鄭世才

（新立機(jī)器廠，北京 100039）

1 成像過(guò)程概念

從一般的概念理解，成像過(guò)程可以概括為，成像系統(tǒng)（包括成像設(shè)備、器材和技術(shù)）對(duì)輸入作出響應(yīng)給出輸出的過(guò)程。圖1給出了成像基本過(guò)程的示意圖。也就是，被觀察的物空間對(duì)象作為成像系統(tǒng)的輸入，在像空間成像系統(tǒng)輸出獲得的圖像?；蛘哒f(shuō)，物空間被觀察對(duì)象作為成像系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)，成像系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)響應(yīng)，在像空間輸出圖像。

圖1 成像基本過(guò)程的示意圖

不同成像系統(tǒng)，由于設(shè)備、器材和技術(shù)等的差異，使成像系統(tǒng)具有不同特性，使成像過(guò)程具有不同特點(diǎn)，對(duì)輸入信號(hào)產(chǎn)生不同的響應(yīng)，導(dǎo)致輸出圖像質(zhì)量不同。

在研究的不同成像系統(tǒng)中，一類(lèi)系統(tǒng)在理論上稱為線性平移不變系統(tǒng)，也稱為線性空間不變系統(tǒng)，或簡(jiǎn)單地稱為線性系統(tǒng)。簡(jiǎn)單說(shuō)，線性平移不變系統(tǒng)具有的基本特性是：

（1）輸入是多個(gè)信號(hào)線性和時(shí)，輸出信號(hào)等于這些信號(hào)對(duì)應(yīng)輸出的和。

（2）當(dāng)輸入信號(hào)作坐標(biāo)平移時(shí)，輸出信號(hào)形式不變，僅是平移一定坐標(biāo)。

很多實(shí)際的成像系統(tǒng)都是線性平移不變系統(tǒng)，或至少在局部成像區(qū)域內(nèi)可認(rèn)為是這樣的系統(tǒng)。對(duì)這樣的系統(tǒng)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)間將存在簡(jiǎn)單的關(guān)系。以下討論的理論內(nèi)容都是針對(duì)這樣的成像系統(tǒng)。

2 成像過(guò)程的空間域分析

對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)的空間域成像過(guò)程，可如下分析。

2.1 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

實(shí)際的成像系統(tǒng)由于存在的各種性能不完善，得到的像總會(huì)產(chǎn)生某種程度的模糊。對(duì)于一個(gè)成像系統(tǒng)，其成像特性集中反映在其對(duì)點(diǎn)物體的成像。如圖2，成像系統(tǒng)對(duì)一個(gè)脈沖狀的點(diǎn)物體，得到的像一般呈現(xiàn)為具有一定分布的鐘形像。這個(gè)具有一定擴(kuò)展分布像的函數(shù)，稱為成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（或者稱為成像系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)），圖3是成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的典型樣式。

圖2 點(diǎn)物體成像的擴(kuò)散

圖3 成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

在一維空間（包括對(duì)實(shí)際三維空間），點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)一般記為h（x），縮寫(xiě)時(shí)記為PSF。成像系統(tǒng)性能不同，其點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)不同?？梢哉J(rèn)為，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)集中反映了成像系統(tǒng)的成像特性。從下面的討論可以看到，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)擴(kuò)展寬度越小、分布形狀越尖銳系統(tǒng)成像質(zhì)量越好。

2.2 卷積成像過(guò)程

對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)，按照點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)概念，對(duì)于物空間的一個(gè)點(diǎn)I0（x1），經(jīng)成像系統(tǒng)成像后，若成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為h（x），則得到的像I（x）與物I0（x1）的關(guān)系為：

即，物空間一點(diǎn)經(jīng)成像系統(tǒng)成像后，將按成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)擴(kuò)展為一個(gè)區(qū)。在像分布的區(qū)中，不同點(diǎn)的幅度將是I0（x1）與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h（x）在該位置點(diǎn)值的積。

任何物體，可看成由一系列點(diǎn)組成（不同點(diǎn)具有不同分布強(qiáng)度）。因此，線性平移不變成像系統(tǒng)對(duì)某物體成像時(shí)，應(yīng)是各個(gè)點(diǎn)像的迭加和。如圖4所示，這時(shí)像的任意點(diǎn)，實(shí)際將是一定范圍內(nèi)不同點(diǎn)的迭加結(jié)果。當(dāng)把一個(gè)小區(qū)域Δx看成一點(diǎn)時(shí)，在某點(diǎn)xi處的像則可寫(xiě)成：

一般地，對(duì)于連續(xù)分布物體，可寫(xiě)成積分形式：

式中ξ為積分變量。此式在數(shù)學(xué)上表示的是，函數(shù)I（x）等于函數(shù)h（x）與函數(shù)I0（x）的卷積，卷積可用下式和符號(hào)“＊”表示：

由于卷積滿足交換律，所以此式也可寫(xiě)為：

圖5給出的是某成像系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)的卷積成像過(guò)程。成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為一矩形函數(shù)，圖中畫(huà)出了系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和正弦信號(hào)的卷積過(guò)程，也可看出像點(diǎn)間相互影響的情況。它顯示了成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，表征成像系統(tǒng)成像特性的情況。

圖5 卷積成像過(guò)程

2.3 成像過(guò)程的一般表示

對(duì)上述討論一般化，這時(shí)線性平移不變系統(tǒng)的成像過(guò)程可按圖6所示概括。記輸入物函數(shù)為f（x），成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為h（x），輸出圖像為g（x），則它們之間的關(guān)系為：

用卷積運(yùn)算符號(hào)則可寫(xiě)成：

即，在空間域分析成像規(guī)律時(shí)，成像是物函數(shù)與成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積過(guò)程，成像質(zhì)量決定于成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

因此，只要清楚了成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，就可通過(guò)卷積運(yùn)算給出成像系統(tǒng)對(duì)任何物體的輸出圖像，可確定成像系統(tǒng)對(duì)任意物體的成像情況。按卷積運(yùn)算過(guò)程，成像后圖像中的某點(diǎn)實(shí)際是一個(gè)區(qū)域中像的迭加。某點(diǎn)的像將受周?chē)欢ǚ秶鷥?nèi)像點(diǎn)的影響。

3 成像過(guò)程的空間頻域分析

在空間頻（率）域，可進(jìn)一步分析成像系統(tǒng)的成像過(guò)程，可以看到成像系統(tǒng)成像過(guò)程更多的特點(diǎn)，可以對(duì)成像系統(tǒng)、成像過(guò)程、成像質(zhì)量特征作出更清晰描述。

3.1 空間頻率與調(diào)制度概念

類(lèi)似于時(shí)間頻率概念，對(duì)在空間按周期重復(fù)分布的對(duì)象引入空間頻率概念。一般地，對(duì)在空間周期分布的信號(hào)，可采用圖7描述。這時(shí)，空間分布信號(hào)的重復(fù)間距（圖中p）稱為空間周期，單位一般用mm，單位距離內(nèi)所含的周期數(shù)則稱為空間頻率。空間頻率常是單位距離內(nèi)所含的線條與空隙對(duì)數(shù)，即“線對(duì)數(shù)”表示，單位一般用“Lp／mm”?？臻g頻率若記為v，則其與空間周期p的關(guān)系為：這與時(shí)間頻率中的關(guān)系相同。應(yīng)用時(shí)，空間頻率的意義常是一個(gè)細(xì)節(jié)在空間域的重復(fù)頻率。

圖7 空間頻率概念

對(duì)一信號(hào)可引入調(diào)制度概念。調(diào)制度一般記為M，按圖7所示符號(hào)，調(diào)制度概念定義為：

式中Imax為信號(hào)的最大值；Imin為信號(hào)的最小值。

從空間頻率概念考慮，任何物體都可理解為包含著不同空間頻率的組成部分。物體的輪廓、物體中的不同結(jié)構(gòu)、物體中的細(xì)節(jié)（如存在的缺陷）等，按照它們的尺寸，可對(duì)應(yīng)成不同空間頻率。一般說(shuō)，物體的輪廓部分形成空間頻率的低頻部分，物體的不同結(jié)構(gòu)部分形成空間頻率的中頻部分，物體的細(xì)節(jié)（如存在的缺陷）部分形成空間頻率的高頻部分。

3.2 成像的傅里葉變換分析

按照傅里葉變換，對(duì)任意一個(gè)空間（或時(shí)間）域x中的函數(shù)f（x），在空間（或時(shí)間）頻率域（頻率v）存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)F（v），它們的關(guān)系是：

從f（x）給出F（v）稱為傅里葉變換，從F（v）給出f（x）稱為傅里葉逆變換。它們表示，一個(gè)物理量，可以在空間（或時(shí)間）域x用函數(shù)f（x）表示，也可以通過(guò)傅里葉變換在空間（或時(shí)間）頻域v用函數(shù)F（v）表示。函數(shù)F（v）稱為函數(shù)f（x）的頻譜，它給出了構(gòu)成函數(shù)f（x）的各個(gè)頻率成分情況。

通過(guò)傅里葉變換，可以簡(jiǎn)單地從空間域轉(zhuǎn)換到空間頻域。因此，對(duì)成像過(guò)程從空間域轉(zhuǎn)換到空間頻域，只需要對(duì)空間域的成像進(jìn)行傅里葉變換。即：

按照傅里葉變換卷積定理，則應(yīng)有：

寫(xiě)出它們各自的具體表示式，并用各自的符號(hào)，則有：

這時(shí)則可寫(xiě)出：

這個(gè)關(guān)系式說(shuō)明，對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)，在空間頻域，（輸出）像的頻譜可以用（輸入）物的頻譜與成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的頻譜的乘積表示。像頻譜與物頻譜的關(guān)系則可寫(xiě)為：

式中H（v）稱為成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

按照傅里葉變換公式，傳遞函數(shù)一般為一復(fù)數(shù)，可以寫(xiě)成模與幅角積的形式，即：

式中v為空間頻率；T（v）為調(diào)制傳遞因子；θ（v）為相位傳遞因子。T（v）反映成像過(guò)程中調(diào)制度的變化，θ（v）反映成像過(guò)程中相位的變化，圖8示意性地顯示了調(diào)制度和相位在成像過(guò)程的變化。

3.3 調(diào)制傳遞函數(shù)MTF

調(diào)制傳遞因子T（v）表示的是像的調(diào)制度Mi和物的調(diào)制度M0的關(guān)系，即：

圖8 成像過(guò)程調(diào)制度和相位的變化

即，T（v）給出了通過(guò)成像系統(tǒng)后，像的調(diào)制度與物的調(diào)制度的關(guān)系。T（v）與空間頻率v的函數(shù)關(guān)系稱為調(diào)制傳遞函數(shù)，簡(jiǎn)記為MTF。調(diào)制傳遞函數(shù)曲線的典型樣式如圖9。由于T（v）決定于成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的傅里葉變換，因此，調(diào)制傳遞函數(shù)也決定于成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

圖9 調(diào)制傳遞函數(shù)曲線樣式

調(diào)制傳遞函數(shù)具體給出了成像系統(tǒng)對(duì)不同空間頻率細(xì)節(jié)成像后調(diào)制度改變的情況。細(xì)節(jié)尺寸越小，對(duì)應(yīng)的空間頻率越高，經(jīng)成像系統(tǒng)成像后調(diào)制度降低越多。細(xì)小缺陷顯然具有更高的空間頻率，因此，成像后調(diào)制度降低將大于較大尺寸缺陷。也就是將更難成像。由于任何接收器存在可識(shí)別的調(diào)制度閾值，因此成像系統(tǒng)存在可識(shí)別的最高空間頻率，也即可識(shí)別的細(xì)節(jié)最小尺寸。

從此不難理解，對(duì)任何檢測(cè)技術(shù)，都存在可檢驗(yàn)的缺陷最小尺寸。

4 線擴(kuò)散函數(shù)、邊擴(kuò)散函數(shù)與不清晰度

4.1 線擴(kuò)散函數(shù)與邊擴(kuò)散函數(shù)概念

在前面的敘述中，一直采用一維空間，并僅使用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)概念。在實(shí)際三維空間中，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)應(yīng)是二維函數(shù)，這時(shí)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可記成h（x，y）。其圖像如圖10所示。對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的平移不變性，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以寫(xiě)成一維形式。

在成像理論研究中，除了點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)還引入了線擴(kuò)散函數(shù)（LSF）。線擴(kuò)散函數(shù)是成像系統(tǒng)對(duì)線物體所成的像，也就是對(duì)線物體的響應(yīng)。容易理解，線擴(kuò)散函數(shù)是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)在某方向的迭加，圖11表示了這種情況。即：

顯然，它也應(yīng)是一個(gè)二維函數(shù)。同樣，對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)，考慮到系統(tǒng)的平移不變性，對(duì)于系統(tǒng)的主要成像區(qū)，線擴(kuò)散函數(shù)可以寫(xiě)成一維形式，一般將其記成L（x）。

在成像理論研究中，除了點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)、線擴(kuò)散函數(shù)（LSF），還引入了邊擴(kuò)散函數(shù)（ESF）。邊擴(kuò)散函數(shù)是成像系統(tǒng)對(duì)直邊所成的像，也就是對(duì)直邊物體的響應(yīng)。對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)，也可寫(xiě)為一維函數(shù)，記成E（x）。線擴(kuò)散函數(shù)與邊擴(kuò)散函數(shù)兩者的關(guān)系為：

這樣，邊擴(kuò)散函數(shù)與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)關(guān)系應(yīng)為：

即，邊擴(kuò)散函數(shù)是線擴(kuò)散函數(shù)曲線下的面積，而線擴(kuò)散函數(shù)可從邊擴(kuò)散函數(shù)曲線的導(dǎo)數(shù)得到。圖12畫(huà)出了對(duì)應(yīng)的線擴(kuò)散函數(shù)和邊擴(kuò)散函數(shù)曲線。

圖12 成像系統(tǒng)的線擴(kuò)散函數(shù)和邊擴(kuò)散函數(shù)

在三維空間中成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，理論上一般采用線擴(kuò)散函數(shù)的傅里葉變換。

4.2 線擴(kuò)散函數(shù)與不清晰度關(guān)系

對(duì)于射線檢測(cè)技術(shù)，經(jīng)常使用的是簡(jiǎn)單的不清晰度概念U。按照不清晰度概念，它定義為射線檢測(cè)技術(shù)中的不清晰度曲線的擴(kuò)展寬度。不清晰度曲線實(shí)際就是邊擴(kuò)散函數(shù)曲線，因此，不清晰度實(shí)際也就是邊擴(kuò)散函數(shù)的擴(kuò)展寬度。由于線擴(kuò)散函數(shù)為邊擴(kuò)散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不清晰度也是線擴(kuò)散函數(shù)的擴(kuò)展寬度。

在射線檢測(cè)技術(shù)，對(duì)于實(shí)際測(cè)量不清晰度，不同研究人員采用了不同的方法。通常的建議是用直線給出的擴(kuò)展寬度作為不清晰度，該直線下的面積與復(fù)雜形狀不清晰度曲線下的面積應(yīng)相等，圖13（a）顯示了具體情況，圖中的直線BC就是所采用的直線。在近似處理問(wèn)題時(shí)，用該直線擴(kuò)展寬度作為不清晰度，也就是用一矩形函數(shù)近似線擴(kuò)散函數(shù)，矩形函數(shù)寬度現(xiàn)在常用BW表示。圖13（b）顯示了它們之間的關(guān)系。

圖13 射線檢測(cè)技術(shù)的不清晰度測(cè)定

可見(jiàn)，無(wú)論不清晰度的理論概念和實(shí)際測(cè)量，都顯示它是邊擴(kuò)散函數(shù)擴(kuò)展寬度的轉(zhuǎn)換概念。也就是，不清晰度是相關(guān)于射線檢測(cè)技術(shù)作為成像系統(tǒng)的擴(kuò)散函數(shù)的概念。因此，它成為影響射線檢測(cè)技術(shù)成像系統(tǒng)調(diào)制傳遞函數(shù)的重要因素。當(dāng)然，調(diào)制傳遞函數(shù)還將與不清晰度曲線的形狀密切相關(guān)。也就是，不清晰度將直接影響射線檢測(cè)技術(shù)系統(tǒng)對(duì)不同空間頻率細(xì)節(jié)成像的質(zhì)量。

5 瑞利判據(jù)

點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的擴(kuò)散范圍表征了成像系統(tǒng)的分辨能力。當(dāng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)擴(kuò)散存在一定范圍時(shí)，在得到的像上，某一點(diǎn)實(shí)際是物中一定范圍內(nèi)點(diǎn)貢獻(xiàn)的迭加結(jié)果。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)擴(kuò)散的范圍越小，涉及的物中點(diǎn)的范圍越小，成像系統(tǒng)的分辨能力越高。當(dāng)兩個(gè)物點(diǎn)逐漸靠近時(shí)，它們的像也將互相靠近，直至重疊不能分辨。

在光學(xué)理論上，瑞利把圖中一個(gè)點(diǎn)物衍射圖樣的中央極大與近旁另一個(gè)點(diǎn)物衍射圖樣的第一極小重合，作為光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨力極限，認(rèn)為此時(shí)系統(tǒng)恰好可以分辨開(kāi)兩個(gè)點(diǎn)物。這稱為瑞利判據(jù)，至今，一直采用該條件作為分辨力標(biāo)準(zhǔn)。

實(shí)際應(yīng)用中的瑞利判據(jù)如圖14所示。即，當(dāng)二等強(qiáng)度孤立線像合成分布的中央最小值（圖中F點(diǎn)）不高于兩邊最大值（圖中G點(diǎn)）的0.81時(shí)認(rèn)為可分辨。對(duì)當(dāng)二等強(qiáng)度孤立點(diǎn)像合成分布的中央最小值（圖中F點(diǎn)）不高于二邊最大值（圖中G點(diǎn)）的0.735時(shí)認(rèn)為可分辨。

將瑞利判據(jù)轉(zhuǎn)換到成像系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)曲線上，運(yùn)用調(diào)制度概念可確定成像系統(tǒng)可分辨的最高空間頻率。簡(jiǎn)單計(jì)算即可以得到，對(duì)于線狀圖像，決定最高空間頻率的調(diào)制度近似為0.11。圖15是其示意圖，圖中N0就是成像系統(tǒng)可分辨的最高空間頻率。采用雙絲像質(zhì)計(jì)測(cè)定的不清晰度對(duì)應(yīng)的空間頻率，就是對(duì)應(yīng)調(diào)制度近似為0.11處的空間頻率。應(yīng)注意的是，某些標(biāo)準(zhǔn)采用調(diào)制度為0.2處的空間頻率作為成像系統(tǒng)可分辨的最高空間頻率。

（未完待續(xù)）

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