胡帥帥 李俊林

（太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024）

文獻(xiàn)［1－3]研究了各向同性復(fù)合材料中所含垂直裂紋尖端的一系列問題.文獻(xiàn)［1]中采用mellin變換法研究垂直裂紋問題，得出裂紋接觸界面后，應(yīng)力的性態(tài)指數(shù)與材料常數(shù)及裂紋集合形狀有關(guān).文獻(xiàn)［2]中用liyong mellin變換方法，將垂直裂紋問題歸結(jié)為求解Cauchy型奇異積分方程組，得到半無限長(zhǎng)裂紋受集中力作用時(shí)，接觸點(diǎn)奇性應(yīng)力場(chǎng)，并對(duì)其分布函數(shù)進(jìn)行了數(shù)值求解.文獻(xiàn)［3]介紹了裂紋垂直于一個(gè)非理想雙材料界面的情形.

本文利用傅里葉積分變換巧妙地構(gòu)造出了裂紋尖端的位移場(chǎng)，通過適當(dāng)?shù)倪吔邕B續(xù)條件將邊值問題轉(zhuǎn)換成帶有Cauchy核的奇異積分方程，并給出了應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式，當(dāng)兩種材料相同時(shí)得出與文獻(xiàn)［4]一致的結(jié)論.

1 力學(xué)模型

如圖1所示，a≤x≤b，y＝0為垂直界面裂紋，其中心距雙材料界面距離為c，x＝0為材料粘結(jié)面.x＞0部分是第1種正交異性材料，其材料工程常數(shù)為E11、E12、v11、v12和μ1，而x＜0部分是第2種正交異性材料，其材料工程常數(shù)為E21、E22、v21、v22和μ2.由于靠近裂紋尖端奇異場(chǎng)的影響，在裂紋表面施加一個(gè)純剪切載荷，也就是

圖1 含有垂于正交各向異性雙材料界面的II型裂紋

2 基本方程

由彈性力學(xué)可知在不考慮體力的情況下，控制方程為

物理方程為

這里j＝1，2分別對(duì)應(yīng)于正交異性材料1與材料2.u（j）和v（j）分別代表x和y方向的位移，也就是u（j）＝u（j）（x，y），v（j）＝v（j）（x，y），c（j）ik為無量綱參數(shù).

控制方程要在如下邊界連續(xù)條件下求解：

2.1 求解

由于問題的對(duì)稱性，只需考慮y≥0的情況就可以了，如文獻(xiàn)［5－6]中的討論，通過傅里葉積分變換構(gòu)造方程（2）～（3）的解為

其中

r2j（j＝3，4）是如下方程的正實(shí)根

把方程（12a）～（12d）帶入物理方程（4）～（6）中可得

上面的表達(dá)式顯然滿足式（2）～式（6），下面通過適當(dāng)?shù)倪B續(xù)邊界條件得到裂紋尖端的彈性場(chǎng).找出未知函數(shù)由邊界連續(xù)條件式（7）～式（11）可以得到

（s）＝0，對(duì)式（20）、式（22）化簡(jiǎn)可以得到

其中

根據(jù)方程（19），（21），（25），（26），未知函數(shù)可以用關(guān)于χ1，χ2的表達(dá)式來表示，即

此處，關(guān)于Mj（s）、Nj（s），j＝（1，2，3，4）的表達(dá)式省略.

由邊界條件u（1）（x，0）＝0；0＜x＜a，b＜x＜∞可以得到

由σ（1）xy（x，0）＝－τ0，a＜x＜b把式（29）代入式（17a）～（17f）可得

其中

2.2 求解奇異積分方程

發(fā)現(xiàn)方程（31）很難求解，可以把其化成帶有柯西核的奇異積分方程，然后通過數(shù)值計(jì)算得出結(jié)果.為此，定義輔助位錯(cuò)密度函數(shù)g（x）

這里面的系數(shù)是為了后面的計(jì)算方便而取得的，由

可得

又由于u（1）（a，0）＝u（1）（b，0）＝0，則位錯(cuò)密度函數(shù)g（x）滿足單值約束條件.

對(duì)方程（34）進(jìn)行傅里葉積分逆變換，可以得到

把方程（36）代入方程（31），則方程可以轉(zhuǎn)化成

其中

從上面分析可以看出奇異項(xiàng)被提出且核k（ζ，x）變得連續(xù).而方程（37）的求解相當(dāng)困難，除非核k（ζ，x）對(duì)于特殊的情況具有非常簡(jiǎn)單的表達(dá)式.對(duì)于一般情況，引入無量綱變量如下

可以把方程（37）寫為

此處

另外，從物理學(xué)的觀點(diǎn)根據(jù)裂紋尖端的奇異反平方根，很容易地選取函數(shù)且

接下來用切比雪夫配置方法把方程（40）離散成一個(gè)線性代數(shù)方程組

這里

另外單值約束條件可以寫為

一旦線性方程組（42）、（43）的解確定了，就很容易得到裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng).

3 應(yīng)力強(qiáng)度因子

從斷裂力學(xué)的觀點(diǎn)來看，應(yīng)力強(qiáng)度因子是一個(gè)關(guān)于裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)非常重要的參數(shù)表征.

根據(jù)目前的研究定義裂紋尖端左右端的應(yīng)力強(qiáng)度因子如下

由式（41）可以得到

現(xiàn)在來看一種特殊的情形，即當(dāng)正交異性材料1與正交異性材料2為同一種材料時(shí).即

此時(shí)，經(jīng)過計(jì)算可以得到：k（ξ，x）＝0而且奇異積分方程（37）可以被表示為

由式（45）很容易計(jì)算出在裂紋尖端左右端的應(yīng)力強(qiáng)度因子為與已知結(jié)果文獻(xiàn)［5]中保持一致.

此文中的應(yīng)力強(qiáng)度因子除了自身的材料性質(zhì)影響之外，由式子（39）～（41）、（45）可以看出：裂紋長(zhǎng)度的大小2a0即（b－a）、以及裂紋中心距雙材料界面的距離c即都會(huì)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子產(chǎn)生影響.

4 結(jié) 論

1）構(gòu)造出正交異性雙材料界面端新的力學(xué)模型.

2）通過傅里葉積分變換很巧妙地構(gòu)造出了裂紋尖端的位移場(chǎng)，并推導(dǎo)出相應(yīng)的裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng).

3）給出了文章中所提模型中裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式，并當(dāng)兩種材料完全相同時(shí)得出與已知文獻(xiàn)一致的結(jié)論.

［1]Bogy D B.Two Edge－bonded Elastic Wedges of Different Materials and Wedge Angles under Surface Tractions［J].ASME Journal of Applied Mechanics，1971，38：377－386.

［2]Cook T S，Erdogan F.Stresses in Bonded Materials with a Crack Perpendicular to Interface［J].International Journal of Engineering Science，1972，10：677－697.

［3]Zhong X C，Li X F，Lee K Y.Analysis of a Mode－I Crack Perpendicular to an Imperfect Interface International［J].Journal of Solids and Structures，2009，46：1456－1463.

［4]Fan T Y.Foundation of Fracture Mechanics［M].Jiangsu Sci－Tech，Nangjing（in Chinese），1978.

［5]Zhang X S.A Central Crack at the Interface between Two Different Orthotropic Media for the ModeⅠand ModeⅡ［J].Engineering Fracture Mechanics，1989，33（3）：327－333.

［6]周振功，王 彪.位于兩不同正交各向異性半平面間張開型界面裂紋的性能分析［J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004，25 （7）：887－1000.