彎矩作用下組合梁屈曲時(shí)混凝土已大部分開(kāi)裂，忽略混凝土的抗彎作用，只考慮混凝土翼板中鋼筋的抗彎作用；

(6) 腹板對(duì)下翼緣的豎向約束剛度ky=∞。

根據(jù)上述基本假定，鋼-混凝土組合梁畸變屈曲模型可簡(jiǎn)化為下翼緣在水平方向和扭轉(zhuǎn)方向受彈簧約束及豎向受剛性約束的薄壁約束扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，其簡(jiǎn)化計(jì)算模型如圖3所示。

圖3 鋼-混凝土組合梁簡(jiǎn)化計(jì)算模型Fig.3 Simplified calculation model of steel-concrete composite beams

2 腹板約束系數(shù)kφ與kx的確定及分析

2.1 轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度kφ的確定

如圖4所示，取1個(gè)半波長(zhǎng)的腹板板段為研究對(duì)象。板段的長(zhǎng)、寬和厚度分別為λ，hw和tw，λ為畸變屈曲在構(gòu)件縱向形成的1個(gè)半波的長(zhǎng)度(以下簡(jiǎn)稱(chēng)半波長(zhǎng)度)；兩橫向?qū)吅?jiǎn)支，與上翼緣交接邊固支，與下翼緣交接邊簡(jiǎn)支。其中兩簡(jiǎn)支對(duì)邊承受沿z方向的縱向線(xiàn)性分布應(yīng)力σ (壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù))，與下翼緣交接邊承受下翼緣對(duì)腹板的等效彈簧約束彎矩m(z)。設(shè)組合梁全截面鋼材重心縱坐標(biāo)為-yc，全截面鋼材繞其重心的慣性矩為 I。根據(jù)上述假設(shè)可知：在負(fù)彎矩作用下考慮混凝土板翼緣鋼筋后，腹板下邊緣處軸向壓應(yīng)力為σ1=Mxyc/I；腹板上邊緣處軸向外壓應(yīng)力σ2=σ1(yc-hw)/yc；腹板其他點(diǎn)所承受的軸向外壓應(yīng)力為σ=σ1(yc+y)/yc，其中Mx為作用在組合梁上的負(fù)彎矩。

圖4 承受分布?jí)簯?yīng)力及分布彎矩的腹板Fig.4 Rectangular plate subjected to compression and moments

根據(jù)上述邊界條件，可取位移函數(shù)為：

代入邊界條件得：

由式(3a)和(3b)得：

將式(4)代入式(2)得：

由文獻(xiàn)[16-17]可知半波長(zhǎng)腹板在小變形情況下的應(yīng)變能為：

將式(5)代入式(6)得：

半波長(zhǎng)縱邊彈簧約束引起的彈性勢(shì)能為：

將式(5)代入式(8)得：

利用材料力學(xué)外力功的計(jì)算公式可得半波長(zhǎng)腹板上的外力功[17-18]為：

將式(5)代入式(10)得：

半波長(zhǎng)腹板總勢(shì)能為：

將式(7)，(9)和(11)代入式(12)得：

由勢(shì)能駐值原理可得：

求解式(14)得：

2.2 側(cè)向約束剛度kx的確定

仍取1個(gè)半波長(zhǎng)的腹板板段為研究對(duì)象，如圖5所示。板段兩橫向?qū)吅?jiǎn)支，與上翼緣交接邊固支，與下翼緣交接邊可側(cè)向移動(dòng)。其中兩簡(jiǎn)支對(duì)邊承受沿z方向的縱向線(xiàn)性分布應(yīng)力 σ(壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù))，與下翼緣交接邊承受下翼緣對(duì)腹板的等效彈簧約束分布力f(z)。

圖5 承受分布?jí)簯?yīng)力及分布側(cè)向應(yīng)力的腹板Fig.5 Rectangular plate subjected to compression and lateral stress

根據(jù)上述分析，其邊界條件可表示為：

根據(jù)上述邊界條件，可取位移函數(shù)為：

代入邊界條件可得：

將式(18)代入式(17)得：

將式(19)代入式(6)得半波長(zhǎng)腹板在小變形情況下的應(yīng)變能U1為：

半波長(zhǎng)縱邊彈簧約束引起的彈性勢(shì)能U2為：

將式(19)代入式(21)得：

將式(19)代入式(10)得半波長(zhǎng)腹板上的外力功 W為：

將式(20)，(22)和(23)代入式(12)得半波長(zhǎng)腹板總勢(shì)能Π為：

由勢(shì)能駐值原理得：

求解式(25)得：

2.3 關(guān)于kx與kφ的討論

(1) 從式(15)及式(26)可以看出：轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度kφ及側(cè)向約束剛度kx均與下翼緣縱向壓應(yīng)力σ1呈線(xiàn)性關(guān)系，因?yàn)樵谝话闱闆r下，hw/yc＜2，所以，σ1前系數(shù)為正，即σ1越大，鋼梁下翼緣對(duì)腹板的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度與側(cè)向約束剛度越大。同時(shí)也說(shuō)明鋼梁下翼緣對(duì)腹板的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度及側(cè)向約束剛度均與壓應(yīng)力σ1有關(guān)，而不是由組合梁截面自身特性決定的。

(2) 式(15)和式(26)等號(hào)右邊多項(xiàng)式中均出現(xiàn)了負(fù)號(hào)項(xiàng)，說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度及側(cè)向約束剛度均有可能為負(fù)值。這與常規(guī)剛度及剛度矩陣均為正定是不同的。如轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度或側(cè)向約束剛度為負(fù)值，鋼梁下翼緣會(huì)受到腹板的轉(zhuǎn)動(dòng)或側(cè)向約束，即鋼梁腹板會(huì)減緩下翼緣屈曲而鋼梁下翼緣則會(huì)促進(jìn)腹板屈曲。文獻(xiàn)[21]中所描述的彈性約束壓桿失穩(wěn)模型中利用條元法求出側(cè)向約束剛度k的計(jì)算公式為但該方法未考慮到相鄰條元的約束作用，故該計(jì)算公式所獲得的側(cè)向約束剛度k與外荷載無(wú)關(guān)且始終為正，這與實(shí)際情況不符，同時(shí)未考慮到轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度，這樣便導(dǎo)致組合梁屈曲荷載計(jì)算結(jié)果存在一定誤差。

(3) 式(26)與式(15)等號(hào)右側(cè)對(duì)應(yīng)第1項(xiàng)、第2項(xiàng)及第3項(xiàng)的比值分別為：

2.4 工程實(shí)例分析

某多跨連續(xù)工字形組合梁的截面尺寸如圖6所示。若組合梁負(fù)彎矩跨受純彎矩作用，計(jì)算鋼梁下翼緣對(duì)腹板的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度及側(cè)向約束剛度，不考慮殘余應(yīng)力的影響。其中組合梁的工字鋼為 I20a, 混凝土翼板為C40現(xiàn)澆混凝土板，混凝土板厚h=120 mm，有效寬度bc=800 mm，負(fù)彎矩跨度l=4 m。

(1) 截面的幾何性質(zhì)：hw=188.6 mm，tf=11.4 mm，bf=100 mm，tw=7 mm，yc=175.63 mm，I=80 847 418.2mm4。

(2) 材料特性：彈性模量E=2.06×105N/mm2，剪切模量G=0.79×105N/mm2，泊松比μ=0.3。

對(duì)于半波長(zhǎng)的取值及失穩(wěn)彎矩的取值將在后續(xù)篇介紹。本文暫參考文獻(xiàn)[13]取半波數(shù)為4，則半波長(zhǎng)λ=1 000 mm。

(1) 取屈曲彎矩為Mcr=5.95×108N·mm，則有：

將上述參數(shù)分別代入式(15)和(26)得：

(2) 取屈曲彎矩為Mcr=5.95×109N·mm，則

將上述參數(shù)分別代入式(15)和(26)得：

(3) 取屈曲彎矩為Mcr=5.95×107N·mm，則

將上述參數(shù)分別代入式(15)和(26)得：

由式(30)～(38)可知：當(dāng)外荷載不同時(shí)，鋼梁下翼緣的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度及側(cè)向約束剛度可取正值及負(fù)值，當(dāng)外荷載特定時(shí)甚至可取 0。下翼緣轉(zhuǎn)動(dòng)及側(cè)向約束剛度可以為負(fù)值，這與常規(guī)剛度及剛度矩陣均為正定的觀(guān)點(diǎn)是不同的，從而可以加深對(duì)剛度的理解。

3 臨界彎矩的理論推導(dǎo)

3.1 臨界彎矩的推導(dǎo)

如圖3所示薄壁構(gòu)件，該構(gòu)件為關(guān)于x與y的雙對(duì)稱(chēng)截面，故形心O與彎曲中心重合。設(shè)彎曲中心即原點(diǎn)O在x方向的位移為u，彎曲中心即原點(diǎn)O在y方向的位移為v。因?yàn)閥方向的剛度為無(wú)窮大，故v=0。

由圖3及圖4可知：鋼梁下翼緣橫截面縱向壓力為：式中：yc為組合梁全截面鋼材重心為坐標(biāo)；I為組合梁全截面鋼材繞其重心的慣性矩；λ=l/n；n為整數(shù)。

[19-20]可得薄壁桿件的中性平衡微分方程為：

令 u=Asin(nπz/l)，利用伽遼金法[22]求解方程(41)可得：

由式(43)和(44)及 dσcr/dn=0可分別求得鋼梁側(cè)向彎曲失穩(wěn)臨界應(yīng)力σcr1及彎扭失穩(wěn)臨界應(yīng)力σcr2。比較兩者大小，較小者即為組合梁負(fù)彎矩區(qū)臨界應(yīng)力，由式(40)可進(jìn)一步獲得相應(yīng)臨界彎矩。綜上分析可見(jiàn)：負(fù)彎矩區(qū)組合梁屈曲模式除了側(cè)向彎曲失穩(wěn)外，還有側(cè)向彎扭失穩(wěn)。故文獻(xiàn)[16，21]僅考慮 1種情況的方法是不可取的，有待進(jìn)一步改進(jìn)。

3.2 工程實(shí)例分析

3.2.1 工程實(shí)例1

仍以前面所描述的工程實(shí)例為分析對(duì)象，計(jì)算其負(fù)彎矩區(qū)鋼梁部分的側(cè)向穩(wěn)定性，不考慮殘余應(yīng)力的影響。其中J=49384.8 mm4，Iy=9.5×105 mm4。

3.2.2 工程實(shí)例2

改變實(shí)例1中鋼梁部分bf與tf，分別取bf=150 mm，tf=7.6 mm，則有 J=21 948.8 mm4，Iy=2 137 500 mm4。其他參數(shù)均與實(shí)例1的相同。計(jì)算其負(fù)彎矩區(qū)鋼梁部分的側(cè)向穩(wěn)定性，不考慮殘余應(yīng)力的影響。

3.2.3 計(jì)算結(jié)果及比較

表1所示為實(shí)例各方法計(jì)算比較結(jié)果。由表1可知：(1) 算例 1中英國(guó)鋼結(jié)構(gòu)研究院采用的方法[16]所得計(jì)算結(jié)果、本文計(jì)算結(jié)果與ANSYS有限元模擬計(jì)算結(jié)果的偏差不大，而彈性約束壓桿的失穩(wěn)模型 法[21]所得計(jì)算結(jié)果則與ANSYS有限元模擬計(jì)算結(jié)果偏差較大。其原因是彈性約束壓桿的失穩(wěn)模型法中利用條元法求解轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度k的計(jì)算公式時(shí)未考慮到相鄰條元的約束作用，同時(shí)沒(méi)有考慮腹板對(duì)翼緣有轉(zhuǎn)動(dòng)約束作用；(2) 算例2中彈性約束壓桿的失穩(wěn)模型法[21]所得計(jì)算結(jié)果、本文計(jì)算結(jié)果與ANSYS有限元模擬計(jì)算結(jié)果的偏差不大，而英國(guó)鋼結(jié)構(gòu)研究院采用的方法[16]所得計(jì)算結(jié)果則與ANSYS有限元模擬計(jì)算結(jié)果的偏差較大。其原因是英國(guó)鋼結(jié)構(gòu)研究院采用的方法考慮了整個(gè)截面的圣維南扭轉(zhuǎn)，但未考慮到屈曲波長(zhǎng)的影響。

表1 多種計(jì)算結(jié)果的比較Table 1 Comparisons of multiple results MN·mm

總之，文獻(xiàn)[16]和[21]中2種計(jì)算方法所得計(jì)算結(jié)果均與ANSYS有限元模擬計(jì)算結(jié)果存在一定偏差，而本文方法則與有限元計(jì)算結(jié)果較吻合，驗(yàn)證了其正確性。

4 結(jié)論

(1) 轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度kφ及側(cè)向約束剛度kx均與下翼緣應(yīng)力σ1呈線(xiàn)性關(guān)系，且σ1前系數(shù)為正，即σ1越大，則鋼梁下翼緣對(duì)腹板的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度與側(cè)向約束剛度越大。

(2) 轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度及側(cè)向約束剛度均有可能為負(fù)值。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度或側(cè)向約束剛度為負(fù)值時(shí)，組合梁負(fù)彎矩區(qū)鋼梁屈曲，鋼梁下翼緣會(huì)受到腹板的轉(zhuǎn)動(dòng)或側(cè)向約束。

(4) 本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果較吻合，驗(yàn)證了本文方法的正確性。其原因是本文所得的屈曲彎矩計(jì)算公式同時(shí)考慮了側(cè)向彎曲屈曲及側(cè)向彎扭屈曲2種屈曲模式，物理概念清晰，比現(xiàn)有的僅考慮1種屈曲模式的計(jì)算方法更合理。同時(shí)，本文方法所得計(jì)算公式形式較簡(jiǎn)潔，適于工程應(yīng)用。

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