姚貝貝，孫 鈞，2

（1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海200092；2.杭州豐強(qiáng)土建工程研究院，浙江 杭州310006）

地下結(jié)構(gòu)的安全可靠與否，不僅影響其正常運(yùn)營使用，而且直接關(guān)系到人民的生命財產(chǎn)安全.而盾構(gòu)隧道建造費(fèi)用高，服役期長（一般為100年），破壞危險性大，因此，要絕對保證盾構(gòu)隧道的安全可靠.在目前的研究中，抗力不隨時間變化的可靠度研究多，抗力隨時間變化的可靠度研究少.結(jié)構(gòu)的耐久性不足時會造成結(jié)構(gòu)抗力的降低，從而使結(jié)構(gòu)的安全性下降[1].顯然，在結(jié)構(gòu)耐久性成為國際土木界所關(guān)注問題的今天，研究結(jié)構(gòu)時變可靠度是有現(xiàn)實(shí)意義的.

結(jié)構(gòu)時變可靠度是指將結(jié)構(gòu)在設(shè)計使用期限內(nèi)的抗力和作用效應(yīng)看成是隨機(jī)變量，結(jié)構(gòu)抗力隨時間不斷降低的可靠度分析方法，它是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題.隧道襯砌結(jié)構(gòu)受力大部分處于偏心狀態(tài)下，極限狀態(tài)函數(shù)的非線性程度較高，特別是在考慮抗力隨時間變化的情況下.目前，國內(nèi)外對結(jié)構(gòu)可靠度的常用分析方法主要有一次二階距法、Monte Carlo方法、隨機(jī)有限元法、響應(yīng)面法[2－3].一次二階距方法運(yùn)算簡單，但主要是針對功能函數(shù)能夠明確表達(dá)的結(jié)構(gòu)，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言常難以寫出功能函數(shù)的顯式形式；Monte Carlo方法其模擬的收斂速度與基本隨機(jī)變量的維數(shù)無關(guān)，極限狀態(tài)函數(shù)的復(fù)雜程度與模擬的過程無關(guān)，具有直接解決問題的能力.近幾年，還發(fā)展了各種效率更高的抽樣方法如對偶抽樣，重要性抽樣[4]、分層抽樣、控制變數(shù)法等，但對于實(shí)際工程的結(jié)構(gòu)破壞概率通常小于10－3以下量級的范疇時，該方法的模擬數(shù)目就會相當(dāng)大，占據(jù)大量的計算時間，效率較低；隨機(jī)有限元方法是另一種手段，但是需要對確定性結(jié)構(gòu)分析程序加以改造，要形成一個通用的隨機(jī)有限元程序來描述工程實(shí)際中各種隨機(jī)性，目前尚有一定困難[5]；響應(yīng)面法具有思路清晰，方法簡便，計算量小的特點(diǎn)，是目前最有發(fā)展前景的結(jié)構(gòu)可靠度分析方法之一，但該方法計算的是可靠度指標(biāo)是幾何可靠度而不能完全代表結(jié)構(gòu)的真實(shí)可靠度[6].

由于本文研究的是結(jié)構(gòu)時變可靠度，極限狀態(tài)方程較為復(fù)雜，故將結(jié)合響應(yīng)面法和重要抽樣兩種方法進(jìn)行時變可靠度計算.即利用響應(yīng)面法計算出設(shè)計驗(yàn)算點(diǎn)和響應(yīng)面方程，再引入重要抽樣法以得到的設(shè)計驗(yàn)算點(diǎn)作為抽樣中心，以響應(yīng)面方程作為近似功能函數(shù)進(jìn)行抽樣，并考慮結(jié)構(gòu)抗力隨時間衰減，從而求解隧道襯砌結(jié)構(gòu)服務(wù)壽命期內(nèi)的時變可靠度.

1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法起源于實(shí)驗(yàn)設(shè)計，而后用于結(jié)構(gòu)可靠度的數(shù)值模擬.其基本思想就是對于隱含的或需花費(fèi)大量時間確定的真實(shí)的功能函數(shù)或極限狀態(tài)面，用一個容易處理的函數(shù)（稱為響應(yīng)面函數(shù)）或曲面（稱為響應(yīng)面）代替.一般為先設(shè)計一系列變量值X，每組變量值構(gòu)成一個試驗(yàn)點(diǎn)即樣本點(diǎn)xi，并逐步計算結(jié)構(gòu)相應(yīng)的一系列功能函數(shù)值Zi（i＝1，2，…，n），構(gòu)造變量組和功能函數(shù)值之間的明確函數(shù)關(guān)系，利用其近似代替真實(shí)功能函數(shù)，再利用常用的方法計算結(jié)構(gòu)可靠度.響應(yīng)面法的關(guān)鍵是響應(yīng)面函數(shù)對取樣點(diǎn)的很好擬合，響應(yīng)面函數(shù)通常選取二次多項(xiàng)式，本文選取的近似響應(yīng)面函數(shù)為不含交叉項(xiàng)的非完全二次多項(xiàng)式：

式中：a0，bi，ci（i＝1，2，…，n）為待定系數(shù).

確定響應(yīng)面函數(shù)的關(guān)鍵是確定待定系數(shù)，先根據(jù)室內(nèi)試驗(yàn)得到的各試樣得到的變量均值作為初始迭代點(diǎn)，利用Matlab編程進(jìn)行循環(huán)確定最接近均值點(diǎn)的一系列變量點(diǎn)，從而求出待定系數(shù)，得到一個時間變量對應(yīng)一個響應(yīng)面函數(shù)，以此反復(fù)進(jìn)行迭代，直至兩次迭代結(jié)果在誤差范圍之內(nèi).通常在設(shè)計試驗(yàn)點(diǎn)時采用二水平因子設(shè)計或中心復(fù)合設(shè)計，二水平因子設(shè)計是取因子的上水平和下水平，當(dāng)有n個因子時，需要2n次試驗(yàn).中心復(fù)合設(shè)計是在二水平設(shè)計的基礎(chǔ)上，在增加原點(diǎn)和2n個坐標(biāo)軸上的點(diǎn).式（1）沿坐標(biāo)軸代表真實(shí)功能函數(shù)，試驗(yàn)點(diǎn)可沿坐標(biāo)軸在均值點(diǎn)μX附近選擇，其中沿坐標(biāo)軸Xi軸的試驗(yàn)點(diǎn)具有的坐標(biāo)為xi＝μXi±fσXi，其中f＞0，是一任意因子.這是一種只有在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的中心復(fù)合設(shè)計.在這2n＋1個點(diǎn)處計算原真實(shí)功能函數(shù)的值，并由此得到線性方程組，解之可得到2n＋1個未知系數(shù)a0，bi，ci.具體的求解步驟如下：

（1）假定初始迭代點(diǎn)x＝（x1，x2，…，xn）T，一般取平均值μX.

（2）選取f值，一般取1，2，3，本文程序中選取f＝2.

（3）通過結(jié)構(gòu)數(shù)值分析或試驗(yàn)在各個展開點(diǎn)處計算功能函數(shù)的估計值（i＝1，2，…，2n＋1），并形成相應(yīng)的系數(shù)矩陣，利用結(jié)構(gòu)數(shù)值試驗(yàn)方法，通過Matlab編制專用程序進(jìn)行計算.

（4）利用式（1）求解待定系數(shù)a0，bi，ci（i＝1，2，…，n）.

（5）計算時變可靠度指標(biāo)β及驗(yàn)算點(diǎn)x＊.

（6）計算在驗(yàn)算點(diǎn)處的功能函數(shù)的估計值.

（7）通過線性插值公式可得到新的x，即利用公式

（8）返回步驟（3）進(jìn)行迭代，直至前后兩次β值相差＜ε，‖x＊‖＜ε.

2 重要抽樣法

設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為Z＝gX（X），基本隨機(jī)變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)為fX（x），則結(jié)構(gòu)的失效概率表示為

可靠度指標(biāo)與失效概率的對應(yīng)關(guān)系

式（2）—（3）中：I（x）為x的指示函數(shù)（或稱特征函數(shù)、示性函數(shù)），規(guī)定當(dāng)x＜0時I（x）＝1，反之，I（x）＝0；Df是與gX（X）相對應(yīng)的失效區(qū)域；Φ（·）為標(biāo)

準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率函數(shù).

利用Monte Carlo方法表示式（2）可寫為

式中，N為抽樣模擬總數(shù).

抽樣模擬總數(shù)N可近似的表示為

式（5）意味著抽樣數(shù)目N和成反比，而工程結(jié)構(gòu)中的失效概率通常是較小的，這說明N必須要有足夠大的數(shù)目才能給出正確的估計，很明顯，只有利用方差縮減技術(shù)，降低抽樣模擬數(shù)目N，才能使Monte Carlo法在實(shí)際工程可靠性分析中得以應(yīng)用.因此趙國藩等學(xué)者提出了效率更高的重要抽樣方法.

直接的Monte Carlo抽樣法得到的隨機(jī)變量X的樣本點(diǎn)xi（i＝1，2，…，N）多集中在聯(lián)合概率密度函數(shù)fX（x）的最大值附近，該點(diǎn)一般比較接近X的均值點(diǎn)μX.實(shí)際的結(jié)構(gòu)失效應(yīng)為小概率事件，從而μX處于可靠域而不在極限狀態(tài)面上，在失效域內(nèi)的樣本點(diǎn)很少，實(shí)現(xiàn)一次Z＜0的機(jī)會很小.因此，重要抽樣方法的基本思想是通過改變隨機(jī)抽樣中心，使樣本點(diǎn)有較多機(jī)會落入失效域，增加使功能函數(shù)Z＜0的機(jī)會.

假定存在一個重要抽樣概率密度函數(shù)pV（v），滿足下列關(guān)系

則式（2）可變?yōu)?/p>

重要抽樣法就是選用pV（v）進(jìn)行抽樣，可能改變原抽樣的重要區(qū)域，增加樣本點(diǎn)落入失效域的機(jī)會，但若絕大部分落入失效域內(nèi)也對求解不利.因此，可以將抽樣中心取在失效域內(nèi)對結(jié)構(gòu)失效概率貢獻(xiàn)最大的點(diǎn)v＊，即最可能失效點(diǎn).v＊可通過以下最優(yōu)化問題求解：

若用pV（v）對V抽樣，得到樣本vi＝（vi1，vi2，…，vin）T，i＝1，2，…，N，則pf的無偏估計值為

pV（v）的基本變量V的各量為正態(tài)隨機(jī)變量，V的方差可取對應(yīng)的原隨機(jī)變量X的方差的1～2倍，V的均值可取最大可能點(diǎn)v＊或驗(yàn)算點(diǎn)x＊.

綜上所述，重要抽樣法就是先以 Monte Carlo直接抽樣得到的樣本點(diǎn)為初始抽樣中心，利用式（8）進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計，得到最可能失效點(diǎn)v＊，將v＊重新作為抽樣中心，進(jìn)行迭代計算，利用式（7）可進(jìn)行失效概率的計算.該過程均只是Matlab程序中實(shí)現(xiàn).

根據(jù)可靠度指標(biāo)與失效概率一一對應(yīng)的關(guān)系，可有式（9）求出失效概率，從而求出可靠度指標(biāo).

3 基于響應(yīng)面法與重要抽樣法結(jié)合的可靠度計算方法

對于實(shí)際工程中，一般極限狀態(tài)方程為隱式，直接利用重要抽樣法，其抽樣中心和抽樣區(qū)域很難確定，并且直接采用重要抽樣法，抽樣次數(shù)仍然比較高，效率較低；而響應(yīng)面法對于隱式方程能較精確地確定其驗(yàn)算點(diǎn)和驗(yàn)算點(diǎn)附近擬合精度較高的響應(yīng)面.因此，將兩者結(jié)合可提高效率和計算精度，以響應(yīng)面法得到驗(yàn)算點(diǎn)作為重要抽樣法的抽樣中心，從而構(gòu)造抽樣函數(shù)進(jìn)行重要抽樣，計算結(jié)構(gòu)失效概率和可靠度指標(biāo).具體步驟如下：

（1）假定初始迭代點(diǎn)x＝（x1，x2，…，xn）T，一般取平均值μX.

（2）選取f值，一般取1，2，3，本文程序中選取f＝2.

（3）通過結(jié)構(gòu)數(shù)值分析或試驗(yàn)在各個展開點(diǎn)處計算功能函數(shù)的估計值i（i＝1，2，…，2n＋1），并形成相應(yīng)的系數(shù)矩陣.

（4）利用式（1）求解待定系數(shù)a0，bi，ci（i＝1，2，…，n）.

（5）計算可靠度指標(biāo)β及驗(yàn)算點(diǎn)x＊.

（6）若滿足收斂條件｜β（k）－β（k－1）｜＜ε，則輸出β，否則以為樣本中心，返回步驟（3）進(jìn)行迭代，直至滿足收斂條件.

（7）輸出驗(yàn)算點(diǎn)x＊，以x＊作為重要抽樣中心和抽樣函數(shù)pV（v）的均值，以原隨機(jī)變量方差的1～2倍作為抽樣函數(shù)的均值；

（8）對nV個隨機(jī)變量選取nS個正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣點(diǎn)Vi；

（9）計算隨機(jī)抽樣點(diǎn)對應(yīng)的功能函gX（vi）；

（10）以原隨機(jī)變量的均值和方差構(gòu)造隨機(jī)抽樣點(diǎn)對應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)fX（vi）；

（11）以驗(yàn)算點(diǎn)為均值，以原隨機(jī)變量方差的一倍為重要抽樣函數(shù)的方差構(gòu)造重要抽樣概率密度函數(shù)pV（vi），并計算fX（vi）／pV（vi）的數(shù)值；

（12）計算功能函數(shù)值gX（vi）＜0出現(xiàn)的總次數(shù)；

（13）計算失效概率pf.

通過以上原理和步驟，本文利用Matlab軟件，結(jié)合隧道的工程實(shí)際概況，編制了服務(wù)壽命期限內(nèi)，結(jié)構(gòu)時效可靠度和可靠度指標(biāo)的計算程序，并通過實(shí)例分析驗(yàn)證了其正確性.

4 實(shí) 例

某越江公路隧道全長8 955.26 m，隧道內(nèi)設(shè)計車速80 km·h－1，結(jié)構(gòu)設(shè)計使用年限為100年.其中江中段東線長7 471.65 m，西線長7 469.363 m，為雙管盾構(gòu)隧道.江中圓隧道的襯砌外徑為15.0 m，內(nèi)徑13.7 m，環(huán)寬2.0 m，環(huán)厚0.65 m.工程區(qū)年平均溫度15.7℃，年平均相對濕度0.8.

本文研究時效可靠度，因此要考慮抗力和作用響應(yīng)隨時間變化的統(tǒng)計特征，計算時取單位寬度進(jìn)行計算，通過有限元計算，本文以襯砌結(jié)構(gòu)偏心受壓狀態(tài)為例，利用近似概率法建立襯砌結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程.在結(jié)構(gòu)服務(wù)壽命期限內(nèi)荷載作用效應(yīng)S（t）不能超該期限內(nèi)結(jié)構(gòu)的抗力R（t），即：

當(dāng)不滿足式（10）時結(jié)構(gòu)將失效，因此結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為

當(dāng)Z（t）＞0時，結(jié)構(gòu)安全；當(dāng)Z（t）＜0時，結(jié)構(gòu)失效.

4.1 抗力隨時間衰減的隨機(jī)計算模型

對隧道襯砌結(jié)構(gòu)，其受力狀態(tài)一般為偏心受力.根據(jù)文獻(xiàn)[7]規(guī)定，公路隧道襯砌結(jié)構(gòu)矩形截面的強(qiáng)度計算公式，并結(jié)合文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)的構(gòu)鋼筋混凝土矩形截面小偏心受壓構(gòu)件，部分截面受壓時的抗力表達(dá)式，以期使計算結(jié)果更為準(zhǔn)確.當(dāng)構(gòu)件小偏心受壓時，文獻(xiàn)[9]的推導(dǎo)的抗力表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

式中：Ra為混凝土的極限強(qiáng)度；h0為有效高度；Ag，Ag1分別為受拉區(qū)、受壓區(qū)鋼筋截面面積；e，e1分別為軸向力作用點(diǎn)到受拉鋼筋、受壓鋼筋合力點(diǎn)的距離；Rg1為鋼筋的抗壓計算強(qiáng)度；這些參數(shù)假定為正態(tài)分布，統(tǒng)計特征按照文獻(xiàn)[10]取值.另外三個參數(shù)為定值，取值分別為b＝1 000 mm，B＝－1 309 MPa，C＝1 047 MPa.

本文在計算鋼筋銹蝕后襯砌結(jié)構(gòu)強(qiáng)度時，考慮環(huán)境因素和構(gòu)件老化導(dǎo)致的抗力隨時間衰減，并引入損傷系數(shù).分別反映鋼筋銹蝕引起的鋼筋截面損失及強(qiáng)度降低、混凝土截面損傷、鋼筋和混凝土間粘結(jié)力下降三方面的損傷效應(yīng).鋼筋銹蝕后截面強(qiáng)度計算則需考慮損傷系數(shù)as和ac的影響，受拉和受壓區(qū)分別變?yōu)閍sRaAg和asacRaAg1.

在公式（11）的基礎(chǔ)上，引入表1中的損傷系數(shù)，并考慮時間效應(yīng)，得到隧道襯砌結(jié)構(gòu)在服務(wù)壽命期限內(nèi)，結(jié)構(gòu)抗力隨時間衰減的計算公式為：

式中：Ra（t）為混凝土的極限強(qiáng)度；as（t）為鋼筋銹蝕后鋼筋強(qiáng)度和截面面積降低系數(shù)隨機(jī)過程；ac（t）為鋼筋銹蝕后鋼筋與混凝土的協(xié)同工作系數(shù)；這3個參數(shù)均與時間有關(guān)，通過室內(nèi)氯離子滲透和擴(kuò)散試驗(yàn)利用Fick第二定律得到的氯離子擴(kuò)散系數(shù)，和室內(nèi)鋼筋電化學(xué)快速銹蝕試驗(yàn)得到的鋼筋銹蝕量來確定，其相關(guān)參數(shù)參考文獻(xiàn)[11]中的數(shù)值，均假定為正態(tài)分布，由于數(shù)值較多，所以在文中不在列出.h0c含義見表1.

表1 隨機(jī)參數(shù)統(tǒng)計特征Tab.1 Statistical characteristics of random parameters

4.2 作用效應(yīng)S統(tǒng)計特征

本文在進(jìn)行荷載效應(yīng)求解過程中將圍巖的力學(xué)性能、襯砌材料的力學(xué)性能、襯砌結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、計算模式等看作隨機(jī)變量，其統(tǒng)計特征見表1.利用“荷載－結(jié)構(gòu)”法，采用Ansys軟件中的可靠度計算專用模塊對襯砌結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析，則可得到截面彎矩M0和軸力N0的均值和方差.

4.3 考慮抗力隨時間衰減的極限狀態(tài)方程

考慮抗力隨時間衰減的極限狀態(tài)方程如下：

通過以上極限狀態(tài)方程，利用本文編制的程序，求解出該越江隧道襯砌結(jié)構(gòu)從建成開始使用到服務(wù)壽命100年內(nèi)的時效可靠度指標(biāo)和對應(yīng)的失效概率，運(yùn)算結(jié)果見表2.

表2 服務(wù)壽命期內(nèi)可靠度指標(biāo)與失效概率Tab.2 Time－dependent reliability indexes and failure probability in the service lifetime

整理出襯砌結(jié)構(gòu)服務(wù)壽命期內(nèi)時變可靠度指標(biāo)與服務(wù)時間的關(guān)系圖（圖1）.

圖1 襯砌結(jié)構(gòu)時效可靠度指標(biāo)與時間關(guān)系圖Fig.1 Time－dependent reliability indexes and time diagram of tunnel lining

從圖1可以看出，在結(jié)構(gòu)100年服務(wù)壽命內(nèi)，結(jié)構(gòu)時效可靠度隨時間是不斷衰減的，且與時間成指數(shù)關(guān)系，通過回歸分析，表示如下：

在工程結(jié)構(gòu)中，對于缺少實(shí)測資料的工程，在基于近似概率法進(jìn)行耐久性設(shè)計時，求解耐久性設(shè)計系數(shù)η則是關(guān)鍵，而耐久性系數(shù)則是時效可靠度指標(biāo)的函數(shù)；兩者一一對應(yīng)的關(guān)系如下：

式中：β0為結(jié)構(gòu)初始可靠度指標(biāo)，一般按文獻(xiàn) [12]取值，本文取3.7；βt結(jié)構(gòu)達(dá)到服務(wù)壽命時的可靠度指標(biāo)，一般取βt＝β0.

從式（15）可以看出，耐久性系數(shù)與時效可靠度指標(biāo)是相互對應(yīng)的關(guān)系，通過本文的方法程序，可計算出結(jié)構(gòu)時效可靠度指標(biāo)，進(jìn)而求得耐久性系數(shù)，才可對擬建結(jié)構(gòu)在缺少實(shí)測數(shù)據(jù)的情況下進(jìn)行耐久性設(shè)計.本文通過式（16）計算出該隧道在達(dá)到服務(wù)壽命100年時，結(jié)構(gòu)的耐久性系數(shù)為η＝0.733 9，結(jié)合近似概率法，可驗(yàn)證該隧道能夠滿足100年的服務(wù)壽命.可見，本文的方法程序，在結(jié)構(gòu)進(jìn)行耐久性設(shè)計時是有現(xiàn)實(shí)意義的.

5 結(jié)論

本文通過考慮隧道環(huán)境因素影響及時間效應(yīng)，基于隧道襯砌結(jié)構(gòu)抗力隨時間的衰減，結(jié)合近似概率法得到的極限狀態(tài)方程，利用響應(yīng)面法和重要抽樣法計算襯砌結(jié)構(gòu)的時效可靠度，主要有以下結(jié)論：

（1）介紹在高度非線性極限狀態(tài)方程情況下，將響應(yīng)面和重要抽樣法結(jié)合的理論計算方法，該方法為隱式非線性功能函數(shù)的越江隧道工程可靠度分析提供了一種有效的方法；

（2）在隧道服務(wù)壽命期內(nèi)，考慮抗力隨時間衰減，利用襯砌結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程，通過室內(nèi)快速試驗(yàn)得到隨機(jī)參數(shù)，以近似概率法得到的極限狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，通過響應(yīng)面法得到的驗(yàn)算點(diǎn)和精度較高的響應(yīng)面函數(shù)，以該結(jié)果作為重要抽樣的抽樣中心，利用Matlab軟件編制了隧道在服務(wù)壽命期內(nèi)時效可靠度求解的專用軟件；并回歸分析了隧道襯砌結(jié)構(gòu)時效可靠度與時間呈指數(shù)衰減規(guī)律；

（3）通過時效可靠度指標(biāo)與耐久性系數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，利用可靠度指標(biāo)求解耐久性系數(shù)，為越江隧道襯砌結(jié)構(gòu)的耐久性設(shè)計提供了基礎(chǔ).

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