羅富強(qiáng) 夏長亮, 喬照威 王慧敏 宋戰(zhàn)鋒

（1.天津大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院 天津 300072 2.天津工業(yè)大學(xué)電工電能新技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300387）

1 引言

為了滿足以運(yùn)行效率優(yōu)化和轉(zhuǎn)矩性能優(yōu)化等為目標(biāo)的高性能控制算法的需求，異步電機(jī)等效電路中鐵耗等值電阻的準(zhǔn)確建模是一個(gè)需要重點(diǎn)考慮的方面[1-3]。傳統(tǒng)的異步電機(jī)等效電路中，電機(jī)鐵耗表示為一個(gè)恒定阻值的電阻，它能夠準(zhǔn)確反映額定工況下的電機(jī)鐵耗。但在變頻運(yùn)行時(shí)，該模型不再能夠準(zhǔn)確反映電機(jī)鐵耗變化[4,5]；另一方面，相對于正弦激勵(lì)，采用PWM 激勵(lì)將使電機(jī)鐵耗增大[6,7]，導(dǎo)致該模型的準(zhǔn)確度進(jìn)一步降低。因此，在采用PWM激勵(lì)的變頻驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，需要對電機(jī)鐵耗建立更加準(zhǔn)確的等值電阻模型。

目前，諸多文獻(xiàn)已對該問題做了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[8-10]通過實(shí)驗(yàn)獲得不同頻率下電機(jī)鐵耗數(shù)據(jù)，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)擬合方法建立考慮運(yùn)行工況時(shí)鐵耗等值電阻模型。這種方法能夠?qū)σ欢ㄟ\(yùn)行范圍內(nèi)鐵耗較好地估計(jì)，為了保證估計(jì)的精度，需要進(jìn)行充足的鐵耗測量。文獻(xiàn)[11]將鐵耗模型細(xì)分為磁滯、經(jīng)典渦流和異常渦流三個(gè)分量，它們隨頻率、磁通密度的變化規(guī)律各不相同?；谠撃Ｐ?，文獻(xiàn)[12]將磁滯損耗和渦流損耗分別表示為兩個(gè)等值電阻，并通過引入復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率推導(dǎo)了這兩個(gè)電阻的表達(dá)式。該模型構(gòu)建過程中需要知道與鐵磁材料相關(guān)的時(shí)間常數(shù)，但這些參數(shù)通常難以獲得。文獻(xiàn)[13,14]通過在電機(jī)等效電路中引入梯形網(wǎng)絡(luò)，計(jì)及鐵耗的非線性變化。該模型能夠動(dòng)態(tài)地計(jì)算鐵耗各個(gè)分量。文獻(xiàn)[15,16]通過修正正弦激勵(lì)下鐵耗分離模型，得到PWM 激勵(lì)下鐵耗模型。該方法能夠有效提高PWM激勵(lì)下鐵耗計(jì)算精度，但無法直接應(yīng)用于等值電路中鐵耗模型的構(gòu)建。

本文基于鐵耗分離模型，利用三個(gè)等值電阻分別等效鐵耗的三個(gè)分量，根據(jù)功率平衡原理，推導(dǎo)了正弦激勵(lì)下鐵耗等值模型。通過分析PWM 激勵(lì)與正弦激勵(lì)下鐵耗等值電阻間的關(guān)系，得到PWM激勵(lì)下鐵耗等值電阻模型。為了確定模型中所需參數(shù)，提出了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)方案，該方案通過測量電機(jī)三個(gè)不同運(yùn)行頻率下的鐵耗值實(shí)現(xiàn)。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文提出模型的正確性和有效性。

2 正弦激勵(lì)下鐵耗等值電阻模型

2.1 鐵耗計(jì)算模型

根據(jù)Bertotti 建立的鐵耗分離計(jì)算模型，鐵耗由磁滯、經(jīng)典渦流和異常渦流三個(gè)分量組成[11]

式中Pfe——總鐵耗；

Ph——磁滯損耗；

Pc——經(jīng)典渦流損耗；

Pe——異常渦流損耗。

磁滯分量Ph取決于似穩(wěn)狀態(tài)下磁滯環(huán)所包圍的面積和磁通密度交變的頻率，如下式所示

式中Kh——磁滯系數(shù)；

Gfe——鐵心質(zhì)量；

f——磁通密度交變頻率；

Bm——磁通密度幅值；

x——斯坦梅茨系數(shù)。

經(jīng)典渦流分量Pc、異常渦流分量Pe取決于磁通密度的變化率，分別通過下式計(jì)算

式中Kc，Ke——經(jīng)典渦流、異常渦流系數(shù)；

B——磁通密度變化波形。

當(dāng)磁通密度波形為正弦變化時(shí)，化簡式（2）～式（4），則鐵耗可表示為

2.2 傳統(tǒng)鐵耗等值電阻模型

傳統(tǒng)的異步電機(jī)等效電路如圖1 所示，其中電機(jī)的鐵耗由電阻Rm表示，鐵耗計(jì)算式為

式中Em——激磁電動(dòng)勢；

Rm——鐵耗等值電阻；

S——鐵心截面積；

N——每相繞組的匝數(shù)。

圖1 異步電機(jī)的等效電路Fig.1 Equivalent circuit of IM

由式（6）可知，若采用該等值電阻計(jì)算鐵耗，鐵耗計(jì)算值近似隨磁通密度和頻率乘積的二次方變化。由式（5）可知，總鐵耗中鐵耗各個(gè)分量隨磁通密度和頻率的變化規(guī)律各不相同，其中磁滯損耗隨磁通密度的x次方、頻率的一次方變化，經(jīng)典渦流損耗隨磁通密度、頻率的二次方變化，異常渦流損耗隨磁通密度、頻率的1.5 次方變化。對比式（5）和式（6）可知，采用圖1 中等值電阻計(jì)算鐵耗時(shí)，其計(jì)算結(jié)果隨頻率、磁通密度的變化規(guī)律與經(jīng)典渦流損耗相同。電機(jī)正常運(yùn)行頻率范圍內(nèi)，經(jīng)典渦流損耗所占總鐵耗的比例相對磁滯損耗較小，且隨著頻率降低，該比例將進(jìn)一步降低。因此，電機(jī)變頻運(yùn)行狀況下，采用圖1 中鐵耗等值電阻計(jì)算電機(jī)的鐵耗將帶來較大的計(jì)算誤差。

2.3 改進(jìn)的鐵耗等值電阻模型

由以上分析可知，為了提高電機(jī)變頻運(yùn)行狀況下鐵耗的計(jì)算精度，需要考慮鐵耗各個(gè)分量隨磁通密度和頻率變化規(guī)律不同的影響，因此有必要為每個(gè)鐵耗分量分別等效一個(gè)電阻，則相應(yīng)的異步電機(jī)等效電路如圖2 所示。

圖2 考慮鐵耗各個(gè)分量的異步電機(jī)等效電路Fig.2 Equivalent circuit of IM considering each component of the total iron loss

圖2 中，Rh、Rc和Re分別為表示磁滯損耗、經(jīng)典渦流損耗和異常渦流損耗的等值電阻。根據(jù)等效電路，各損耗分量的計(jì)算如下

式中Im——?jiǎng)?lì)磁電流；

Xm——?jiǎng)?lì)磁電抗；

Lm——?jiǎng)?lì)磁電感。

為了根據(jù)式（7）推導(dǎo)Rh、Rc和Re三個(gè)電阻的表達(dá)式，需要知道鐵耗的各個(gè)分量，本文基于鐵耗分離模型，推導(dǎo)這些量在等值電路中的表達(dá)方式。鐵耗分離模型描述了鐵磁材料中鐵耗隨磁通密度及頻率的變化關(guān)系，根據(jù)此模型計(jì)算鐵磁材料的鐵耗，需要知道磁通密度在鐵磁材料中的分布情況。由于電機(jī)定子鐵心內(nèi)磁通密度非均勻分布，為了準(zhǔn)確計(jì)算鐵耗，需要將電機(jī)鐵心分塊。一般地，若將電機(jī)鐵心分割為足夠小的n塊，則可認(rèn)為每塊的磁通密度分布均勻，假設(shè)磁通密度的最大值為Bm、第i塊的磁通密度為Bi，且存在關(guān)系Bi=KiBm，則根據(jù)式（5），電機(jī)鐵耗各個(gè)分量為

若忽略鐵磁材料飽和，則磁通密度幅值Bm與勵(lì)磁電流Im之間為線性關(guān)系，即

令式（7）和式（8）中鐵耗各個(gè)分量相等，并聯(lián)立式（9），則各個(gè)鐵耗等值電阻可表示為

由式（10）可知，改進(jìn)后的模型中鐵耗各分量的等值電阻隨頻率及勵(lì)磁電流變化而變化，且變化規(guī)律各不相同。其中磁滯損耗電阻隨頻率的一次方、勵(lì)磁電流的2-x次方變化；經(jīng)典渦流損耗電阻為恒值，不隨頻率、勵(lì)磁電流發(fā)生變化；異常渦流損耗電阻隨頻率和勵(lì)磁電流乘積的1.5 次方變化。各電阻分量的變化規(guī)律與鐵耗分離模型相同，因此采用式（10）計(jì)算電機(jī)的鐵耗，將能更加真實(shí)地反映鐵耗的實(shí)際變化情況。

3 PWM 激勵(lì)下鐵耗等值電阻模型修正

在非正弦激勵(lì)下，相對于正弦激勵(lì)，異步電機(jī)鐵耗隨輸入電壓波形的不同而發(fā)生變化，且其變化規(guī)律與輸入電壓波形存在緊密聯(lián)系。若忽略繞組損耗，則輸入電壓與磁通密度變化率的關(guān)系為

式中V——輸入電壓；

N——線圈匝數(shù)；

S——鐵心截面積。

若輸入電壓為PWM 波形，如圖3 所示，其幅值為Vm1，基波頻率為f，每半周期的脈沖數(shù)為p，第i個(gè)脈沖的寬度為τi，起始時(shí)間為ti。由式（11）可知，鐵心內(nèi)磁通密度變化率為

圖3 PWM 電壓波形Fig.3 Voltage waveform of PWM

將式（12）代入式（3），則PWM 激勵(lì)下經(jīng)典渦流損耗為

根據(jù)式（5），該P(yáng)WM 波形中基波分量產(chǎn)生的經(jīng)典渦流損耗為

式中Vm2——PWM 波形基波電壓幅值，且Vm2=mVm1，其中m為PWM 波形的調(diào)制 系數(shù)；

T——基波周期。

由PWM 波形的性質(zhì)可知，其半周期脈沖寬度 之和、調(diào)制系數(shù)和基波周期存在關(guān)系：，則由式（13）和式（14）可得PWM 激勵(lì)下和其對應(yīng)基波正弦電壓激勵(lì)下經(jīng)典渦流損耗的關(guān)系為

同理可得，兩種激勵(lì)下異常渦流損耗的關(guān)系為

由于兩種激勵(lì)下磁通密度幅值相等，則由式（2）可知，二者的磁滯損耗相等，即

式（15）～式（17）描述了PWM 激勵(lì)與正弦激勵(lì)下電機(jī)鐵耗間關(guān)系，由表達(dá)式可知，調(diào)制系數(shù)是影響PWM 激勵(lì)下鐵耗變化的主要因素。由于調(diào)制系數(shù)總是小于1，故相對于正弦激勵(lì)，PWM 激勵(lì)下鐵耗將增大，且增大部分由渦流損耗的增加造成。調(diào)制系數(shù)越低，鐵耗增大越多。

根據(jù)式（15）～式（17），在已知正弦激勵(lì)下鐵耗各個(gè)分量時(shí)，可得到PWM 激勵(lì)下鐵耗值。據(jù)此對式（10）中鐵耗等值電阻進(jìn)行修正，則其表達(dá)式為

4 模型參數(shù)確定

為了使用以上模型計(jì)算電機(jī)的鐵耗，需確定模型中參數(shù)。由于鐵耗分離模型系數(shù)及幾何參數(shù)通常難以預(yù)先獲取，給模型參數(shù)的直接計(jì)算造成困難，為此，本文提出一個(gè)確定模型所需參數(shù)的實(shí)驗(yàn)方案，步驟如下：

（1）分離額定狀況下總鐵耗為磁滯損耗、經(jīng)典渦流損耗和異常渦流損耗分量。

鐵耗各個(gè)分量隨磁通密度和頻率的變化規(guī)律各不相同，因此通過測量不同磁通密度、頻率下鐵耗值，可將總鐵耗分離為各個(gè)分量。由于電機(jī)正常運(yùn)行條件下磁通密度近似保持不變，因此分離過程中可只考慮頻率對鐵耗的影響?？蛰d條件下，分別測量頻率為f1、f2和f3，同時(shí)保持定子電流為額定勵(lì)磁電流情況下的鐵耗，分別為Pfe1、Pfe2和Pfe3。由于定子電流相同，則磁通密度幅值相同，因此根據(jù)式（8）可得

根據(jù)式（19），運(yùn)用最小二乘法，可解得a、b和c，則額定頻率fN下鐵耗的各個(gè)分量為

（2）計(jì)算額定狀況下各個(gè)鐵耗等值電阻分量。

在計(jì)算出鐵耗各個(gè)分量后，根據(jù)圖2，空載條件下，可得額定頻率下各個(gè)鐵耗等值電阻為

式中Us0——空載輸入電壓；

Is0——空載定子電流；

Zs——定子阻抗。

（3）計(jì)算任意頻率、勵(lì)磁電流條件下各個(gè)鐵耗等值電阻分量。

對式（10）重新整理，可得

聯(lián)立式（21）、式（22）和式（18）可得任意運(yùn)行條件下鐵耗等值電阻為

式（23）描述了各個(gè)鐵耗等值電阻分量在任意頻率、調(diào)制系數(shù)下的變化規(guī)律。

特別地，若頻率、調(diào)制系數(shù)二者的變化存在聯(lián)系，如調(diào)制系數(shù)隨頻率成正比變化，則式（23）可寫為

由于電機(jī)正常運(yùn)行狀況下Im變化較小且異常渦流損耗分量占總損耗的比例較小，因此若忽略Im的影響，則鐵耗等值電阻的各個(gè)分量將均隨頻率成正比變化，因此三者可合并為一個(gè)電阻，如下式所示

此時(shí)，確定模型參數(shù)無需進(jìn)行鐵耗分離，鐵耗等值電阻可采用傳統(tǒng)的鐵耗測量方法確定，即通過空載實(shí)驗(yàn)計(jì)算鐵耗等值電阻。與傳統(tǒng)鐵耗等值電阻不同，該模型中鐵耗等值電阻隨頻率成正比變化，同時(shí)計(jì)及調(diào)制系數(shù)的影響，而傳統(tǒng)鐵耗等值電阻則保持不變。

5 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

5.1 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)的鐵耗等值電阻模型的有效性，分別利用傳統(tǒng)模型和改進(jìn)模型，對一臺(tái)11kW 異步電機(jī)的鐵耗進(jìn)行仿真計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與Ansoft 有限元分析的結(jié)果進(jìn)行對比。異步電機(jī)參數(shù)見下表。

表 異步電機(jī)參數(shù)Tab. Parameters of IM

利用有限元法在三個(gè)不同頻率下的鐵耗計(jì)算結(jié)果，根據(jù)第4 節(jié)中模型參數(shù)確定方法，空載條件下，頻率為50Hz 時(shí)，改進(jìn)模型中各個(gè)鐵耗等值電阻計(jì)算值Rh0為1 801Ω，Rc0為8 101Ω，Re0為∞Ω，此時(shí)傳統(tǒng)等值電阻為1 473Ω。

將圖2 所示等效電路中三個(gè)鐵耗等值電阻表示為一個(gè)總鐵耗等值電阻，當(dāng)電機(jī)由PWM 激勵(lì)，勵(lì)磁電流保持不變時(shí)，該等值電阻與頻率、調(diào)制系數(shù)的關(guān)系如圖4 所示。

圖4 總鐵耗等值電阻Fig.4 Total equivalent resistance of iron loss

由圖4 可知，改進(jìn)后的總鐵耗等值電阻隨頻率和調(diào)制系數(shù)變化而變化，頻率、調(diào)制系數(shù)越小，總鐵耗等值電阻越小。而傳統(tǒng)鐵耗等值電阻則一直保持不變。由圖4 還可看出，隨著頻率的減小，調(diào)制系數(shù)對鐵耗等值電阻的影響變小，因?yàn)檎{(diào)制系數(shù)只影響渦流損耗的變化，而頻率降低時(shí)渦流損耗占總鐵耗的比例降低。

圖5 為正弦激勵(lì)下，采用改進(jìn)方法和傳統(tǒng)方法的鐵耗計(jì)算結(jié)果。

圖5 正弦激勵(lì)下兩種方法的鐵耗計(jì)算結(jié)果Fig.5 Comparison of iron loss calcultion results under sinusoidal excitation

由圖5 可知，傳統(tǒng)方法能以較高精度計(jì)算電機(jī)額定頻率運(yùn)行時(shí)的鐵耗，但電機(jī)運(yùn)行于較低頻率時(shí)，其鐵耗計(jì)算將出現(xiàn)較大偏差，且頻率越低，偏差程度越大。當(dāng)頻率為30Hz 時(shí)，其計(jì)算結(jié)果相對于有限元法的誤差為35.2%。改進(jìn)方法則能以較高精度計(jì)算各運(yùn)行頻率下電機(jī)鐵耗，頻率為30Hz 時(shí)，其計(jì)算結(jié)果相對于有限元法的誤差為3.6%，比傳統(tǒng)方法提高了31.6%。正弦激勵(lì)下，改進(jìn)方法有效提高了鐵耗計(jì)算的準(zhǔn)確度。

圖6 為正弦激勵(lì)和PWM 激勵(lì)下，有限元法的鐵耗計(jì)算結(jié)果。

圖6 正弦激勵(lì)和PWM 激勵(lì)下有限元法鐵耗計(jì)算結(jié)果Fig.6 Iron loss caculation results under sinusoidal and PWM excitation

由圖6 可看出，與正弦激勵(lì)相比，PWM 激勵(lì)下，電機(jī)的鐵耗增加。同時(shí)，隨調(diào)制系數(shù)降低，電機(jī)的鐵耗增大，頻率為50Hz、調(diào)制系數(shù)為0.6 時(shí)，相對于正弦激勵(lì)，鐵耗增大26.9%。

圖7 為PWM 激勵(lì)下，采用改進(jìn)方法和傳統(tǒng)方法在不同調(diào)制系數(shù)下的鐵耗計(jì)算結(jié)果。

圖7 PWM 激勵(lì)下兩種方法的鐵耗計(jì)算結(jié)果Fig.7 Comparison of iron loss under PWM excitation

由圖7 可以看出，改進(jìn)方法在不同頻率、不同調(diào)制系數(shù)下，均能以較高精度計(jì)算電機(jī)鐵耗，其相對誤差保持在7%以內(nèi)，傳統(tǒng)方法則存在較大誤差。另外，相對于正弦激勵(lì)，由于傳統(tǒng)方法未計(jì)及調(diào)制系數(shù)的影響，其計(jì)算誤差進(jìn)一步增大，在額定頻率下，將產(chǎn)生10.0%～21.2%的相對誤差，這部分誤差是由PWM 激勵(lì)下鐵耗的增加造成。由圖7 還可以看出，傳統(tǒng)方法的計(jì)算誤差隨調(diào)制系數(shù)的減小而增大，調(diào)制系數(shù)為0.6、頻率為30Hz 時(shí)，其計(jì)算誤差為47.2%，而此時(shí)改進(jìn)方法的計(jì)算誤差為6.8%，相對于傳統(tǒng)方法降低了40.4%。

5.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對一臺(tái)采用恒壓頻比控制的異步電機(jī)的鐵耗進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測量。電機(jī)額定功率為1.1kW，額定電壓為380V，額定頻率50Hz，額定功率因數(shù)為0.6。為了測量PWM 激勵(lì)下鐵耗的增加以及提高測量準(zhǔn)確度，實(shí)驗(yàn)中使用示波器觀測電機(jī)定子輸入電壓、電流及瞬時(shí)功率波形。電機(jī)空載條件下，電壓為380V、頻率為50Hz 時(shí)，定子電流、輸入電壓和瞬時(shí)功率的實(shí)驗(yàn)測量波形如圖8 所示，此時(shí)電機(jī)的鐵耗測量結(jié)果為114W。

圖8 實(shí)驗(yàn)測量波形Fig.8 Measured waveforms by experiment

恒壓頻比控制下，由于調(diào)制系數(shù)隨電壓成正比變化，其也將隨頻率成正比變化。因此，根據(jù)式（25），此時(shí)的鐵耗等值電阻為3767 Ω，則此控制方式下，兩種方法的鐵耗計(jì)算結(jié)果及其與實(shí)驗(yàn)測量值的對比如圖9 所示。

圖9 恒壓頻比控制下兩種方法的鐵耗計(jì)算結(jié)果Fig.9 Comparison of iron loss under constant V/F control

由圖9 可知，兩種方法均能在額定頻率下以較高精度計(jì)算鐵耗。隨著頻率降低，兩種方法的計(jì)算精度均有所降低，但對比圖中變化曲線可以看出，二者的計(jì)算精度不同。由于改進(jìn)模型中，鐵耗等值電阻隨頻率按照式（25）變化，而傳統(tǒng)模型中鐵耗等值電阻保持不變，因此，改進(jìn)方法相對于傳統(tǒng)方法有較高的計(jì)算精度，在頻率為30Hz 時(shí)，相對于傳統(tǒng)方法，提高了29.8%。造成改進(jìn)方法在頻率降低時(shí)計(jì)算誤差增大的原因可能為：頻率降低時(shí)鐵耗的測量值相對偏高。實(shí)驗(yàn)中鐵耗的測量值為實(shí)際鐵耗與雜散損耗之和，在實(shí)驗(yàn)測量條件下，電機(jī)的負(fù)載保持不變，故雜散損耗不隨頻率發(fā)生變化[17]，而鐵耗隨頻率減小而減小。因此頻率降低時(shí)，鐵耗實(shí)際值占鐵耗測量值的比例將減小，從而使鐵耗的測量值偏高。

6 結(jié)論

本文建立了PWM 激勵(lì)下異步電機(jī)的鐵耗等值電阻模型，模型中采用三個(gè)變化的電阻等效電機(jī)的鐵耗，從而計(jì)及鐵耗的非線性變化。其中，運(yùn)行頻率降低和調(diào)制系數(shù)減小均將導(dǎo)致鐵耗等值電阻減小。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)模型有效提高了鐵耗的計(jì)算精度，較為真實(shí)地反映了電機(jī)鐵耗的變化規(guī)律，為建立更加準(zhǔn)確的電機(jī)仿真模型打下了較好的基礎(chǔ)。

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