肖小潮 鄭寶玉 王臣昊③

①(南京郵電大學信號處理與傳輸研究院 南京 210003)

②(南京郵電大學教育部寬帶無線通信和傳感技術(shù)重點實驗室 南京 210003)

③(中國移動通信集團江蘇有限公司蘇州分公司 蘇州 215002)

1 引言

由于無線通信的頻譜資源非常緊張，這使得我們必須采用先進的技術(shù)來有效利用寶貴的頻率資源以滿足高速率大容量的業(yè)務需要；另一方面，無線通信系統(tǒng)的性能受到無線信道狀況的影響。因此需要我們通過信道特征估計技術(shù)，來實現(xiàn)對高速率數(shù)據(jù)在無線信道傳輸過程中經(jīng)歷的多徑衰落干擾進行補償，從而改善系統(tǒng)性能，在接收端盡可能準確地恢復發(fā)送信號。

事實上，在現(xiàn)代無線通信系統(tǒng)中，信道估計技術(shù)已經(jīng)得到了充分的應用[1,2]。傳統(tǒng)的信道估計方法主要是基于訓練序列的線性最小二乘估計法(LS)。它是一種以誤差的平方和最小為準則，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)估計線性模型中未知參數(shù)的一種基本參數(shù)估計方法，實現(xiàn)較為簡單，但需要使用較多的導頻數(shù)量，造成頻譜資源的浪費。與傳統(tǒng)的線性估計信道方法不同，近年來興起的基于壓縮感知的稀疏多徑信道估計，也稱壓縮信道感知[3]，其使用的壓縮感知理論(CS)打破了奈奎斯特采樣定理的框架，將對信號的采樣轉(zhuǎn)變成對信息的采樣，這樣就可以在保證信息不損失的情況下，用遠低于奈奎斯特采樣定理要求的速率采樣信號，同時又可以完全恢復信號。由于壓縮信道感知技術(shù)考慮了無線多徑信道的固有稀疏性，因而可以在獲得同樣信道估計性能的情況下，大大減少導頻數(shù)量，提高頻譜利用率。

CS理論包括3個步驟[4]：信號的稀疏表示、觀測矩陣的設計、信號的重構(gòu)。其中，針對信號的重構(gòu)算法，有以正交匹配追蹤算法(OMP)為主的貪婪追蹤算法，以基追蹤(BP)、內(nèi)點法為代表的凸松弛法以及鏈式追蹤、HHS(Heavg Hitters on Steroids)追蹤這類通過對信號分組測試快速重建的組合算法等。與上述常用的壓縮信道感知重構(gòu)方法不同，本文采用基于概率模型的貝葉斯壓縮感知方法，并在此基礎上，利用自適應貝葉斯壓縮感知將信號的重構(gòu)和觀測矩陣的設計結(jié)合起來，實現(xiàn)對訓練序列的自適應設計。同時，從減少觀測矩陣的相關度角度出發(fā)，提出一種最優(yōu)觀測矩陣與自適應貝葉斯壓縮感知技術(shù)結(jié)合的聯(lián)合機制用于信道估計。仿真結(jié)果表明：在相同的實驗條件下，該機制相比傳統(tǒng)的重構(gòu)算法，如BP，具有更好的抗噪聲能力和重構(gòu)精度。

本文內(nèi)容安排如下：第2節(jié)介紹了無線信道的稀疏性，并對貝葉斯壓縮信道感知建模；第3節(jié)提出了基于最優(yōu)觀測矩陣的自適應貝葉斯壓縮感知機制；第4節(jié)給出仿真結(jié)果驗證；第5節(jié)分析了聯(lián)合機制的計算復雜度及硬件實現(xiàn)；第6節(jié)是對全文的總結(jié)。

2 貝葉斯壓縮信道感知模型

2.1 無線信道的稀疏性

在文獻[3]中提到，考慮到無線多徑信道的多徑時延擴展、多普勒頻移、角度擴展等信道特性，將無線信道建模為

其中W表示基帶信號的物理帶寬，T表示基帶信號對應的符號周期，L=Wτmax表示在信道擴展中可分辨時延的最大數(shù)值，M=Tνmax/2表示在信道擴展中可分辨多普勒頻移的最大數(shù)值，τmax表示信道的最大時延域擴展，νmax表示信道的最大多普勒域擴展，NR,NT分別表示接收、發(fā)送天線數(shù)。這樣，無線信道模型就可以被看成時空信號參數(shù)(T,W,NR,NT)的4維傅里葉級數(shù)。

令基于虛擬到達角、出發(fā)角、時延、多普勒頻移的采樣間隔分辨率為 ΔθR= 1 /NR, ΔθT=1/NT,Δτ= 1 /W,Δν= 1 /T，這樣，式(1)分別在角度、時延、多普勒域與物理多徑環(huán)境的采樣相對應，就可以用采樣點的信道系數(shù)h(i,k,l,m)來表征對應的相關多徑信道集。實際中遇到的許多物理信道，其非零信道系數(shù){h(i,k,l,m) }的數(shù)量遠遠小于最大多徑數(shù)，可以被認為是稀疏的。而物理信道的這種固有稀疏性，才使得利用 CS理論來對稀疏多徑信道進行估計是有意義的。

2.2 貝葉斯壓縮信道感知模型[5- 7]

下面，我們參照文獻[5,6]中提及的貝葉斯稀疏重構(gòu)思想，將其運用到稀疏多徑信道估計中，建立起相應的貝葉斯壓縮信道感知模型。假定待估計的M-項稀疏信道為h，訓練序列為x，在接收端接收到的信號為y，則

其中?表示卷積，n為零均值的加性高斯白噪聲。

現(xiàn)對式(2)兩端進行K點FFT變換后，可得

其中Y,X,N分別為y,x,n的傅里葉變換，diag(X)為X的對角化，F(xiàn)為相應的傅里葉變換矩陣，Φ= d iag(X)F作為壓縮感知的觀測矩陣部分。

參照文獻[8]，由于N為零均值加性高斯白噪聲對應的傅里葉變換，因而，N從統(tǒng)計特性來看，仍然具有零均值高斯分布的特性，假定N～N ( 0,σ2)，則

其中α0=σ-2。

由2.1節(jié)分析，我們知道h為一N維稀疏向量，可以假定它服從拉普拉斯的先驗稀疏分布[9]，這里為了研究方便，假定它服從零均值的高斯先驗稀疏分布[5,6]，即

此時，通過式(3)，可知，Y亦為一服從0均值的高斯分布。

其中A=diag(α,α, … ,α),(+ΦA-1ΦT)對應為Y的方差。

根據(jù)概率論模式，可得后驗概率：

其中，式(8)，式(9)對應為式(7)中求得的h的方差和均值，均為α,α0的函數(shù)。

在接收信號Y、觀測矩陣Φ已知的情況下，根據(jù)最大后驗概率準則，所求h必須使得p(Y|α,α0)最大化，也即 m axlgp(Y|α,α0)，參照文獻[5]推導過程，可得

其中γi? 1 -αiΣii,Σii是Σ中第i個對角線元素。

由式(10)和式(11)可以看出，αi,α0為μ,Σ的函數(shù)。而通過式(8)，式(9)，我們知道μ,Σ又為αi,α0的函數(shù)，由此可見，對αi,α0(或者μ,Σ)的求解過程實際上是一個不斷循環(huán)自我迭代的過程。這樣，我們就可以通過設定一個迭代收斂條件，使得αi,α0通過不斷的迭代循環(huán)直至收斂。最后，通過式(9)求得待估計稀疏信號h的估計值，以式(8)求得的Σii作為估計值精確度的差錯欄(error bars)，用于衡量重構(gòu)精確度的一個標準。

3 基于最優(yōu)觀測矩陣的自適應貝葉斯壓縮感知機制

3.1自適應貝葉斯壓縮感知

傳統(tǒng)的壓縮感知重構(gòu)算法中，觀測矩陣Φ=[r1…rK]T無法做到自適應，但是貝葉斯壓縮感知可以通過計算相關的差錯欄，自適應地調(diào)整rk即實現(xiàn)對訓練序列的自適應設計以達到減少h的不確定性的目的。另外差錯欄的計算還可以用來決定需要多少觀測值進行可靠的壓縮感知重構(gòu)。比如，當不確定性變化很微小時，我們就可以認為此時已經(jīng)是在重構(gòu)噪聲部分N了，因而自適應感知就可以停止了。

根據(jù)文獻[10]，定義h的微分熵為

其中c是與Φ獨立的常數(shù)。

根據(jù)Sylvester行列式，有

其中α0和Σ是基于之前K行的觀測矩陣算出來的。

為了使得這個過程能夠通過自我學習自適應，我們對Σ進行特征值分解，從中選取對應的單位特征向量作為rK+1。此時，式(14)可以寫成

λi為Σ中單位特征向量rK+1對應的特征值。為了使式(15)最大化，我們應選取Σ中最大特征值對應的單位特征向量作為rK+1。

通過上述操作，便可以實現(xiàn)對觀測矩陣的自適應設計，將信號的重構(gòu)和觀測矩陣的設計結(jié)合起來，使這兩個環(huán)節(jié)不再相互獨立，達到減少h不確定性的目的。

3.2 最優(yōu)觀測矩陣與自適應貝葉斯壓縮感知聯(lián)合機制

在 2.2節(jié)中，我們提到傳統(tǒng)的貝葉斯壓縮感知過程，通常選取一K×N的隨機高斯矩陣作為觀測矩陣Φ，在接收端利用貝葉斯稀疏重構(gòu)的思想重構(gòu)出稀疏信道h。而對于自適應的貝葉斯壓縮感知過程，考慮到這個過程能夠?qū)τ柧毿蛄羞M行自我學習設計，我們通常取K/ 2×N的隨機高斯矩陣作為初始觀測矩陣Φ0，并在此基礎上，通過自我學習訓練，得到最終的觀測矩陣Φ1和信道估計值h。

事實上，針對觀測矩陣Φ部分，文獻[11]指出信號完全重構(gòu)的前提是觀測矩陣不會把兩個不同的M-項稀疏信號映射到同一個采樣集合中，即要求從觀測矩陣中任意抽取的K個列向量構(gòu)成的矩陣是非奇異的。另外，在文獻[12]中，也得出結(jié)論：當觀測矩陣相關度越小，估計誤差就越小，估計值越接近真實值。因此，對觀測矩陣的選取，應盡量保證選取的觀測矩陣的列向量相關性較小。

圖1 聯(lián)合機制流程圖

從這個角度出發(fā)，本文引入最優(yōu)觀測矩陣的思想，提出一種最優(yōu)觀測矩陣與自適應貝葉斯壓縮感知相結(jié)合的機制，該聯(lián)合機制的流程圖如圖1所示。相比于一般的自適應貝葉斯壓縮感知流程，該聯(lián)合機制增加了圖1虛線框中的環(huán)節(jié)，即對K/ 2×N的初始觀測矩陣Φ0先進行優(yōu)化處理，減少其列向量的相關性，得到最優(yōu)初始觀測矩陣Φ2。然后再在此基礎上，運用自適應貝葉斯壓縮感知的思想，通過邊檢測邊自我學習，得到最終觀測矩陣Φ3和信道估計值h。其中，觀測矩陣Φ0列向量之間的相關系數(shù)為中的非對角線元素值。現(xiàn)假定可以容忍的相關性系數(shù)值為t，則對上述觀測矩陣Φ0定義t-相關系數(shù)如下：

其中，衰減因子γ取0＜γ＜1。

參照文獻[13,14]，可得具體算法迭代過程如下：

設置初始觀測矩陣Φ0∈RK×N為任意高斯隨機矩陣，程序重復次數(shù)iter以及縮小因子γ(按照經(jīng)驗值，取門限值t=0.1，衰減因子γ= 0 .85，循環(huán)次數(shù)iter=10)。

步驟3 設置容忍門限t：即選擇Gk中非對角線元素大于t的元素。

通過上述的迭代運算，一個原始的任意高斯隨機矩陣Φ0∈RK×N就可以被優(yōu)化成一個列向量的互相關系數(shù)更小的隨機矩陣。

下面，為了說明最優(yōu)觀測矩陣與自適應貝葉斯聯(lián)合機制能夠很好地減小觀測矩陣的相關性，我們參照文獻[12]，定義G=ΦTΦ中的最大非對角線元素值為觀測矩陣Φ的相關度，通過在仿真中對觀測矩陣Φ1和Φ3相關度的比較來進一步闡述。

4 仿真驗證

在相同參考長度K和信噪比SNR的條件下，比較傳統(tǒng)的BP重構(gòu)算法、貝葉斯壓縮信道感知方法、自適應貝葉斯壓縮信道感知方法以及基于最優(yōu)觀測矩陣的自適應貝葉斯壓縮信道估計方法對稀疏信道重構(gòu)的效果，即比較其歸一化均方誤差MSE。這里，歸一化均方誤差MSE定義為

仿真1為了比較各種算法在低信噪比環(huán)境下的重構(gòu)效果，設定信道h維度N= 1 00，稀疏度為T= 2 0，接收信號維度K固定取為 70，信噪比SNR = 0 ～ 1 5 dB，仿真結(jié)果如圖2所示。

由圖2可以看出，在低信噪比環(huán)境中，傳統(tǒng)的BP重構(gòu)方法估計誤差最大，這是因為采用BCS重構(gòu)方法，一來在迭代循環(huán)αi過程中，當出現(xiàn)αi=∞時，意味著對應的hi分量為零，通過對hi置零，并將觀測矩陣Φ中對應列向量剔除，可以起到一定的去噪效果，實現(xiàn)對真實信道h的更好匹配，二來壓縮感知的重構(gòu)過程，本身是一個求取最小?0范數(shù)的問題，而越來越多研究表明[15]，BCS比起求最小?1范數(shù)方法(如BP)，能夠更好地實現(xiàn)對最小?0范數(shù)問題的匹配。

所有壓縮信道估計方法的重構(gòu)誤差隨著信噪比的增加而呈準線性減小，估計效果受信噪比影響較為穩(wěn)定，其中自適應貝葉斯重構(gòu)曲線的震蕩性是由于觀測矩陣的產(chǎn)生是隨機的；另外，在相同觀測序列維度K、信噪比SNR的時候，本文機制比自適應貝葉斯重構(gòu)誤差更小，恢復效果更好，并且隨著SNR的增加，恢復效果的差距將進一步被拉大，這正是由于前面提到的觀測矩陣相關度對恢復重構(gòu)效果造成的影響。

通過表1，我們發(fā)現(xiàn)通過采用本文機制，對自適應貝葉斯重構(gòu)方法中的初始觀測矩陣Φ0進行優(yōu)化，最終可以得到相關度更低的觀測矩陣，從而更好地實現(xiàn)對信道的估計。

仿真2為了觀察觀測序列長度對各種算法恢復效果的影響，我們將信噪比SNR固定取為10 dB，觀測序列長度K= 5 0 ～ 8 0，仿真效果如圖3所示。觀測矩陣相關度比較示于表2。

由圖3可以看出，所有壓縮信道估計方法的重構(gòu)誤差隨著觀測序列長度的增加而呈減小趨勢。而在仿真試驗中，我們發(fā)現(xiàn)當觀測序列長度K≥80= 4T，此時，再增加觀測序列的長度，信道估計性能改善程度變得很小，將沒有意義，只會降低系統(tǒng)吞吐量。這是由于壓縮信道估計是基于信道的稀疏性進行的，其本質(zhì)是對欠定方程進行求解，隨著觀測序列的增加，欠定方程將逐漸不再欠定。

圖4為K= 7 0, SNR = 5 dB時4種重構(gòu)算法的重構(gòu)效果比較圖，仿真實驗過程中，BP重構(gòu)出來的非零分量數(shù)為信道h維度N= 1 00，而各種BCS重構(gòu)方法重構(gòu)出來的非零分量數(shù)在稀疏度T=20左右，由此也間接說明了貝葉斯壓縮重構(gòu)相對BP重構(gòu)具有一定的去噪效果。

5 計算復雜度

圖2 K = 7 0,SNR = 0 - 1 5 dB 4種重構(gòu)算法的重構(gòu)誤差比較圖

圖3 SNR =10 dB, K = 50 - 80 4種重構(gòu)算法的重構(gòu)誤差比較圖

表1 觀測序列長度K=70,SNR = 0 ～ 1 5 dB 時觀測矩陣相關度比較

表2 SNR=10 dB，觀測序列長度K 50 80= ～ 時觀測矩陣相關度比較

圖4 4種重構(gòu)算法的重構(gòu)效果比較圖

為了研究本文機制的計算復雜度，我們對本文機制的信道估計運行時間進行統(tǒng)計分析，并將其與BP重構(gòu)算法、貝葉斯重構(gòu)算法、自適應貝葉斯重構(gòu)算法的CPU運行時間進行比較。雖然算法的CPU運行時間不能嚴格地用于定義算法復雜度，卻可以在一定程度上對算法的計算復雜度做出描述。這里，我們的仿真運行環(huán)境為2.53 GHz英特爾i5雙核處理器、3 GB內(nèi)存Win7系統(tǒng)下的MATLAB 2008 b。仿真中將各算法在相同觀測序列長度K、不同信噪比SNR下的運行時間進行統(tǒng)計平均，給出了各算法隨觀測序列長度K的變化對應的計算時間如圖5。

由圖5可以看出，隨著觀測序列長度K的增大，各種重構(gòu)算法的 CPU運行時間均呈增大趨勢，其中，BP, BCS方法的運行時間增大幅度較小。而本文機制相比于自適應貝葉斯算法，由于存在對觀測矩陣的優(yōu)化過程，對信道估計性能的改善，使得重構(gòu)算法的收斂速度更快，運行時間更短。然而對觀測矩陣的優(yōu)化和自適應設計這兩個環(huán)節(jié)的存在，也使得本文機制在改善信道估計效果的同時，對比BP,BCS重構(gòu)方法，計算時間大大增加，計算復雜度大大增大。

圖5 4種不同重構(gòu)算法的CPU運行時間

從而可以大大減小硬件的實現(xiàn)復雜度。當然，如何從硬件實現(xiàn)復雜度出發(fā)，尋找到實現(xiàn)本文機制的更佳方法，也是我們后續(xù)需要進一步學習的重點。

6 結(jié)束語

本文采用基于概率模型的貝葉斯壓縮感知算法，從最大后驗概率的角度，介紹了算法形成的思想。在此基礎上，利用自適應貝葉斯壓縮感知將信號的重構(gòu)和觀測矩陣的設計結(jié)合起來，使這兩個環(huán)節(jié)不再相互獨立。同時，從減少觀測矩陣的相關度出發(fā)，提出基于最優(yōu)觀測矩陣的自適應貝葉斯壓縮感知技術(shù)用于信道估計，通過減少觀測矩陣的相關度以及對觀測矩陣的自適應設計，使得信道的重構(gòu)效果更佳，另外可以利用重構(gòu)過程中得到的差錯欄，對重構(gòu)精確度進行衡量。仿真表明：在相同的實驗條件下，該聯(lián)合機制相比傳統(tǒng)的重構(gòu)算法，具有更好的抗噪聲能力和重構(gòu)精度。此外，在對觀測矩陣進行自適應優(yōu)化處理時，由于存在迭代循環(huán)過程，造成估計時延的增長。如何在不降低已有的重構(gòu)效果的基礎上進一步減少估計時延，降低硬件實現(xiàn)復雜度，將是我們后續(xù)工作關注的重點。

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