楊育榮，王建琦，2

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009;2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽 471009)

數(shù)字仿真是將實(shí)際系統(tǒng)中的各組成部分全部用數(shù)學(xué)模型代替，并把數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成數(shù)字仿真模型，在數(shù)字計(jì)算機(jī)上對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究的過程。它具有如下特點(diǎn):①經(jīng)濟(jì)性，不需要實(shí)物的參與，是最經(jīng)濟(jì)的研究方法;②靈活性，控制系統(tǒng)的研制是不斷完善的過程，如果對(duì)產(chǎn)品硬件進(jìn)行修改，無疑費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而利用數(shù)字仿真，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修改，可方便地對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)的每一部分進(jìn)行迭代設(shè)計(jì)和參數(shù)優(yōu)化，更具靈活性，并大大縮短研制周期［1-2］;③通用性，既往型號(hào)數(shù)學(xué)仿真中建立的數(shù)學(xué)模型經(jīng)過少許的改進(jìn)和開發(fā)，可以適用于后續(xù)型號(hào)或派生型號(hào)的研究。

本文主要介紹用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)導(dǎo)彈控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的模型化方法，對(duì)導(dǎo)彈控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的方法、步驟、內(nèi)容以及仿真試驗(yàn)的設(shè)計(jì)等進(jìn)行詳細(xì)描述，給出了評(píng)價(jià)仿真結(jié)果的方法。

1 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程線性化原理

導(dǎo)彈空間運(yùn)動(dòng)通常由一個(gè)非線性系數(shù)的微分方程組來描述。分析導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)特性，可以采用泰勒級(jí)數(shù)的線性化方法［3］。假設(shè)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程為一般形式的微分方程組，即:

式中:f1，f2，…，fn，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n都是關(guān)于導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)x1，x2，…xn的函數(shù)。

由理想彈道計(jì)算可得其特解為

式中下標(biāo)0 表示基準(zhǔn)彈道的參數(shù)。將特解式(2)代入式(1)可得

對(duì)一般形式的微分方程組(1)進(jìn)行線性化，為不失代表性，任取一個(gè)方程，并省略其下標(biāo)，有

式中:x 可以代表含擾動(dòng)作用飛行的任一運(yùn)動(dòng)參數(shù)，在基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)中有

一個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)在擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)和未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)中之差稱為運(yùn)動(dòng)參數(shù)的偏量(或增量)，其形式為

令Δx=x-x0，Δf=f-f0，ΔF=F-F0，因此，式(5)可改寫為

式(6)又可以改寫成

式中:ΔF 和Δf 是函數(shù)增量，可由以下方法計(jì)算。

將f 在x10，x20，…xn0點(diǎn)附近展開為泰勒級(jí)數(shù)，且定義f00=f0(x10，x20，…xn0)，則有

式中Rf是所有高于二階以上各項(xiàng)之和。增量函數(shù)Δf 為

同理可以求得增量函數(shù)ΔF 的表達(dá)式為

略去高階小量之和，式(8)可以寫為

可得任一運(yùn)動(dòng)參數(shù)的偏量的線性微分方程式

顯然，式(13)中的自變量是運(yùn)動(dòng)參數(shù)偏量Δx，可以是Δx1，Δx2，…Δxn，偏量在方程式中僅有1 次冪，沒有偏量間的乘積，所以微分方程式(12)是線性的。式中，函數(shù)f0以及偏導(dǎo)數(shù)等，均是已知的基準(zhǔn)彈道運(yùn)動(dòng)參數(shù)的函數(shù)。

2 導(dǎo)彈仿真模型的建立

2.1 彈體縱向運(yùn)動(dòng)小擾動(dòng)模型

利用導(dǎo)彈質(zhì)心動(dòng)力學(xué)、繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)等方程［4］，采用小擾動(dòng)線性化，忽略二階以上微量以及導(dǎo)彈氣動(dòng)力、氣動(dòng)力矩的次要因素時(shí)，可使方程實(shí)現(xiàn)線性化，得到導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的簡化方程。由導(dǎo)彈彈體縱向運(yùn)動(dòng)方程，采用上述線性化方法，可以得到小擾動(dòng)模型為:

式中:? 為俯仰角;θ 為彈道傾角;α 為攻角;δ 為舵偏角;a1～a5為彈體動(dòng)力系數(shù)，其計(jì)算公式為

其中:q 為動(dòng)壓;Sref為參考面積;m 為質(zhì)量;V 為速度;Lref為參考長度;Jz為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為氣動(dòng)偏導(dǎo)數(shù)。

2.2 縱向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)

導(dǎo)彈縱向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)為:

式中傳遞函數(shù)系數(shù)計(jì)算公式為:

3 導(dǎo)彈控制系統(tǒng)數(shù)字仿真

導(dǎo)彈控制系統(tǒng)仿真包括線性化仿真和非線性仿真。線性化仿真是在導(dǎo)彈的飛行空域中，選取特征點(diǎn)，利用固定導(dǎo)彈的飛行高度、馬赫數(shù)、攻角、發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒時(shí)間等，利用傳統(tǒng)的控制理論，來研究導(dǎo)彈的閉環(huán)時(shí)域特性和開環(huán)頻域特性［5-6］。

非線性仿真在導(dǎo)彈飛行空域內(nèi)選取一條特定的彈道進(jìn)行，其實(shí)質(zhì)為求解高階微分方程，仿真的基本步驟為:

1)寫出實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;

2)將數(shù)學(xué)模型二次模型化，轉(zhuǎn)變成可編程的離散化模型;

3)針對(duì)離散化模型，用編程語言編寫仿真程序;

4)仿真結(jié)果分析、修改，直至滿足要求。

3.1 線性化仿真

線性化模型是非線性模型的簡化，具有模型簡單、容易實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，一般考慮連續(xù)系統(tǒng)，進(jìn)行時(shí)域分析和頻域分析。時(shí)域分析對(duì)系統(tǒng)施加一定的輸入信號(hào)，通過研究系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)來評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能［7］。對(duì)三回路自動(dòng)駕駛儀來說，時(shí)域分析主要對(duì)角速度回路、姿態(tài)角回路和加速度回路進(jìn)行閉環(huán)分析，考察上升時(shí)間(tr)、超調(diào)量(σp)、穩(wěn)態(tài)誤差等指標(biāo)。圖1為某導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。

圖1 控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

導(dǎo)彈控制系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)一般是上升時(shí)間小于0.3 s，超調(diào)量小于20%，穩(wěn)態(tài)誤差小于10%。從圖1 可以看出，系統(tǒng)階躍響應(yīng)上升到85%的時(shí)間為0.22 s，超調(diào)量為1.3%，穩(wěn)態(tài)誤差為0，因此圖1 的系統(tǒng)能夠滿足時(shí)域設(shè)計(jì)要求，但仍需要分析其頻域特性。

頻域分析通過系統(tǒng)開環(huán)的頻率特性來進(jìn)行。開環(huán)頻域特性主要分析幅值裕度(Gm)、相位裕度(Pm)等［8］。圖2 所示為圖1 中對(duì)應(yīng)的頻域特性曲線。

圖2 控制系統(tǒng)頻域特性曲線

導(dǎo)彈控制系統(tǒng)頻域指標(biāo)一般是幅值裕度大于6 dB，相位裕度大于30 rad/s。從圖2 中可以看出，系統(tǒng)的幅值裕度為7.71 dB，相位裕度為34.1 rad/s。因此，此系統(tǒng)滿足時(shí)域、頻域設(shè)計(jì)要求。

3.2 非線性仿真

現(xiàn)代導(dǎo)彈是一個(gè)非常復(fù)雜的系統(tǒng)，大攻角、非線性、強(qiáng)耦合等特點(diǎn)決定了導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)必須要經(jīng)過嚴(yán)格的考核?？刂葡到y(tǒng)在工作過程中，力系數(shù)、力矩系數(shù)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、推力偏心、推力溫度、舵零位誤差、舵機(jī)前向控制增益、初始俯仰角、初始發(fā)射速度等都可能影響其性能。這些因素的排列組合將非常龐大，因此需要尋求一種盡量少做仿真試驗(yàn)但卻能全面考核導(dǎo)彈性能的試驗(yàn)方法。非線性仿真可以采用單項(xiàng)因素、機(jī)彈干擾和正交拉偏等試驗(yàn)進(jìn)行［9］。

1)單項(xiàng)因素仿真。只考察某1 個(gè)特定參數(shù)的影響程度，進(jìn)行單項(xiàng)因素仿真(包括對(duì)這個(gè)參數(shù)的上拉偏、下拉偏和額定偏仿真)。

2)機(jī)彈干擾仿真。在導(dǎo)彈和飛機(jī)分離時(shí)刻引入1 個(gè)初始角速度、攻角、力矩、力等進(jìn)行發(fā)射仿真。

3)正交拉偏仿真。選取n 個(gè)不相關(guān)的算法影響因素1，2，…，n，每個(gè)影響因素有1，2，…，k 個(gè)影響水平，需要進(jìn)行m次試驗(yàn)才能對(duì)算法進(jìn)行全面仿真。針對(duì)這個(gè)問題可以構(gòu)造一個(gè)正交表Lm(nk)。表1 所示為正交表L9(34)，其中行表頭表示影響因素，列表頭表示試驗(yàn)次數(shù)，數(shù)字1 表示各因素下拉偏仿真，2 表示額定仿真，3 表示上拉偏仿真。

4 仿真實(shí)例

圖3 為某次單項(xiàng)因素仿真最大攻角統(tǒng)計(jì)曲線。對(duì)于圖3中的攻角最大限幅到40°。從圖3 中可以看出，部分仿真結(jié)果達(dá)到了限幅值，然而氣動(dòng)數(shù)據(jù)分析所需要的攻角遠(yuǎn)小于仿真值，說明在攻角為40°的仿真系統(tǒng)可能已經(jīng)發(fā)散，需要進(jìn)一步分析;其他條件仿真結(jié)果正常。

表1 L9(34)正交試驗(yàn)

從圖4 中可以看出，初始時(shí)刻導(dǎo)彈具有攻角，引入控制后導(dǎo)彈攻角很快穩(wěn)定，說明若導(dǎo)彈發(fā)射攻角小于等于圖4 中的攻角時(shí)，系統(tǒng)能夠穩(wěn)定。

圖5 所示為某次正交拉偏最大通道舵偏統(tǒng)計(jì)曲線。

圖5 正交拉偏最大通道舵偏統(tǒng)計(jì)曲線

同樣對(duì)于圖5 中的最大舵偏也具有限幅值，在達(dá)到限幅值的仿真條件中，由于正常仿真情況下，所需要的舵偏小于仿真值，說明在舵偏限幅的仿真條件處系統(tǒng)可能已經(jīng)發(fā)散，這些發(fā)散的條件將是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)迭代時(shí)分析的重點(diǎn)彈道。

5 結(jié)束語

導(dǎo)彈在論證、方案、工程研制和定型等階段，計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真是必不可少的技術(shù)手段。數(shù)字仿真仿真時(shí)間短、可重復(fù)，可以用來彌補(bǔ)飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)之不足，既可以縮短研制周期，也可以節(jié)省大量經(jīng)費(fèi)。本文基于傳統(tǒng)的導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程，介紹了彈體模型線性化的原理，描述了導(dǎo)彈線性、非線性仿真的基本方法，通過對(duì)正交表的描述，介紹了現(xiàn)代導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中所必須的拉偏仿真，并對(duì)仿真結(jié)果給出了評(píng)價(jià)的方法。

［1］楊新.飛機(jī)六自由度模型及仿真研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2000(5):210-213.

［2］謝曉方，李松陽，孫濤.導(dǎo)彈通用武器控制系統(tǒng)體系結(jié)構(gòu)研究［J］.兵工自動(dòng)化，2010(1):1-4.

［3］張有濟(jì).戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈飛行力學(xué)設(shè)計(jì)［M］.北京:宇航出版社，1998.

［4］胡小平，吳美平，王海麗.導(dǎo)彈飛行力學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京:國防科技大學(xué)出版社，2006.

［5］劉真，張濤.基于H∞混合靈敏度的導(dǎo)彈穩(wěn)定控制回路設(shè)計(jì)［J］.四川兵工學(xué)報(bào)，2011(7):40-43.

［6］伍曉軍，李翊，孫曉燕，等.基于攻角力測的不確定導(dǎo)彈系統(tǒng)的滑模自適應(yīng)控制研究［J］.海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2011(4):410-413.

［7］Bernstein D S.The treatment of inputs in real-time digital simulation［J］.Simulation，1979，33(2):65-68.

［8］Lambert J D.Computational methods in ordinary differential equations［M］.New York:Wiley，1973.

［9］劉瑞葉，任洪林，李志民.計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)基礎(chǔ)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2004.

［10］許志，林永生，解永鋒，等.基于RTX 的空面導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)快速原型仿真［J］.火力與指揮控制，2010(12):184-187.