趙小瑩 柯騰龍 丁憶涵

（北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京100191）

引 言

采用陣列天線可以提高天線增益和輻射效率，控制波束、降低副瓣電平，或是對(duì)某個(gè)特定方向產(chǎn)生零陷抑制，使系統(tǒng)達(dá)到更好的電磁兼容性［1－2］。因此，陣列天線方向圖的綜合技術(shù)和相關(guān)優(yōu)化算法越來越受到重視。陣列天線方向圖綜合一般是通過改變陣元激勵(lì)的幅度、相位或位置等多個(gè)參量使天線陣的遠(yuǎn)區(qū)方向圖滿足所需要求。

陣列天線綜合的傳統(tǒng)方法有Chebyshev綜合法和Taylor綜合法［2］，但是由于天線優(yōu)化過程中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件呈多參數(shù)和非線性的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的陣列天線綜合方法無法有效地求得工程上的滿意結(jié)果。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，近幾年來應(yīng)用仿生優(yōu)化算法對(duì)陣列天線進(jìn)行綜合已成為研究的熱門課題［15］。 遺傳算法 （GA）［8－10，13］和粒子群算法（PSO）［12，14］已被廣泛地應(yīng)用到優(yōu)化陣列天線的方向圖綜合領(lǐng)域。作為另一種智能仿生算法，本文采用蟻群算法［3］（ACO），以天線陣元的激勵(lì)為待優(yōu)化變量，以陣列天線副瓣電平和給定方向產(chǎn)生零陷抑制為設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)陣列天線的方向圖進(jìn)行優(yōu)化。

蟻群算法是一種基于蟻群在覓食過程中尋找食物與蟻巢間最短路徑的原理而發(fā)展起來的一種智能仿生算法。蟻群算法由Marco Dorigo于1992年在他的博士論文中提出，一直受到廣大學(xué)者的研究和關(guān)注。蟻群算法收斂速度快，魯棒性強(qiáng)，在解決旅行商問題［4］（TSP）、車業(yè)作業(yè)調(diào)度問題［5－6］（JSP）等問題中都取得了不錯(cuò)的效果。在優(yōu)化天線陣列領(lǐng)域，文獻(xiàn)［7］中，將天線陣陣元的激勵(lì)置成1或0（即只有‘開’和‘關(guān)’兩種狀態(tài)），利用蟻群算法，優(yōu)化了稀布陣問題。由于傳統(tǒng)蟻群算法對(duì)離散問題非常有效但難以優(yōu)化連續(xù)函數(shù)問題，所以目前將蟻群算法應(yīng)用到陣列天線綜合領(lǐng)域還極少見文獻(xiàn)報(bào)道，而連續(xù)函數(shù)優(yōu)化是現(xiàn)代陣列天線綜合技術(shù)必需解決的問題。其他智能仿生算法大部分本就適用于連續(xù)函數(shù)優(yōu)化，例如文獻(xiàn)［13］［14］通過優(yōu)化可連續(xù)改變陣元的激勵(lì)幅度，達(dá)到降低副瓣電平并且對(duì)某些特定方向產(chǎn)生零陷抑制的天線陣方向圖設(shè)計(jì)的目的。

為了解決傳統(tǒng)蟻群算法對(duì)于構(gòu)建螞蟻路徑時(shí)的離散性和陣列天線函數(shù)的連續(xù)變量之間的矛盾，本文提出一種改進(jìn)型的蟻群算法，該算法將函數(shù)的連續(xù)變量進(jìn)行不整編碼，并根據(jù)連續(xù)變量的特點(diǎn)，在變量鄰域內(nèi)同樣更新信息素。針對(duì)于傳統(tǒng)蟻群算法易于收斂到局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)，引入最優(yōu)點(diǎn)鄰域搜索［11］，在提高算法的收斂速度的同時(shí)，也在一定程度上提高了算法的最優(yōu)解搜索能力。

本文首先對(duì)基本蟻群算法進(jìn)行簡(jiǎn)介，然后詳細(xì)闡述了改進(jìn)型蟻群算法的技術(shù)要點(diǎn)，最后通過引入4個(gè)實(shí)例表明采用改進(jìn)型蟻群算法進(jìn)行陣列天線綜合是可行且有效的。并在實(shí)例中與相關(guān)文獻(xiàn)的遺傳算法［13］和粒子群算法［14］進(jìn)行比較，仿真結(jié)果表明本文方法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

1.基本蟻群算法介紹

基本的蟻群算法可以用蟻群算法解決TSP問題的例子來予以說明［4］。TSP問題是指：在給定的n個(gè)城市，找出一條最短的經(jīng)過所有城市并且每個(gè)城市都只經(jīng)過一次的封閉路線。假設(shè)有m只螞蟻，城市i和城市j之間的距離為dij（i，j＝1，2…，n），在t時(shí)刻，城市i和城市j之間的信息素大小為τij（t），螞蟻根據(jù)信息素的大小，來確定下一步選擇的城市。在t時(shí)刻螞蟻k由原來的城市i向城市j移動(dòng)的概率表示為（t），概率的計(jì)算公式為

式中：ηij為啟發(fā)因子；這里ηij＝1/ddij；Tabuk表示螞蟻k已經(jīng)走過的城市；α和β表示用于調(diào)節(jié)信息素強(qiáng)度和啟發(fā)式信息強(qiáng)度的系數(shù)。當(dāng)每只螞蟻都完成一次遍歷之后，需要對(duì)信息素進(jìn)行更新。信息素的更新公式為

式中，ρ為信息素殘留因子，范圍為0到1之間。

基本蟻群算法優(yōu)化的變量都是離散的，而陣列天線方向圖綜合問題的待優(yōu)化變量如天線陣元的激勵(lì)，均是連續(xù)性的變量，所以基本蟻群算法并不適用于陣列天線方向圖綜合問題。

2.改進(jìn)型蟻群算法

2.1 目標(biāo)函數(shù)分析

本天線陣方向圖綜合的問題，考慮為一個(gè)由2n個(gè)各向同性天線陣元組成的等間距直線陣列天線，其陣元的激勵(lì)電流幅度為對(duì)稱的，通過調(diào)整每個(gè)陣元的激勵(lì)電流的幅度使得天線陣列的方向圖達(dá)到預(yù)期的特性指標(biāo)。天線陣的陣因子可以表示為

式中：Is為在天線陣列中的第s個(gè)陣元的激勵(lì)幅度；d為陣元間的距離；α＝kdcosφ0，當(dāng)且僅當(dāng)φ＝φ0時(shí)F（φ）最大，即主瓣指向的方向?yàn)棣?方向。

對(duì)于本天線陣方向圖綜合，考慮的方向圖的特性指標(biāo)為最大副瓣電平和指定位置上的零陷深度，所以將優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)定義為

式中：SLVL為最大旁瓣電平的期望值；MSLL為計(jì)算得到的實(shí)際方向圖的最大旁瓣電平；NLVL為零陷深度的期望值，并且期望在φi角度上獲得零陷，其中當(dāng)MSLL＜SLVL時(shí)令γ｜MSLL－SLVL｜項(xiàng)為0，當(dāng)（φi）＜NLVL時(shí)令項(xiàng)為0.

2.2 不整編碼尋優(yōu)

針對(duì)陣列天線綜合這個(gè)多變量連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題，將每個(gè)天線陣元的激勵(lì)幅度In都限定在0到1之間，在精度允許的情況下，將每個(gè)激勵(lì)變量都分成m等分，于是構(gòu)成了m×n個(gè)離散點(diǎn)，從而將n個(gè)變量的連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為在m×n個(gè)離散點(diǎn)選擇出n個(gè)點(diǎn)的離散優(yōu)化問題。

每個(gè)螞蟻都從把第一個(gè)陣元作為起點(diǎn)，將最后一個(gè)陣元作為終點(diǎn)，當(dāng)螞蟻從第一個(gè)陣元走到最后一個(gè)陣元的時(shí)候，每個(gè)螞蟻構(gòu)成一個(gè)解。這里將信息素定義在每個(gè)離散的點(diǎn)上，而不是定義在路徑上。第k只螞蟻，在第i個(gè)陣元上，在m個(gè)點(diǎn)中選擇第j個(gè)點(diǎn)的概率為

式中：α用于調(diào)節(jié)信息素強(qiáng)度；τij表示為在第i個(gè)陣元的第j個(gè)等分點(diǎn)上的信息素，如果在第i個(gè)陣元上選擇了第j個(gè)等分點(diǎn)，就代表螞蟻k在第i個(gè)陣元上選擇的激勵(lì)為j/m.當(dāng)每個(gè)螞蟻都完成各自遍歷之后，將每個(gè)螞蟻的路徑都轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的激勵(lì)，并計(jì)算天線陣的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖，最后計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的值。

2.3 鄰域優(yōu)化

盡管將天線陣列方向圖綜合問題進(jìn)行了離散化處理，但其本質(zhì)上仍是連續(xù)性問題。在這里，根據(jù)該問題連續(xù)性的特點(diǎn)，通過引入了最優(yōu)解鄰域?qū)?yōu)和鄰域信息素更新，來進(jìn)一步提高算法的尋優(yōu)能力。

在所有的螞蟻都完成一次遍歷后，進(jìn)行最優(yōu)解的鄰域?qū)?yōu)［11］。最優(yōu)解的鄰域?qū)?yōu)主要是在該次迭代最優(yōu)解的路徑上的一個(gè)鄰域范圍內(nèi)，隨機(jī)選出若干條新的路徑，并計(jì)算這些新路徑的目標(biāo)函數(shù)值，如果在這些新路徑中尋找到了比原來的最優(yōu)路徑更好的路徑，則用該新路徑替換掉原來的最優(yōu)路徑。最優(yōu)解的鄰域?qū)?yōu)可以加快算法的收斂速度和尋優(yōu)能力，但是在鄰域范圍內(nèi)搜索過多的路徑也會(huì)大大增加算法的復(fù)雜度。在這里，假設(shè)一共有ant只螞蟻，則鄰域內(nèi)的搜索路徑條數(shù)應(yīng)該控制在ant/4以內(nèi)。

螞蟻完成遍歷并且完成鄰域?qū)?yōu)后，最后進(jìn)行信息素的更新。信息素的更新分兩個(gè)步驟進(jìn)行。首先進(jìn)行的是信息素的全局更新。假設(shè)共有ant只螞蟻，在第t次迭代中，信息素的全局更新按照如下規(guī)則進(jìn)行

式中：F（k）代表的是第k只螞蟻的目標(biāo)函數(shù)值；ρ為信息素蒸發(fā)系數(shù)。在這里μ可以取10～15之間，另外Q1和Q2為信息素增強(qiáng)系數(shù)，一般取Q1＝3Q2，從而在最優(yōu)的路徑上增加更多的信息素，大大提高算法的收斂速度。在完成信息素的全局更新之后，進(jìn)行信息素的鄰域更新，即在每個(gè)螞蟻的遍歷路徑上經(jīng)過點(diǎn)的附近，也同樣增加一定的信息素，用來表示第k只螞蟻鄰域上的信息素增加量

式中χ一般可以取2到5之間。

3.應(yīng)用舉例

優(yōu)化對(duì)象選取為線性對(duì)稱天線陣列，陣元為理想點(diǎn)源，忽略了陣元互耦、陣元通道幅相誤差等因素的影響。算法中權(quán)系數(shù)γ和δ分別取1和0.15，螞蟻數(shù)ant取為60，不整編碼等分?jǐn)?shù)m＝600，調(diào)節(jié)信息素強(qiáng)度系數(shù)α取為1，信息素增強(qiáng)系數(shù)Q1取為1.5.

［例1］設(shè)計(jì)指標(biāo)：n＝10，即天線的陣元個(gè)數(shù)為20個(gè)，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，30°方向形成零陷。

在經(jīng)過1 000次迭代后，優(yōu)化結(jié)果如下：其陣元的 電 流 激 勵(lì) 幅 度 依 次 為 0.94，0.908 33，0.82，0.731 67，0.595，0.48，0.348 33，0.236 67，0.158 33，0.093 33，其方向圖如圖1所示，最大副瓣電平為－40.077dB，零陷深度為－97.776dB，滿足了設(shè)計(jì)指標(biāo)，比基于雙種群遺傳算法的文獻(xiàn)［13］的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了3.421 1dB和6.496 6dB.其迭代過程圖如圖2所示，在大約150次迭代時(shí)，目標(biāo)函數(shù)f就已經(jīng)收斂到5附近，收斂速度較快。

［例2］設(shè)計(jì)指標(biāo)：n＝10，即天線的陣元個(gè)數(shù)為20個(gè)，陣元間距d＝0.4λ，主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，30°方向形成零陷。

在這里不整編碼等分?jǐn)?shù)m＝1 000，其他參數(shù)保持不變。在經(jīng)過1 000次迭代后，在經(jīng)過1 000次迭代后，優(yōu)化結(jié)果如下：其陣元的電流激勵(lì)幅度依次為0.964，0.96，0.811，0.812，0.551，0.572，0.296，0.312，0.114，0.134，其方向圖如圖3所示，最大副瓣電平為－41.36dB，零陷深度為－95.672dB，比文獻(xiàn)［13］中的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了5.821 8dB和3.737 7dB，方向圖如圖3所示。

［例3］設(shè)計(jì)指標(biāo)：n＝10，即天線的陣元個(gè)數(shù)為20個(gè)，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，在64°、70°和76°三個(gè)位置形成零陷。

在這里不整編碼等分?jǐn)?shù)m＝1 000，其他參數(shù)保持不變。在經(jīng)過1 000次迭代后，優(yōu)化結(jié)果如下：其陣元的電流激勵(lì)幅度依次為0.923，0.870，0.789，0.691，0.557，0.442，0.322，0.216，0.104，0.70，得到的最大副瓣電平為－39.457dB，3處零陷中絕對(duì)值最小的零陷深度為－91.519dB，比文獻(xiàn)［13］中的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了2.800 2dB和2.308 3dB，方向圖如圖4所示。

［例4］設(shè)計(jì)指標(biāo)：n＝10，即天線的陣元個(gè)數(shù)為20個(gè)，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，SLVL＝－15dB，NLVL＝－95dB，在30°、40°、50°、60°和70°位置形成零陷。

由于需要優(yōu)化的零陷個(gè)數(shù)較多，優(yōu)化問題的復(fù)雜度較高。為了提高算法的搜索精度，令m＝10 000，ant＝100.在經(jīng)過100次迭代后，優(yōu)化結(jié)果如下：其陣元的激勵(lì)幅度依次為0.737 7，0.733 6，0.728，0.595 9，0.652 1，0.615 8，0.472 4，0.235 2，0.398 5，0.069 6，得到的各個(gè)角度的零陷深度均在－95dB以下，而且其最大副瓣電平為－20.044 dB，比文獻(xiàn)［14］中同樣采用100個(gè)粒子100次迭代的粒子群優(yōu)化（PPSO）算法優(yōu)化的最大副瓣電平降低了2.213dB.其方向圖如圖5所示。

4.結(jié) 論

采用改進(jìn)型蟻群算法，通過優(yōu)化天線陣元的電流激勵(lì)幅度，完成天線陣方向圖綜合，效果良好，計(jì)算結(jié)果表明其優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法。改進(jìn)型蟻群算法，通過加入不整編碼和鄰域優(yōu)化，比傳統(tǒng)的蟻群算法更適合于連續(xù)函數(shù)的優(yōu)化，并且不容易陷入局部最優(yōu)，收斂速度較快，為解決多變量連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題提供了一種新思路新方法。

圖5 0.5λ間距30°、40°、50°、60°和70°方向形成零陷的優(yōu)化方向圖

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