甘 勇

桂林電子科技大學(xué)，桂林，541004

0 引言

隨著現(xiàn)代制造技術(shù)、快速原形制造技術(shù)和反求工程技術(shù)的快速發(fā)展，研究開(kāi)發(fā)高精度、低成本的三維實(shí)體無(wú)損測(cè)量技術(shù)有著越來(lái)越重要的現(xiàn)實(shí)意義。目前的三維實(shí)體測(cè)量方法主要有有損測(cè)量和無(wú)損測(cè)量?jī)煞N，有損測(cè)量方法測(cè)量精度較高，但其測(cè)量速度慢、測(cè)量時(shí)間長(zhǎng)，測(cè)量時(shí)要破壞被測(cè)零件，故測(cè)量成本較高，應(yīng)用受到限制。目前應(yīng)用較多的無(wú)損測(cè)量方法是光學(xué)測(cè)量方法，但該方法無(wú)法測(cè)量物體的內(nèi)部輪廓，存在光學(xué)測(cè)量的盲點(diǎn)，且測(cè)量所得的數(shù)據(jù)點(diǎn)云龐大，雜亂無(wú)序，有的甚至殘缺不全；另外，現(xiàn)有核磁共振成像和CT掃描方法能夠測(cè)量物體的內(nèi)部輪廓，但這兩種方法的成本很高，對(duì)可測(cè)零件的尺寸有限制，測(cè)量精度低，特別是對(duì)被測(cè)實(shí)體的材料有限制［1－2］。目前基于浮力的三維測(cè)量方法可無(wú)損測(cè)量不溶于液體的均質(zhì)實(shí)體，測(cè)量精度較高，能測(cè)量含有復(fù)雜內(nèi)部輪廓的實(shí)體，但對(duì)于內(nèi)部輪廓與外部不相通的均質(zhì)實(shí)體也無(wú)法測(cè)量，且測(cè)量精度和可靠性受到液體的動(dòng)態(tài)特性和不穩(wěn)定性的影響［3－4］。國(guó)內(nèi)外學(xué)者雖然在三維實(shí)體的測(cè)量技術(shù)方面做了大量的研究工作，也取得了不少的理論研究成果，并基于其研究成果開(kāi)發(fā)了不少的工業(yè)產(chǎn)品，但到目前為止，還沒(méi)有找到一種理想的三維實(shí)體的無(wú)損檢測(cè)方法。針對(duì)這一技術(shù)難題，本文提出了一種基于靜力平衡原理的三維實(shí)體無(wú)損檢測(cè)方法，本方法應(yīng)用分層原理，通過(guò)測(cè)量平衡系統(tǒng)中各力的變化值，根據(jù)空間力系平衡原理，推算出被測(cè)實(shí)體每層的質(zhì)量及層中各微小單元體的質(zhì)量和空間坐標(biāo)，能對(duì)具有復(fù)雜內(nèi)部輪廓的實(shí)體進(jìn)行三維測(cè)量。

1 測(cè)量方法總體方案設(shè)計(jì)

在物體三維空間單元表示法中，空間單元體將空間分割成均勻的立方形網(wǎng)格，可以根據(jù)實(shí)體所占據(jù)的網(wǎng)格位置來(lái)定義物體的形狀和大小。若此位置為物體所占據(jù)，即單元被填充，其質(zhì)量視為單元質(zhì)量1，稱為實(shí)單元體；反之，空單元體以0表示?；诳臻g單元表示法研究均質(zhì)實(shí)體，構(gòu)建計(jì)算模型，可視其由單元正方體構(gòu)成，采用基于二進(jìn)制像素的三維重構(gòu)方法，可取實(shí)單元體的質(zhì)量為1，空單元體的質(zhì)量為0，即所有像素值只能在（0，1）2個(gè)可能的離散值中選取，以此來(lái)表達(dá)空間圖像單元體的有無(wú)［5－6］。本文測(cè)量方法根據(jù)杠桿平衡系統(tǒng)中力的變化實(shí)現(xiàn)無(wú)損分層測(cè)量，以杠桿平衡系統(tǒng)中力與力矩平衡和其與實(shí)體重量的關(guān)系為基礎(chǔ)，通過(guò)按一定方向越過(guò)支點(diǎn)微小位移，測(cè)量杠桿平衡系統(tǒng)中實(shí)體每個(gè)不同位置的受力變化大小，求解被測(cè)實(shí)體各片層的質(zhì)量和相應(yīng)片層的重心坐標(biāo)值。建立各片層質(zhì)量和所含微小單元體的方程組及重心坐標(biāo)方程組，通過(guò)智能計(jì)算求解方程組，獲得各單元體的質(zhì)量和其空間坐標(biāo)值，進(jìn)而對(duì)獲得的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像重構(gòu)。根據(jù)測(cè)量需求設(shè)計(jì)的總體方案原理圖如圖1所示，其測(cè)量系統(tǒng)主要由杠桿平衡系統(tǒng)、精密測(cè)力系統(tǒng)、裝夾系統(tǒng)、精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)及計(jì)算機(jī)組成。

圖1 三維均質(zhì)實(shí)體無(wú)損測(cè)量方法原理圖

杠桿平衡系統(tǒng)包括均質(zhì)杠桿U1和U2、支撐平臺(tái)e1和4個(gè)自動(dòng)配重系統(tǒng) P1、P2、P3、P4；杠桿U1的支點(diǎn)O1和杠桿U2的支點(diǎn)O2對(duì)稱平衡地設(shè)置在相應(yīng)的杠桿上；支撐平臺(tái)e1與上述杠桿U1和杠桿U2之間通過(guò)4個(gè)固定力接觸點(diǎn)P、Q、H和E相連接；其中，固定力接觸點(diǎn)P和固定力接觸點(diǎn)H位于杠桿U1上，且固定力接觸點(diǎn)P與杠桿U1的支點(diǎn)O1重疊；固定力接觸點(diǎn)Q和固定力接觸點(diǎn)E位于杠桿U2上，且固定力接觸點(diǎn)Q與杠桿U2的支點(diǎn)O2重疊；固定力接觸點(diǎn)P和固定力接觸點(diǎn)Q的連線與兩杠桿U1和U2均垂直；固定力接觸點(diǎn)H和固定力接觸點(diǎn)E的連線也與兩杠桿U1和U2均垂直；支撐平臺(tái)e1在系統(tǒng)中本身的重力及力矩已知不變，并可以通過(guò)杠桿系統(tǒng)平衡掉；杠桿U1和杠桿U2的4個(gè)端點(diǎn)A、B、C和D上分別固定懸掛有一自動(dòng)配重系統(tǒng)P1、P2、P3和P4。杠桿平衡系統(tǒng)快速調(diào)節(jié)杠桿U1和U2的平衡穩(wěn)定，保護(hù)支點(diǎn)結(jié)構(gòu)，維持系統(tǒng)平衡。為了提高測(cè)量精度，實(shí)現(xiàn)杠桿系統(tǒng)的快速穩(wěn)定，以及保護(hù)精密測(cè)力儀器，杠桿U1和U2的4個(gè)端點(diǎn)A、B、C、D處各設(shè)有一限位器R1、R2、R3和R4。杠桿平衡系統(tǒng)的4個(gè)測(cè)力系統(tǒng)處各設(shè)有一個(gè)精密測(cè)力儀器V1、V2、V3和V4，該精密測(cè)力儀器的采集信號(hào)輸出端均連接至計(jì)算機(jī)中。4個(gè)精密測(cè)力儀器用于被測(cè)實(shí)體e2發(fā)生位移時(shí)，實(shí)時(shí)測(cè)量各點(diǎn)的變化力。由于4個(gè)精密測(cè)力儀器的測(cè)量精度高、量程小，因此，設(shè)計(jì)了4個(gè)自動(dòng)配重系統(tǒng)P1、P2、P3和P4進(jìn)行配重，以解決其測(cè)量量程問(wèn)題。裝夾系統(tǒng)包括包容立方體機(jī)構(gòu)，采用最小包容原則讓被測(cè)實(shí)體e2裝夾其中。精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的控制端與計(jì)算機(jī)相連，精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力輸出端則與裝夾系統(tǒng)相連，通過(guò)計(jì)算機(jī)指令控制包容有被測(cè)實(shí)體的裝夾系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)精密位移。

2 測(cè)量方法數(shù)學(xué)模型建立及求解分析

均質(zhì)杠桿U1和U2分別對(duì)O1和O2點(diǎn)對(duì)稱平衡，為簡(jiǎn)化計(jì)算，系統(tǒng)受力分析中均不計(jì)入。假設(shè)被測(cè)實(shí)體片層微小單元體為正方體且邊長(zhǎng)為ΔS，被測(cè)實(shí)體在支撐平臺(tái)e1上，通過(guò)精密位移系統(tǒng)帶動(dòng)實(shí)現(xiàn)每次的微小位移ΔS，從而實(shí)現(xiàn)每個(gè)測(cè)量方向上各個(gè)片層按序移過(guò)支點(diǎn)，達(dá)到測(cè)量計(jì)算的目的。以支點(diǎn)O1和O2的連線中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，將平行于杠桿的方向設(shè)為X軸方向，支點(diǎn)O1和O2的連線設(shè)為Y軸方向，垂直于X軸和Y軸的平面方向設(shè)為Z軸方向，建立空間三維坐標(biāo)系。以計(jì)算被測(cè)實(shí)體在X軸測(cè)量方向上進(jìn)行平移時(shí)所獲得的片層質(zhì)量和相應(yīng)重心坐標(biāo)為例，進(jìn)行測(cè)量裝置各部件受力分析，如圖2所示。已知質(zhì)量為M的被測(cè)實(shí)體所受的重力為G，將裝夾有被測(cè)實(shí)體的包容立方體放置于杠桿平衡系統(tǒng)的支撐平臺(tái)e1上，并讓包容立方體所測(cè)片層方向的起始邊緣與支點(diǎn)O1和O2的連線垂直相對(duì)，且將其狀態(tài)設(shè)為被測(cè)實(shí)體的初始狀態(tài)；通過(guò)調(diào)節(jié)自動(dòng)配重系統(tǒng)，使杠桿平衡系統(tǒng)處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)，同時(shí)，精密測(cè)力儀器測(cè)量并記錄下該時(shí)刻杠桿平衡系統(tǒng)的4個(gè)測(cè)力點(diǎn)所受的力FA（0）、FB（0）、FC（0）和FD（0），并將其返回至計(jì)算機(jī)中。在初始位置，當(dāng)杠桿U1平衡時(shí)（圖2a），分別對(duì)支點(diǎn)O1和支點(diǎn)B進(jìn)行受力分析，有

圖2 測(cè)量裝置各部件受力分析圖

式 中，LO1A、LO1B、LO1H、LAB、LHB分別為 其下標(biāo)兩點(diǎn) 之間的距離。

在初始位置，當(dāng)杠桿U2平衡時(shí)（圖2b），對(duì)支點(diǎn)O2和支點(diǎn)D進(jìn)行受力分析，有

式中，LO2C、LO2D、LO2E、LCD、LED分別為 其下標(biāo)兩 點(diǎn) 之間的距離。

系統(tǒng)PQEH平衡時(shí)（圖2c），對(duì)軸PQ進(jìn)行受力分析，有

式中，X0為被測(cè)實(shí)體的重心坐標(biāo)值；F′H（0）、F′E（0）分別為FH（0）、FE（0）的反 作 用 力，且 其 各 值 已 知 并 可 測(cè) 出；LO1H為其下標(biāo)兩點(diǎn)之間的距離。

系統(tǒng)PQEH平衡時(shí)，對(duì)軸EH進(jìn)行受力分析，有

式中，F(xiàn)′P（0）、F′Q（0）分別為FP（0）、FQ（0）的反作用力，且其各值已知并可測(cè)出。

整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)（圖2d），對(duì)軸O1O2進(jìn)行受力分析，有

式中，LO1B、LO1A分別為其下標(biāo)兩點(diǎn)之間的距離。

計(jì)算機(jī)依據(jù)式（1）～式（7）聯(lián)立求解出被測(cè)實(shí)體初始狀態(tài)下的重心坐標(biāo)值X0、支點(diǎn)O1和支點(diǎn)O2所受的力FO1（0）和FO2（0），以及固定力接觸點(diǎn)P、Q、H和E所受的力FP（0）、FQ（0）、FH（0）和FE（0）。

保持被裝夾系統(tǒng)的測(cè)量方向不變，讓精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在計(jì)算機(jī)指令控制下帶動(dòng)裝夾系統(tǒng)的包容立方體沿其X軸負(fù)方向每次平移ΔS后，通過(guò)調(diào)節(jié)自動(dòng)配重系統(tǒng)使杠桿平衡系統(tǒng)處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)精密測(cè)力儀器測(cè)量出被測(cè)實(shí)體在第i（i＝1，2，…，n）層片層位置時(shí)杠桿平衡系統(tǒng)的4個(gè)測(cè)力點(diǎn)所受的力FA（i）、FB（i）、FC（i）和FD（i）。同上所述，杠桿U1平衡時(shí)，分別對(duì)支點(diǎn)O1和支點(diǎn)B進(jìn)行受力分析；杠桿U2平衡時(shí)，分別對(duì)支點(diǎn)O2和支點(diǎn)D進(jìn)行受力分析；系統(tǒng)PQEH平衡時(shí)，分別對(duì)軸PQ和對(duì)軸EH進(jìn)行受力分析；整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，由于只有被測(cè)實(shí)體移動(dòng)，其系統(tǒng)力矩變化相當(dāng)于由片層質(zhì)量引起，對(duì)軸O1O2進(jìn)行受力分析，可列7個(gè)方程進(jìn)行求解。計(jì)算機(jī)依據(jù)列出的靜力平衡方程組聯(lián)立求解出被測(cè)實(shí)體平移i次后第i層的片層重力Wi，以及支點(diǎn)O1和支點(diǎn)O2所受的力FO1（i）和FO2（i），固定力接觸點(diǎn)P、Q、H和E所受的力FP（i）、FQ（i）、FH（i）和FE（i）。除去已測(cè)部分即未測(cè)部分的重心坐標(biāo)Xi的方程為

結(jié)合重力公式Wi＝miZg，即可獲得被測(cè)實(shí)體在X軸測(cè)量方向上每片層的質(zhì)量miZ，其中下標(biāo)Z表示總質(zhì)量。依次對(duì)被測(cè)實(shí)體的X軸方向、Y軸方向和Z軸方向，以及3個(gè)對(duì)角方向進(jìn)行測(cè)量，且沿X軸、Y軸和Z軸3個(gè)方向測(cè)量時(shí)，每次平移微小單元體邊長(zhǎng)ΔS，從而獲得被測(cè)實(shí)體在X軸、Y軸和Z軸3個(gè)測(cè)量方向上的每片層的質(zhì)量和相應(yīng)的重心坐標(biāo)值。測(cè)量被測(cè)實(shí)體時(shí)，沿3個(gè)對(duì)角平面方向進(jìn)行測(cè)量，每次平移ΔS時(shí)，就能獲得被測(cè)實(shí)體在3個(gè)對(duì)角平面測(cè)量方向上的每片層的質(zhì)量miZ和相應(yīng)的重心坐標(biāo)值，上述測(cè)量一共獲得6個(gè)方向上的每片層的質(zhì)量和相應(yīng)的重心坐標(biāo)值。

將包容立方體即被測(cè)實(shí)體分為n3個(gè)正方體的微小單元體，每個(gè)實(shí)微小單元體的質(zhì)量為m，則第i層的總質(zhì)量為

式中，mij為第i層第j個(gè)微小單元體，i＝1，2，…，n。

當(dāng)被測(cè)實(shí)體e2移過(guò)第i層時(shí)，重心坐標(biāo)方程為

式中，Wi為第i層片層重力；Xi為未測(cè)部分的重心坐標(biāo)。

若已知微小單元體的質(zhì)量為m，則由微小單元體定義可知：所有微小單元體在實(shí)體空間只有兩種情況存在，要么為實(shí)單元體，即質(zhì)量為m；要么為空單元體，即不存在，質(zhì)量為0。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

除可沿X、Y、Z3個(gè)方向進(jìn)行測(cè)量外，通過(guò)改變被測(cè)實(shí)體的測(cè)量方向，還可沿各個(gè)對(duì)角平面的方向進(jìn)行測(cè)量，即共有6個(gè)方向可供測(cè)量。故每一片層中的微小正方單元體的質(zhì)量和可列一個(gè)線性方程，以及一個(gè)重心坐標(biāo)計(jì)算線性方程。若一個(gè)實(shí)體共有N個(gè)微小正方單元體，當(dāng)其在X、Y、Z3個(gè)方向上的每個(gè)單元體按坐標(biāo)方向?qū)R時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)方向共可列出2N1/3個(gè)線性方程，則在X、Y、Z3個(gè)方向上進(jìn)行測(cè)量時(shí)，共可列出6N1/3個(gè)線性方程；當(dāng)沿各個(gè)對(duì)角平面方向進(jìn)行測(cè)量時(shí)，共有6個(gè)方向，若每個(gè)方向只計(jì)片層質(zhì)量方程，每片層一個(gè)方程，則共有6N1/3個(gè)方程；因此，在不同方向測(cè)量時(shí)，最少可列出12N1/3個(gè)線性方程。另外，還存在m1（m1—m）＝0，m2（m2—m）＝0，…，mN（mN－m）＝0等N個(gè)非線性方程，經(jīng)過(guò)質(zhì)量歸一化處理以后，用這N＋12N1/3個(gè)方程優(yōu)化求解N個(gè)未知數(shù)，可高精度地求得每一單元的質(zhì)量，從而獲得實(shí)單元質(zhì)量的三維坐標(biāo)值。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)測(cè)量總體方案進(jìn)行初步實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中的精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)采用美國(guó)BAYSIDE LM系列運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的重復(fù)定位精度達(dá)±5μm，其作用是控制定位平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)被測(cè)實(shí)體的精確位移。精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)通過(guò)計(jì)算機(jī)控制指令控制被測(cè)實(shí)體按指定距離逐層位移。精密測(cè)力儀器采用瑞士梅特勒－托利多AB204－S型分析天平，其可讀性和重復(fù)性均為0.1mg，具有去皮功能。它通過(guò)串口與計(jì)算機(jī)直接相連，用于測(cè)量杠桿平衡系統(tǒng)中力的變化。模擬實(shí)驗(yàn)測(cè)量采用圖3所示的標(biāo)準(zhǔn)件模型，初步實(shí)驗(yàn)表明，本文實(shí)驗(yàn)測(cè)量片層質(zhì)量的精度達(dá)到0.1mg，經(jīng)智能運(yùn)算測(cè)量的微小單元體的精度達(dá)到0.005%，測(cè)量重構(gòu)精度達(dá)到±0.2mm，其重構(gòu)點(diǎn)云圖如圖4所示。

圖3 被測(cè)標(biāo)準(zhǔn)件模型圖

圖4 轉(zhuǎn)換后的點(diǎn)云圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文測(cè)量方法所設(shè)計(jì)的測(cè)量平臺(tái)不僅研制成本低、經(jīng)濟(jì)性好，而且可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)測(cè)量，其測(cè)量方法能夠測(cè)量含有任意復(fù)雜內(nèi)外輪廓的實(shí)體，且測(cè)量速度快、測(cè)量數(shù)據(jù)少、分層有序、重構(gòu)簡(jiǎn)單；測(cè)量數(shù)據(jù)所列數(shù)學(xué)方程均有可靠成熟的解法，編程計(jì)算幾乎不會(huì)給測(cè)量帶來(lái)新的誤差，其測(cè)量重構(gòu)精度可以控制在0.2mm以內(nèi)，基本滿足生產(chǎn)實(shí)際中三維實(shí)體測(cè)量的工程要求。

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