曾 繁 玲

（廣東省羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 云浮 527200）

引言

水輪機(jī)導(dǎo)葉開度的控制是一個(gè)非線性模型，對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉進(jìn)行實(shí)時(shí)地控制，能夠確保水輪機(jī)組的動(dòng)力矩和阻力矩處于平衡狀態(tài)，進(jìn)而可以使水輪機(jī)的機(jī)組轉(zhuǎn)速和輸出頻率處于一定的穩(wěn)定范圍內(nèi)。因此，對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉開度進(jìn)行有效控制是提高水輪機(jī)機(jī)組運(yùn)行穩(wěn)定性的關(guān)鍵所在。目前，許多科學(xué)家提出了很多水輪機(jī)導(dǎo)葉開度的控制方法，比如，基于微分幾何的反饋線性化方法是一種較好的魯棒控制方法，對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉控制具有很好的控制效果，但是控制系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型很難建立，同時(shí)參數(shù)的改變影響控制系統(tǒng)的魯棒性難以解決。因此，應(yīng)該尋求一種能夠具有簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)等魯棒性好的控制方法對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉進(jìn)行非線性自適應(yīng)控制。

小波分析是傅立葉變換方法的提升，已經(jīng)得到了廣大科學(xué)家的關(guān)注，并且已經(jīng)成功地應(yīng)用于解決多種工程實(shí)際問題之中。小波分析具有多分辨分析的優(yōu)點(diǎn)，能夠在時(shí)域和頻域內(nèi)具有較好的局部化能力，還對(duì)控制對(duì)象的細(xì)節(jié)進(jìn)行分析，信號(hào)的相位變化可以較容易地被覺察到，能夠提出調(diào)制信號(hào)中的瞬時(shí)特征。因此，利用小波分析的時(shí)頻分析的優(yōu)勢(shì)，對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉進(jìn)行自適應(yīng)控制是一種行之有效的方法。

1 水輪機(jī)導(dǎo)葉開度的數(shù)學(xué)模型

（1）水輪機(jī)導(dǎo)葉開度開機(jī)的數(shù)學(xué)模型

（a）上升階段：導(dǎo)葉開度在 18s內(nèi)從 0提高到18%，相應(yīng)的導(dǎo)葉開度上升數(shù)學(xué)模型如下所示：

式中，2β、1β和0β均為常數(shù)。

上升階段有6s的振蕩階段，振蕩的數(shù)學(xué)模式可以表示為如下的形式：

式中，A——衰減振幅；

λ——衰減率；

ω——頻率；

T——周期；

C——相位；

η——穩(wěn)態(tài)的水輪機(jī)導(dǎo)葉開度。

（b）平穩(wěn)階段一：導(dǎo)葉開度在10s內(nèi)一直穩(wěn)定在18%，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為：

（c）有功上升階段：導(dǎo)葉開度在76s內(nèi)從18%到達(dá)最大極限98%，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型表示為如下的形式：

式中，3β、4β和5β均為常數(shù)。

（d）最大開度振蕩衰減階段：導(dǎo)葉開度達(dá)到了96%，再經(jīng)過 10s水輪機(jī)導(dǎo)葉穩(wěn)定在 98%，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型如下所示：

式中：μ——常數(shù)；

ξ——衰減幅度；

T——周期；

c——相位；

η——穩(wěn)態(tài)的水輪機(jī)導(dǎo)葉開度。

（2）水輪機(jī)導(dǎo)葉開度關(guān)機(jī)時(shí)的數(shù)學(xué)模型

（a）甩負(fù)荷下降階段的數(shù)學(xué)模型如下所示：

（b）甩符負(fù)荷振蕩階段的數(shù)學(xué)模型如下所示：

（c）穩(wěn)定階段的數(shù)學(xué)模型如下所示：

（d）空載階段的數(shù)學(xué)模式如下所示：

（e） 空載振蕩階段，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型如下所示：

（3）水輪機(jī)導(dǎo)葉開度的非線性控制模型

水輪機(jī)導(dǎo)葉開度的非線性控制的數(shù)學(xué)模型如下所示：

式中：Δω——水輪機(jī)導(dǎo)葉旋轉(zhuǎn)角速的偏差；

H——水輪機(jī)的揚(yáng)程；

D——水輪機(jī)導(dǎo)葉的外徑；

ΔPc——水輪機(jī)水利效率的偏差；

u——水輪機(jī)導(dǎo)葉隨動(dòng)裝置的輸入信號(hào)。

式（11）可以進(jìn)一步地轉(zhuǎn)換為矩陣形式，如下所示：

式中：

2 小波多分辨分析

由于水輪機(jī)導(dǎo)葉開度的變化具有不穩(wěn)定的特點(diǎn)，因此，可以利用具有時(shí)頻分析優(yōu)勢(shì)的小波分析對(duì)該非穩(wěn)定信號(hào)進(jìn)行分析。

（1）小波分析的基本理論

α——伸縮因子；

β——平移因子；

（2）小波分析多分辨分析的特征

那么，?(t)為尺度函數(shù)，其中V0稱為尺度空間，可以表示為如下的形式：

對(duì)尺度函數(shù)進(jìn)行平移和伸縮可以獲得一個(gè)尺度函數(shù)集，可以表示為如下的形式：

對(duì)于任意信號(hào)函數(shù)都可以進(jìn)行如下的小波變換：

尺度函數(shù)可以張成尺度空間，隨著尺度的不斷變大，尺度函數(shù)所平移的間隔也隨之增加。反之，張成的尺度空間能夠確定信號(hào)的細(xì)節(jié)。因此，尺度的變化可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)分析的精度大小，也就是小波分析的多分辨分析，可以通過如下的表達(dá)式來表示：式中：W1表示細(xì)節(jié)空間；V1表示大尺度逼近空間；在進(jìn)行信號(hào)控制時(shí)可以根據(jù)實(shí)際情況，將尺度空間進(jìn)行分解，從而獲得細(xì)節(jié)信號(hào)和尺度信號(hào)。

（3）小波函數(shù)的確定

Gauss函數(shù)滿足式（11），因此基于小波分析的水輪機(jī)導(dǎo)葉開度控制可以選擇Gauss函數(shù)，在尺度i的條件下其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：Gauss函數(shù)時(shí)頻窗口的寬度隨著尺度的上升而變寬，隨尺度的降低而增加。

（4）水輪機(jī)導(dǎo)葉開度信號(hào)的小波分析

利用小波分析將水輪機(jī)導(dǎo)葉開度信號(hào)進(jìn)行分解，利用不同的閾值在不同尺度上將噪音消除，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，進(jìn)而能夠提高控制的精度。

通過測(cè)試獲得水輪機(jī)導(dǎo)葉開度信號(hào)后，利用Mallat算法對(duì)其進(jìn)行N層尺度分解，進(jìn)而獲得N組細(xì)節(jié)信號(hào)，（i=1,2,…,N）和平滑信號(hào)li。利用軟閾值和硬閾值消除噪聲，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：

3 水輪機(jī)導(dǎo)葉開度的控制仿真

基于小波分析水輪機(jī)導(dǎo)葉開度自適應(yīng)控制的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 基于小波分析的水輪機(jī)導(dǎo)葉開度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 水輪機(jī)導(dǎo)葉開度開機(jī)過程仿真曲線對(duì)比圖

圖2給出了分別利用反饋線性化控制方法和小波分析控制方法對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉開機(jī)時(shí)的開度進(jìn)行控制的仿真曲線，從圖中可以看出，開機(jī)時(shí)水輪機(jī)18～24s，以及100～110s的時(shí)間段內(nèi)有一段振蕩階段，利用反饋線性化控制方法所獲得的仿真曲線在該振蕩時(shí)間內(nèi)有較大的超調(diào)節(jié)量，并且進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)所花費(fèi)的時(shí)間較長(zhǎng)，響應(yīng)速度較低，而利用小波分析控制方法進(jìn)行控制仿真的曲線在振蕩段內(nèi)幾乎沒有超調(diào)，并且響應(yīng)時(shí)間比較短，說明該小波分析控制方法具有更好的控制效果。

圖3給出了分別利用兩種控制方法對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉開度在關(guān)機(jī)階段進(jìn)行控制的仿真曲線，從圖中可以看出，在關(guān)機(jī)階段水輪機(jī)導(dǎo)葉的開度變化曲線在68～80s之間以及100～110s之間有兩個(gè)振蕩階段，利用反饋線性化控制方法所獲得控制仿真曲線在振蕩段響應(yīng)時(shí)間比較短，具有較大的超調(diào)量；而利用小波分析控制方法時(shí)控制仿真曲線的振蕩段較快地進(jìn)入穩(wěn)定階段，并且?guī)缀鯖]有超調(diào)量，因此，小波分析控制方法具有更好的控制精度和控制穩(wěn)定性。

圖3 水輪機(jī)導(dǎo)葉開度關(guān)機(jī)過程仿真曲線對(duì)比圖

4 結(jié)束語(yǔ)

利用小波分析對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉開度進(jìn)行控制，由于小波分析具有多分辨分析的優(yōu)勢(shì)，并且具有較好時(shí)頻分析特性，可以將水輪機(jī)導(dǎo)葉信號(hào)分解成基礎(chǔ)信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)，從而減少了控制誤差。通過仿真分析，可以發(fā)現(xiàn)小波分析控制技術(shù)具有響應(yīng)時(shí)間斷，超調(diào)量小的優(yōu)勢(shì)，具有較好的控制魯棒性，可以有效地對(duì)水輪機(jī)導(dǎo)葉開度進(jìn)行控制。

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