任達(dá)千 楊世錫 吳昭同 嚴(yán)拱標(biāo)

1.浙江大學(xué)，杭州，310027 2.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州，310053

0 引言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷的目的是在早期發(fā)現(xiàn)潛在的故障。旋轉(zhuǎn)機(jī)械在工作時(shí)會發(fā)生振動，通過對振動信號的檢測和處理可以提取故障特征，并進(jìn)一步確定故障類別。旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷常用的信號處理方法有FFT、小波變換、Hilbert－Huang變換等［1］。

2005 年，Smith［2］提出了局域均值分解（local mean decomposition，LMD）算法，并首先將其應(yīng)用于腦電圖（EEG）信號的時(shí)頻分析。與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，EMD）類似，LMD也是以極值點(diǎn)定義包絡(luò)線，但用滑動平均代替EMD方法中的3次樣條插值。LMD的最終結(jié)果是一系列調(diào)頻調(diào)幅信號，可以進(jìn)一步用反余弦函數(shù)直接求得瞬時(shí)頻率。由于端點(diǎn)附近的包絡(luò)線無法正確獲得，LMD算法同樣存在端點(diǎn)效應(yīng)。

為了解決LMD中出現(xiàn)的端點(diǎn)效應(yīng)，本文提出了一種基于能量的端點(diǎn)效應(yīng)評估方法，比較了LMD和EMD的端點(diǎn)效應(yīng)。端點(diǎn)效應(yīng)的嚴(yán)重程度與包絡(luò)線的定義方法有關(guān)，由此提出一種鏡像延拓極值點(diǎn)的端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法。將修正后的LMD方法應(yīng)用于轉(zhuǎn)子裂紋故障的診斷中，獲得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為進(jìn)一步抑制LMD的端點(diǎn)效應(yīng)，可以考慮改進(jìn)包絡(luò)線的生成方法。

1 LMD基本算法

對信號的局域均值分解，首先需要確定原始信號x（t）所有的極值點(diǎn)，從左到右分別標(biāo)記為n1，n2，…，其中，第i段的局域均值函數(shù)mi和局域包絡(luò)函數(shù)ai分別為

再對局域均值函數(shù)和局域包絡(luò)函數(shù)進(jìn)行滑動平均，若相鄰點(diǎn)的值相等，則再次滑動平均直到任何相鄰點(diǎn)不再相等，即得到局部均值函數(shù)m11（t）和局域包絡(luò)函數(shù)a11（t）。然后，將局部均值函數(shù)m11（t）從原始信號x（t）中分離出來，得到

再將h11（t）除以局域包絡(luò)函數(shù)a11（t），以對h11（t）進(jìn)行解調(diào)，得到

如果s11（t）相對應(yīng)的局域包絡(luò)函數(shù)不滿足a12（t）＝1，則將s11（t）作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)以上迭代過程，直到s1n（t）為一個(gè)純調(diào)頻信號，即－1≤s1n（t）≤1，它的局域包絡(luò)函數(shù)滿足a1（n＋1）（t）≈1。

最后把迭代過程中產(chǎn)生的所有局域包絡(luò)線函數(shù)相乘便可以得到包絡(luò)信號：

該包絡(luò)信號即為乘積函數(shù)（production function，PF）的瞬時(shí)幅值。將包絡(luò)信號a1（t）和純調(diào)頻信號s1n（t）相乘便可得到原始信號的第一個(gè)PF分量：

將PF1（t）從原始信號x（t）中分離出來，得到一個(gè)新的信號u1（t），將u1（t）作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)以上步驟，循環(huán)k次，直到uk（t）的極值點(diǎn)少于等于1為止，x（t）分解為k個(gè)PF分量和uk（t）之和，即

式中，uk（t）為殘余項(xiàng)；PFp（t）為包絡(luò)信號ap（t）和純調(diào)頻信號sp（t）的乘積。

從上述計(jì)算方法可以看到，LMD分解是一個(gè)逐漸去除信號高頻成分的過程。

2 端點(diǎn)效應(yīng)的評價(jià)指標(biāo)

實(shí)際存在的信號序列的長度總是有限的，在無法知道端點(diǎn)以外的信號的情況下，端點(diǎn)附近的局域均值函數(shù)和局域估計(jì)函數(shù)只能根據(jù)已知信號推測，不可避免地造成算法的誤差。因此，LMD也受到端點(diǎn)效應(yīng)的影響。文獻(xiàn)［3］對EMD的端點(diǎn)效應(yīng)做了定性描述，但沒有給出端點(diǎn)效應(yīng)的定量指標(biāo)。

筆者認(rèn)為，LMD的端點(diǎn)效應(yīng)給分解結(jié)果添加了虛假成分，各PF的能量也會改變，因此可以通過比較LMD分解前后的信號能量，來評估端點(diǎn)效應(yīng)的影響程度。

LMD分解的結(jié)果如下：

殘余項(xiàng)uk（t）在這里也和PF一樣參與計(jì)算。在實(shí)際計(jì)算中，為了便于比較，可以先計(jì)算原信號x（t）和LMD得到的各PF的均方根值（有效值）：式中，s（i）為需要計(jì)算有效值 的信號；n為信號的 采樣點(diǎn)數(shù)。

按式（10）比較各PF有效值的總和與原信號有效值，得到一個(gè)評價(jià)指標(biāo)：

式中，R0為原信號有效值；Rp為第p個(gè)PF的有效值；Ru為殘余項(xiàng)的有效值。

根據(jù)定義可知θ≥0，如果端點(diǎn)效應(yīng)對LMD沒有影響，則θ＝0。θ的值越大，說明端點(diǎn)效應(yīng)的影響越嚴(yán)重。

3 LMD和EMD端點(diǎn)效應(yīng)的比較

LMD和EMD的原理類似，兩種分析方法均受到端點(diǎn)效應(yīng)的影響。EMD分解受端點(diǎn)效應(yīng)的影響很嚴(yán)重，如果沒有適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ种贫它c(diǎn)效應(yīng)，則虛假成分將從端點(diǎn)附近開始，逐漸“污染”整個(gè)信號序列。有時(shí)候，端點(diǎn)效應(yīng)將導(dǎo)致EMD的結(jié)果完全不好用［3］。與EMD相比較，LMD的端點(diǎn)效應(yīng)輕得多，處理起來也相對容易。LMD和EMD的端點(diǎn)效應(yīng)對比如下：

（1）LMD信號端點(diǎn)附近未知包絡(luò)線的長度比EMD的信號端點(diǎn)附近未知包絡(luò)線的長度短。LMD和EMD的共同之處在于找出信號的極大值和極小值，然后由這些極值點(diǎn)來生成信號的包絡(luò)線。端點(diǎn)以外的信號極值點(diǎn)是未知的，因此端點(diǎn)附近的包絡(luò)線總是有一段是未知的，但是極值點(diǎn)生成包絡(luò)線的方法有所不同，LMD未知的包絡(luò)線長度比EMD的短。上述定義的局域均值函數(shù)和局域包絡(luò)函數(shù)經(jīng)簡單的計(jì)算即可得信號的包絡(luò)線，這里以局域均值函數(shù)為例說明。如圖1所示，信號左端點(diǎn)的右邊至第1個(gè)極值點(diǎn)（箭頭所指）左邊的局域均值函數(shù)是未知的。EMD的上包絡(luò)線是對極大值點(diǎn)作3次樣條插值，從第1個(gè)極大值點(diǎn)開始有定義；下包絡(luò)線是對極小值點(diǎn)作3次樣條插值，從第1個(gè)極小值點(diǎn)開始有定義；包絡(luò)平均為上下包絡(luò)之差，從第2個(gè)極值點(diǎn)開始有定義。因此，EMD的包絡(luò)平均在第2個(gè)極值點(diǎn)（箭頭所指）的左邊是未知的。

圖1 LMD和EMD端點(diǎn)附近包絡(luò)線未知長度比較

（2）存在特殊的信號，LMD的分解結(jié)果幾乎不受端點(diǎn)效應(yīng)影響。在LMD分解過程中，如果端點(diǎn)同時(shí)也是極值點(diǎn)，那么端點(diǎn)作為一個(gè)極值點(diǎn)即可求出完整的局域均值函數(shù)和局域包絡(luò)函數(shù)，端點(diǎn)效應(yīng)可以基本得到消除。圖2中余弦函數(shù)的表達(dá)式為

圖2 余弦信號

圖3所示為余弦信號的LMD分解結(jié)果（分解為乘積函數(shù)PF1和殘余項(xiàng)R），殘余項(xiàng)的幅值僅為原信號幅值的5.0×10－4左右，完全可以忽略。余弦信號的端點(diǎn)本身就是極值點(diǎn)，在LMD分解過程中，計(jì)算局域均值函數(shù)和局域包絡(luò)函數(shù)將信號端點(diǎn)作為極值點(diǎn)，因此并不會帶來誤差，端點(diǎn)效應(yīng)基本消除。

圖3 余弦函數(shù)LMD分解結(jié)果

對于EMD，即使端點(diǎn)是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，信號的EMD分解結(jié)果依然受端點(diǎn)效應(yīng)影響。余弦函數(shù)符合本征模函數(shù)（intrinsic mode function，IMF）的定義，EMD的分解結(jié)果應(yīng)該就是原信號。實(shí)際分解結(jié)果如圖4所示，IMF1最接近原信號，但是在端點(diǎn)附近發(fā)生了明顯的變形，IMF2、IMF3、IMF4均是虛假的成分。

（3）LMD端點(diǎn)效應(yīng)的擴(kuò)散速度比EMD慢。LMD和EMD端點(diǎn)效應(yīng)首先發(fā)生在端點(diǎn)附近，然后不斷向內(nèi)擴(kuò)散，但是擴(kuò)散的速度不一樣。圖5中，實(shí)線所示為正弦曲線，包絡(luò)線應(yīng)該為一直線，但由于端點(diǎn)效應(yīng)，端點(diǎn)附近的包絡(luò)線發(fā)生了變形。圖5a中的虛線表示LMD算法的局域包絡(luò)函數(shù)，端點(diǎn)效應(yīng)的影響范圍在箭頭左側(cè)，即端點(diǎn)以內(nèi)的3個(gè)極值點(diǎn)。圖5b中的虛線為EMD算法的上包絡(luò)線（由3次樣條函數(shù)插值得到），端點(diǎn)效應(yīng)的影響范圍在箭頭左側(cè)，即端點(diǎn)以內(nèi)的5個(gè)極值點(diǎn)。

圖4 余弦函數(shù)EMD分解結(jié)果

圖5 LMD和EMD端點(diǎn)效應(yīng)擴(kuò)散速度比較

3 一種抑制LMD端點(diǎn)效應(yīng)的延拓方法

本文提出的延拓方法，從本質(zhì)上講是一種鏡像延拓，但只延拓一個(gè)極值點(diǎn)，而不是延拓一段信號。在每一次求局域均值函數(shù)和局域包絡(luò)函數(shù)之前都重新延拓。這樣延拓極值點(diǎn)之后，端點(diǎn)效應(yīng)即可得到有效的抑制。

如圖6所示，仿真信號是調(diào)幅信號和正弦信號之和，表達(dá)式如下：

如圖7所示，小圓圈表示信號的極值點(diǎn)，以離端點(diǎn)最近的一個(gè)極值點(diǎn)為對稱軸（點(diǎn)劃線），將離端點(diǎn)次近的一個(gè)極值點(diǎn)向外延拓。在按式（1）、式（2）求局域均值函數(shù)和局域包絡(luò)函數(shù)的時(shí)候，將這個(gè)延拓的極值點(diǎn)代入，即可求出信號完整的局域均值函數(shù)和局域包絡(luò)函數(shù)。

圖6 仿真信號

圖7 極值點(diǎn)延拓方法

沒有應(yīng)用端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法時(shí)，LMD分解結(jié)果如圖8所示，分解結(jié)果共有7個(gè)乘積函數(shù)，可看到PF1為調(diào)幅信號，但是在端點(diǎn)附近有明顯變形。PF2與正弦信號很相似。PF3～PF7和殘余項(xiàng)的幅值較小，即可看做是LMD分解的誤差成分。按式（11）計(jì)算可得評價(jià)指標(biāo)θ＝0.029。

圖8 未應(yīng)用極值點(diǎn)延拓方法的LMD結(jié)果

對圖6所示的仿真信號，應(yīng)用延拓方法后再一次作LMD分解，結(jié)果如圖9所示。僅有2個(gè)乘積函數(shù)和1個(gè)殘余項(xiàng)，PF1和PF2僅在端點(diǎn)附近有非常輕微的變形，殘余項(xiàng)的幅值很小，可以忽略。端點(diǎn)效應(yīng)評價(jià)指標(biāo)θ＝0.013。和圖8所示的LMD分解結(jié)果相比，端點(diǎn)效應(yīng)得到很好抑制。

圖9 應(yīng)用極值點(diǎn)延拓方法的LMD結(jié)果

4 裂紋轉(zhuǎn)子故障診斷

Wang等［4］將LMD應(yīng)用于轉(zhuǎn)子碰摩和氣流激振故障的特征提取，并認(rèn)為LMD比EMD能更好地預(yù)測早期故障。

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，裂紋故障具有突發(fā)、診斷困難、后果嚴(yán)重等特點(diǎn)。裂紋轉(zhuǎn)子的振動機(jī)理尚不十分明確，而且小裂紋轉(zhuǎn)子往往不發(fā)生劇烈的振動，因此裂紋故障十分隱蔽，難以識別。文獻(xiàn)［5］指出，裂紋轉(zhuǎn)子將引發(fā)彎扭耦合振動，扭轉(zhuǎn)與彎曲振動的耦合是通過不平衡量來實(shí)現(xiàn)的，在裂紋較深和偏心較大時(shí)，扭轉(zhuǎn)振動對彎曲振動的影響是比較大的。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生扭振時(shí)，扭振信息以相位調(diào)制的形式存在于轉(zhuǎn)子的振動信號中，形成調(diào)相信號，相位調(diào)制將改變振動信號的瞬時(shí)頻率。因此，振動信號的瞬時(shí)頻率可以作為裂紋轉(zhuǎn)子的一種特征。

實(shí)驗(yàn)之前定制深裂紋轉(zhuǎn)軸，首先利用線切割機(jī)在軸上指定位置切割出深度為直徑50%的切槽，切槽寬度約為0.12mm，然后在切槽中嵌入厚度為0.10mm的薄金屬片，使之形成近似的開閉裂紋，為防止薄金屬片脫落，在薄金屬片的其中一面涂上502膠水，使金屬片與切槽單面粘合。如圖10所示，裂紋與右端面的距離L＝100mm。振動信號波形和頻譜如圖11所示，采用定時(shí)采樣方式，采樣頻率為3000Hz，軸頻f0＝68.5Hz。

對轉(zhuǎn)子裂紋故障信號做LMD分解，未處理端點(diǎn)效應(yīng)和對極值點(diǎn)延拓的結(jié)果分別如圖12所示。從圖12可以看到，兩者均分解為PF1～PF4，PF1的幅值最大，但是對極值點(diǎn)延拓之后，PF2～PF4的幅值下降。端點(diǎn)效應(yīng)的評價(jià)指標(biāo)θ從1.3×10－3下降到8.3×10－6。

圖10 轉(zhuǎn)子裂紋加工示意圖

圖11 裂紋轉(zhuǎn)子振動信號和幅值譜

基于LMD的時(shí)頻譜如圖13所示。邊緣譜如圖14所示，邊緣譜的能量集中在軸頻附近，沒有明顯的二倍頻和高倍頻，也可看到頻率調(diào)制現(xiàn)象在頻譜圖和時(shí)頻分析中的不同表現(xiàn)。信號經(jīng)LMD分解以后，能量主要集中在PF1，應(yīng)用“直接法”［6］對PF1求取瞬時(shí)頻率，頻率調(diào)制現(xiàn)象清晰可見，如圖15所示。

由上述研究可知，裂紋轉(zhuǎn)子的振動信號有明顯的波內(nèi)頻率調(diào)制現(xiàn)象，邊緣譜中二倍頻則不明顯。

5 結(jié)語

本文提出了一種基于能量的端點(diǎn)效應(yīng)評價(jià)指標(biāo)，對LMD的端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生原因做了分析，并將其與EMD的端點(diǎn)效應(yīng)進(jìn)行了比較。因?yàn)榘j(luò)線的定義方法不同，端點(diǎn)附近未知的包絡(luò)線長度較短，存在特殊信號，LMD分解結(jié)果幾乎不受端點(diǎn)效應(yīng)影響，且LMD端點(diǎn)效應(yīng)的擴(kuò)散速度比EMD慢，因此LMD的端點(diǎn)效應(yīng)相對較輕。提出的一種端點(diǎn)鏡像延拓的端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法經(jīng)仿真驗(yàn)證，能很好地抑制LMD的端點(diǎn)效應(yīng)。應(yīng)用LMD對轉(zhuǎn)子裂紋故障做了實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)LMD方法能提取出轉(zhuǎn)子裂紋故障的特征，取得較滿意結(jié)果。

圖12 裂紋轉(zhuǎn)子振動信號LMD分解結(jié)果

圖13 裂紋轉(zhuǎn)子振動信號基于LMD的時(shí)頻譜

圖14 裂紋轉(zhuǎn)子振動信號邊緣譜

圖15 對裂紋轉(zhuǎn)子振動信號PF1求得的瞬時(shí)頻率

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