曹瑞

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系,山東 菏澤 274000)

帶色散項(xiàng)的高階非線性Schr¨odinger方程的精確解

曹瑞

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系,山東 菏澤 274000)

對(duì)一類帶色散項(xiàng)的高階非線性Schr¨odinger方程的精確解進(jìn)行研究.通過(guò)行波約化,將一類帶色散項(xiàng)的高階非線性Schr¨odinger方程化為一個(gè)高階非線性常微分方程.再借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica通過(guò)構(gòu)造非線性常微分方程的精確解,成功獲得了一系列含有多個(gè)參數(shù)的包絡(luò)型精確解,當(dāng)精確解中參數(shù)取特殊值時(shí)可以得到兩種新型的復(fù)合孤子解.并討論了這兩種孤子解存在的參數(shù)條件.

高階非線性Schr¨odinger方程;精確解;孤立波解

1 引言

物理學(xué)中許多重要現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型都是非線性發(fā)展方程,一般來(lái)說(shuō)這些非線性方程很難求得精確解.非線性發(fā)展方程的精確解在研究非線性物理現(xiàn)象中起著至關(guān)重要的作用.尋找非線性發(fā)展方程精確解的方法一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,幾十年來(lái),提出了許多求解非線性發(fā)展方程的方法,例如Painleve截尾展開法[12],齊次平衡方法[34],雙曲函數(shù)法[56],sine-cosine方法[7],CK方法[8],Jacobi橢圓函數(shù)展開方法[9]以及作為 Jacobi橢圓函數(shù)展開方法一般化的F-展開方法[1012],利用這些方法得到非線性發(fā)展方程許多豐富的精確解,包括孤立波解,激波解,周期波解等.最近,提出了一種新的構(gòu)造精確解的G'/G展開方法[13].運(yùn)用這個(gè)方法,成功地獲得了大量非線性發(fā)展方程的精確解.

作為介紹這種方法應(yīng)用的例子,本文構(gòu)造了光纖中一類具有三階色散項(xiàng)與三次非線性項(xiàng)的高階非線性薛定諤(Schr¨odinger)方程(HNLS)的精確解

這個(gè)方程描述了光纖中超短光脈沖的傳輸,其中ψ=ψ(z,t)是慢變包絡(luò)振幅,z為傳輸距離,t為時(shí)間,α1,α2和α3分別表示與群速度,自相位調(diào)制和三階色散有關(guān)的實(shí)參數(shù).含α4的項(xiàng)代表著自陡峭效應(yīng)對(duì)光脈沖傳輸?shù)挠绊?含α5的項(xiàng)代表著自頻移所產(chǎn)生的拉曼散射的影響.

經(jīng)典的非線性薛定諤方程

描述了光脈沖在光纖中的群速色散效應(yīng)與非線性克爾效應(yīng)的關(guān)系,當(dāng)二者的相互作用達(dá)到平衡時(shí),脈沖就演化為光孤子.但是,對(duì)于飛秒級(jí)的光脈沖而言,脈沖的帶寬可與其載波頻率相比擬,光纖的高階色散效應(yīng)(如三階色散等)和高階非線性效應(yīng)已不能忽略.當(dāng)方程(1)中α3=α4=α5=0時(shí),方程(1)就變?yōu)榻?jīng)典的非線性薛定諤方程(NLS).本文將對(duì)方程(1)進(jìn)行研究,以希望得到一些新結(jié)果.近年來(lái),許多科研工作者從不同的方向分析研究了HNLS,得到了一系列的數(shù)值解,包括亮孤子和暗孤子,并已發(fā)現(xiàn)在負(fù)色散區(qū)(α1＜0)存在亮孤子解,而在正色散區(qū)(α1＞0)存在暗孤子解[1415].文獻(xiàn)[16]通過(guò)一系列分析計(jì)算,發(fā)現(xiàn)了HNLS一種新型組合孤子,并且在一定參數(shù)條件下,該組合孤子仍然可以在光纖中穩(wěn)定傳輸.文獻(xiàn)[17]利用擴(kuò)展的雙曲正切函數(shù)法,獲得了方程(1)的多組顯示精確行波解.當(dāng)α3,α4,α5不為0時(shí),雖然已經(jīng)獲得了方程(1)的一些精確孤波解,但本文是第一次利用擴(kuò)展的G'/G展開方法對(duì)方程(1)的精確孤波解進(jìn)行新的研究,獲得了一些新的復(fù)合孤波解.

本文安排如下:第二部分,詳細(xì)介紹構(gòu)造高階非線性Schr¨odinger方程的精確解的一般表達(dá)式過(guò)程;第三部分,給出參數(shù)取特殊值時(shí)高階非線性Schr¨odinger方程的孤立波解、雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解以及有理函數(shù)解;第四部分,得出一些結(jié)論.

2 精確解的一般表達(dá)式

這里N通過(guò)平衡給定方程(6)中的最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)來(lái)確定.根據(jù)N+2=3N,可得N=1.即方程(6)有下列形式的解:

將(8)式代入方程(6),那么常微分方程(6)的左邊可化為關(guān)于φ,φ的級(jí)數(shù),合并φ,φ的相同冪次,令每一項(xiàng)的系數(shù)為零,得到關(guān)于a0,a1,b1,A,B,C,λ,μ的一個(gè)非線性代數(shù)方程組.借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica求解得到的這個(gè)代數(shù)方程組.將這些結(jié)果代入(6)式,并利用二階常系數(shù)微分方程的通解.得到非線性方程(1)含有多個(gè)參數(shù)的精確解的一般形式.

下面分三種情形來(lái)討論:

情形一(雙曲函數(shù)解) 若λ＜0,那么方程(7)有通解:

3 其它形式的解

注1 當(dāng)所得精確解的一般表達(dá)式中參數(shù)取其它值時(shí),可以獲得更為豐富的精確解,這里限于篇幅不再列出.

4 結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用行波變換,并結(jié)合常微分方程通解統(tǒng)一構(gòu)造了具有三階色散、自陡峭效應(yīng)和自頻移效應(yīng)的高階非線性Schr¨odinger方程的三種不同類型的精確解.當(dāng)精確解中參數(shù)取特殊值時(shí)可以得到新型的復(fù)合孤立波解.這些精確解豐富了高階非線性Schr¨odinger方程精確解的解系,而且有助于物理上對(duì)這類方程的研究.從所得解中可以看出,光脈沖的緩變包絡(luò)振幅ψ(z,t)具有形如(15),(16)式所示的新型的精確解.并進(jìn)一步討論了新型的精確解存在的參數(shù)條件,指出了(15)式所示的解存在于負(fù)三階色散區(qū)域,而(16)式所示的解存在于正三階色散區(qū)域.這些新解的獲得將為光纖通信問(wèn)題的研究,提供理論依據(jù).從求解過(guò)程來(lái)看,此方法借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解更直接、更高效,還可以用來(lái)求解其他的非線性發(fā)展方程包括高維方程,這方面的研究正在進(jìn)行中.

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Exact wave solutions for the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation with a dispersion term

Cao Rui
(Department of Mathematics,Heze College,Heze 274000,China)

Exact solutions of the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation with a dispersion term are studied.By traveling wave reduction,the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation are transformed into nonlinear ordinary di ff erential equation,and then by constructing a series of exact solutions of nonlinear ordinary di ff erential equation,many envelope type exact wave solutions containing multiple parameters are obtained for the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation with the aid of computer algebraic system Mathematica.when parameters are taken speci fi c values,two new kind of soliton solution are obtained.And the conditions of the existence of soliton solution are discussed.

the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation,exact wave solutions,solitary wave solutions

O175.29

A

1008-5513(2012)01-0092-07

2011-02-10.

菏澤學(xué)院科學(xué)研究基金(XY07SX01).

曹瑞(1979-),碩士,講師,研究方向：應(yīng)用偏微分方程.

2010 MSC:35Q55